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*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子

下一节:2.2.4 定态薛定谔方程能量本征方程

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*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子课程教案、知识点、字幕

下面要讲的这一节

是打*号的

非必学内容

我们要研究的问题是

薛定谔方程的解

大家知道

作为微分方程

除去要有方程本身之外

还要有初始值

才能得到确定的解

所以说

我们就来问一下

对于自由粒子的

薛定谔方程

给定初始值以后

怎么能够决定

其它时刻的波函数

由于薛定谔方程

对于时间而言

是一阶的微分方程

所以

这里只要给定

初始时刻的

波函数的值就够了

我们前面已经知道

德布罗意波的

任何线性组合

都能够满足

自由粒子的薛定谔方程

也就是这样一个积分

这个是德布罗意波

这里写的就是

动量为p的

那个分量的几率振幅

然后对于所有可能的

p的值进行积分

这里要注意

在这个被积函数里边的E

不是独立的

它是p平方除以2m

很明显我们在

上面的那个表达式里边

把t等于零代进去

它就成为这样的一个表达式

而它正应该是

波函数的初始值

我们把这个表达式

再进行个逆变换

也就是反傅立叶变换

那么又可以用ψ(

r,t=0)

重新把Ф(p)表达出来

那么我们把

这个展开式再代入到

t这个时刻的波函数

就得到了在任一时刻的

波函数的值

它表达成为一个二重积分

这里p是动量

E是p的这样的函数

它不是独立的

那么还要注意的是

这里有一个对r'的积分

因为这里的p点乘

后边是r减去 r'

也就是说

在整个这个积分的

表达式里边的r

叫做积分参数

积分的结果

应该是参数的函数

所以这里称为r的函数

按说我们已经

完全写下了

自由粒子薛定谔方程的

初值问题的一般解

但是

第一　我们还希望

把初始时刻

可以进行一下移动

所以说

我们把原来的t等于零

作为初始时刻

换成t等于t'

其实这是很容易的

那就是把原来的t

变成t减t'

于是就得到了一个

更一般的

自由粒子薛定谔方程的

普适解

这里边r'是需要积分的

p是需要积分的

但是

t和r是参数

所以结果是

r和t的函数

这个表达式

还可以做进一步的改写

那就是

把波函数的初始值

乘以这样的一个函数

这个函数是一个二元的

那就是既是r,t的函数

又是r',t'的函数

被积变量是r'和t'

这里表达的ψ

的初始值它的变量

也是r',t'

所以说

这个积分以r,t为参数

积分的结果是r,t的函数

把这个表达式和

刚才得到的表达式

作一下比较

我们发觉

这个G的函数表达式

是一个积分

在数学的术语上

这个东西

叫做这个积分的核

所以说

现在我们得到了

这个积分核

G(r,t;r',t')的一个表达式

它是表达成为

对p的一个积分

而其中的t,t',r,r'都是参数

当然还是要注意

这里的E不是独立变量

而是p平方除2m

这个积分看起来很复杂

其实是可以解析的完成的

这个过程

我们就不再仔细介绍

只把它的结果写下来

大家看到这是一个

初等函数的解析表达式

这个函数在物理上的名字

叫做传播子

由于它特别的是

自由粒子的薛定谔方程的解

需要用到的函数

所以说更具体的称为

自由粒子的传播子

那么这个传播子的

物理意义是什么呢

我们看到

如果我们把在r',t'

