3.2.1 一维无限深势阱在线视频

下面我们将讲几个

一维运动的例子

第一个例子是方势阱

所谓的方势阱

就是势能函数

在不同的空间段

取不同的常数值

一个最简单的例子

是所谓的无限深势阱

就是这样一个图

这个势阱在这两段

取无穷大的值

而在这一段取零

所以说

把它写成一个解析的表达式

就是这样一个分段的函数

对于这样的一个势阱

可以有一个比较直观的

一个理解

那就是

有两块彼此平行的钢性板

中间没有任何势能

但是

粒子不能进入板以内

这两个地方可以认为

就是钢性板所在的位置

从这样一个图像

我们就可以知道

在阱外

势能是正无穷大

这意味着

粒子不能进入

阱外的这个区间

所以说

波函数一定要恒等于零

这就是波函数在x小于-a

和x大于a

这两段的值

而在势阱内

V是等于零的

所以说

薛定谔方程变成这个样子

这个E

当然是一个大于零的数

所以说

我们用k来代替它

这就使得这个方程就变为

这样的一个形式

就是ψ的二阶导数

加上k^2 ψ等于零

这是一个很典型的

二阶常系数常微分方程

而这里的系数

是一个正值

这个方程的解

是大家所熟悉的

那就是

sin和cos的线性组合

这里把它写成ψ(

x)等于A乘以cos(kx)

加上B乘以sin(kx)

当然要注意

这个解只在阱内才适用

所以

现在在整个的x轴上

我们在三段不同的区间

有三个不同的解

而根据

波函数应该满足的要求

它应该是一个连续函数

所以

我们必须在

这些区间的交界点上

把波函数衔接起来

这个交界点就是

x等于+a或者-a

只要记住

在阱外

波函数是恒等于零的

所以说这也就意味着

在x等于+a

或者负a的地方来做街接

而我们前面在介绍

波函数需要满足条件的时候

谈到

如果在某些点

势能有无限大的跳跃

街接条件只需要使用

波函数本身的连续性

而不需要

要求波函数的

一阶导数也连续

所以

把观察点取在

x等于a的地方

这就是

阱内的波函数的取值

它应该等于零

完全类似的

在x等于-a的地方

这个式子等于零

马上就发觉

它也就是相当于这两项

分别都等于零

而这样的一个联立方程

有两种可能情形的解

第一种

我们可以让B等于零

A却又不能等于零

于是cos(ka)就要等于零

这样的一个三角方程有解

大家应该是很熟悉的

那就是k乘以a是π

的半整数倍

所以

k就只能取这样的值

其中n是从零开始的整数

而另外一方面

E又等于hbar^2 k^2

除以2m

所以说

把k的值代进去

也就得到了E的值

当然它也依赖于n

由于我们现在让B等于零

所以说sin(kx)那一项

不再出现

留下来的是

cos(kx)的那一项

于是在这种情况下

阱内的波函数

就是一个这样的函数

那么我们知道

cos(x)对于变量x而言

是偶函数

用量子力学的语言来说

这个波函数

具有偶的宇称

另外一个解

是让A等于零

于是B就不等于零

而sin(ka)就要等于零

对于这样一个三角方程的解

大家是熟悉的

那就是k乘以a

等于π的整数倍

于是k就等于n π除以a

由此也就可以知道

E等于hbar平方k平方

除以2m

就是这样的一个表达式

而波函数

现在留下来的是

Sin(kx)

于是 我们得到了

在这种情况下的

阱内的波函数

而大家知道

sin(x)对于x而言

是奇函数

在量子力学的意义上

这是一个奇宇称态

刚才所得到的这两种解

其实也可以合起来写

首先是k的值

每一种解都以a分之π

为一个固定的间隔

而这两种解

插在一起就变成了

以2a分之π为间隔

所以说合起来之后的

k的取值变成了

2a分之π的整数倍

由此也就很容易写出

能量的值

那就是hbar平方

乘以这个k平方

再除以2m

也就是这个表达式

而波函数表面上看起来

一个是写成cos(kx)

一个是写成sin(kx)

但是大家知道

实际上

这两个函数彼此之间

只差一个自变量的平移

为了方便起见

我们把它们统一的写为

sin的函数

然而它的自变量

这里加上一个平移项

这就是

对于两种情形都适用的

一个波函数的表达式

这里留了一个

归一化常数

定这个常数的原则就是

利用这个归一化条件

因为现在只有在

x处于-a到+a

之间的地方

波函数才不等于零

所以说

波函数的模平方的积分

也只需要

在这个区间里进行

让它等于1

这个积分那很容易完成

让它等于1

就求出了这个

归一化常数

它的值是根号a分之一

这个值是和n没有关系的

于是

最后我们就写下了

已经归一化的

波函数的表达式

现在我们对于

上面这些结果

进行一些讨论

首先谈到量子化条件

在这里

被量子化的首先是

k的值

我们已经指出

它是2a分之π的整数倍

对于这样的一个关系

我们还可以做

进一步的解释

在量子力学的意义上

hbar乘以k是粒子的动量

而它呢当然也就是

根号2mE

这个式子又可以理解为

2倍L p是h是整数倍

这里的L

就是2a

也就是势阱的宽度

这个式子

还可以有进一步的理解

我们现在

用半经典的图像

把粒子的轨迹

在相空间里

描述出来

这就是粒子的相空间

横轴是x

纵轴是p

我们的位阱处于

负a到正a之间

假设一个粒子

以p_0这么大的动量

从左端点运动到右端点

在右端点被反射

p_0调换方向

成为负p_0

再从右端点

运动回左端点

这样形成了

一个周期运动

那么我们发觉

这个周期运动

在相空间里所包围的

这个矩形里包含的面积

恰好就是

L乘以2倍p_0

也就是刚才我们所说的

那个式子

而它是h的整数倍

意味着

每一个量子状态

在相空间里

占有h这么大的体积

这个结论

以后在统计物理里

有重要的作用

第二个谈到能量

那么

能量也是量子化的

我们发觉

在无限深势阱的情况下

能量

正比于一个整数n的平方

其中n的最小值是1

所以说

能量的最小值就是E_1

也就是hbar平方π平方

除以2倍m L的平方

这里的L

就是势阱的宽度

这个值是不等于的零的

我们把它叫作

量子零点能

对于经典粒子而言

它的最低能量状态

是呆在势阱里不动

因而它的最低能量

可以达到零

但是

量子的零点能

却并不等于零

之所以有这种情形出现

那是由于

微观粒子

要服从不确定关系

也就是说

它的坐标和动量

不能同时有确定值

所以说

在势阱当中

不动的这种状态

是在量子力学的意义上

不可能出现的

这种不等于零的零点能

是量子力学里的普遍现象

然后我们谈到波函数

波函数

从物理意义上来理解

可以解释成为驻波

这就是波函数的图象

从n等于1到n等于4的

4个波函数的图象

这里画的是一个

和时间无关的一个图象

但是要记得

定态波函数

其实

还包含一个

和时间有关的

一个振荡因子

所以说

理解实际的

波函数的变动

如果包含和时间有关的

变化的话

它应该是

以这个为振幅的

一个振荡

那么我们发觉

这和一个固定的

端点的弦振荡

是完全类似的

而我们知道

弦振荡就是一个驻波

如果从量子力学的

解析的角度

来看这件事情

比如说

这个波函数是一个

sin(kx)的这样的形式

而sin(kx)可以写成两个

虚指数函数之差

这两个虚指数函数

有相等的振幅

那么

从物理的意义来理解

两个互相反向运动的行波

以等量的振幅

相叠加的时候

所形成的波

就正好是驻波

所以

从解析的角度来看

我们应该说

这种量子力学的波函数

代表着一种驻波

第四点

谈到宇称

我们发觉

所有的这些态

都有确定的宇称

它们从能级比较低

排到能级比较高的

变动顺序是

一偶一奇

一偶一奇的这种

偶奇相间的形式

其中基态是偶宇称

这一点

也在很多量子系统里出现

第五点

我们谈到波函数的节点

这个节

点其实也就是零点

那么根据刚才所画的

波函数的图像

当n等于1的时候

这个波函数没有零点

当n等于2的时候

它有1个零点

也就是节点

一般情形下就是

第n个能级

有n-1个节点

对于无限深势阱的

空间区间

也可以有另外一种取法

就是取在0到L之间

这里的L

恰好就是势阱的宽度

这样去解同样的问题

所得的能级是完全相同的

区别只是在波函数的写法

不太一样

这种情况下的波函数

直接是一个sin(kx)

但是

它不再直接的体现出

宇称的特征了