这一点的波函数的值

乘以这个传播子

注意这个传播子

既就r,t的函数

又是r',t'的函数

而对r'做积分

就得到了

r,t这一点的波函数的值

这就意味着

r',t'这一点的波函数

通过传播子

对r,t这一点的波函数

作出贡献

传播子实际上满足

对于变量r,t的自由粒子的

薛定谔方程

而且还满足一个δ

函数的初始条件

那就是

当我在传播子的表达式当中

让t等于t'的时候

它出来的

是一个三维空间的δ函数

关于δ函数

以后我们有机会

做更具体的介绍

在物理上传播子体现了

波动现象的惠更斯原理

惠更斯原理说的就是

在波的传播过程当中

每一个时刻

波长里的各点

可以看成一个新的子波源

波在下一个时刻的分布

是这些子波源

彼此叠加的结果

传播子就体现了一个

这样的过程

在数学上

传播子的名称

叫做格林函数

在我们这个量子力学课当中

此后

利用传播子的地方并不多

但是　如果有的同学

要进一步学习量子场论

那么对于传播子

就要给予充分的注意了

量子力学（上）课程列表：

序言

-引言

第一章量子力学的历史渊源

-1.1 普朗克的光量子假说

--1.1.1 黑体辐射的能谱

--1.1.2 普朗克假说

--1.1.3 光电效应

--1.1.4 康普顿效应

-1.2 玻尔的原子结构模型

--1.2.1 氢原子光谱和弗兰克-赫兹实验

--1.2.2 玻尔模型

--1.2.3 索末菲量子化条件

-1.3 德布罗意的物质波假说

--1.3.1 德布罗意假说

--1.3.2 微观粒子波动性的实验

-第一章量子力学的历史渊源--第1周作业

第二章波函数与薛定谔方程

-2.1波函数

--2.1.1 波粒二象性的意义

--2.1.2 波函数的统计诠释

--2.1.3 波函数的归一化

--2.1.4 态叠加原理

--2.1.5 动量分布几率

--2.1.6 不确定关系

--2.1.7 力学量的平均值和力学量的算符表示

--2.1.8波函数应满足的要求

-第二章波函数与薛定谔方程--第2周作业

-2.2 薛定谔方程

--2.2.1 薛定谔方程的引入

--2.2.2 几率守恒定律

--*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子

--2.2.4 定态薛定谔方程能量本征方程

--2.2.5 非定态薛定谔方程的一般解

--2.2.6 一般系统的薛定谔方程

--2.2.7 量子力学的表象

--2.2.8 量子力学中的测量波包坍缩

-第二章波函数与薛定谔方程--第3周作业

第三章一维势场中的粒子

-3.1一维运动问题的一般分析

--3.1.1 一维定态薛定谔方程的解的一般特征

--3.1.2 关于一维定态薛定谔方程的解的基本定理

--3.1.3 一维定态的分类束缚态和非束缚态

--3.1.4一维束缚态的一般性质

-第三章一维势场中的粒子--第4周作业

-3.2 方势阱

--3.2.1 一维无限深势阱

--3.2.2 对称有限深方势阱

-3.3 δ函数势阱

--3.3.1 函数的定义和主要性质

--3.3.2 一维δ函数势阱中的束缚态

--3.3.3 δ函数势阱与方势阱的关系

-第三章一维势场中的粒子--第5周作业

-3.4 线性谐振子

--3.4.1 方程的无量纲化和化简

--3.4.2 厄密多项式

--3.4.3 线性谐振子的能级和波函数

-3.5 一维散射问题

--3.5.1 一维散射问题的一般描述方法

--3.5.2 方势垒的量子隧穿

--3.5.3 方势阱的共振透射

-第三章一维势场中的粒子--第6周作业

-*3.6 δ势的穿透

--3.6.1 δ势垒的穿透

--3.6.2 δ势阱的穿透

-*3.7 周期性势场中的能带结构

--*3.7.1 有限平移不变性，弗洛盖-布洛赫定理

--*3.7.2克勒尼希-彭尼模型，能带的形成

--第三章一维势场中的粒子--第7周作业

第四章力学量用算符表示

-4.1 算符及其运算

--4.1.1 基本的和导出的力学量算符

--4.1.2 线性算符

--4.1.3 算符的运算和厄密算符

--4.1.4算符的对易关系

-第四章力学量用算符表示--第8周作业

-4.2 厄密算符的主要性质

--4.2.1 算符的本证方程

--4.2.2 厄密算符的本征值

--4.2.3 本征函数系的正交性

--4.2.4 简并情形共同本征函数

--4.2.5 力学量的完备集

--4.2.6 一般力学量的测量几率

--4.2.7 不确定关系的准确形式

-第四章力学量用算符表示--第9周作业

-4.3 动量本征函数的归一化

--4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化

--*4.3.2 动量本征函数的箱归一化

-4.4 角动量算符的本征值和本征态

--4.4.1角动量算符的球坐标表示

--4.4.2 角动量算符z的本征值和本征函数

--4.4.3 角动量平方算符的本征值和本征函数

--4.4.4 球谐函数的基本性质

-第四章力学量用算符表示--第10周作业

第五章量子力学中的对称性与守恒量

-5.1 量子力学中的守恒量

--5.1.1 力学量的平均值随时间的演化

--5.1.2 量子力学里的守恒量好量子数

--*5.1.3 能级简并与守恒量

--*5.1.4 维里定理

-5.2 对称性与守恒量

--5.2.1体系的对称变换幺正变换

--5.2.2 空间平移不变性与动量守恒

--5.2.3 空间旋转不变性与角动量守恒

--5.2.4 离散对称性及离散守恒量

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第11周作业

-5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性

--5.3.1多粒子体系的描写

--5.3.2 全同粒子的不可区别性

--5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质

--5.3.4交换对称或反对称波函数的构成泡利不相容原理

--5.3.5 自由电子气费米面

-*5.4 Schrödinger图画和Heisenberg图画

--*5.4.1 薛定谔方程初值问题的形式解

--*5.4.2 薛定谔图画

--*5.4.3 海森堡图画

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第12周作业

第六章中心力场

-6.1 中心力场中粒子运动的一般性质

--6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化

--6.1.2约化径向方程与一维薛定谔方程的比较

--*6.1.3 二体问题的分解相对运动

-*6.2 球无限深势阱

--*6.2.1球坐标系中的自由粒子波函数

--*6.2.2球无限深势阱中能级的确定

-第六章中心力场--第13周作业

-6.3 三维各向同性谐振子

--6.3.1 三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解

--6.3.2球坐标系中的解缔合拉盖尔多项式

-6.4 氢原子和类氢离子

--6.4.1 径向方程的化简及其解

--6.4.2 氢原子和类氢原子的能级和波函数

--6.4.3 氢原子的轨道磁矩 g因子

--6.4.4 碱金属原子的能级

--*6.4.5 电子偶素电子偶素湮灭的EPR佯谬

第七章带电粒子在电磁场中的运动

-7.1 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程

--7.1.1 带电粒子在电磁场中的经典哈密顿量正则动量

--7.1.2 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程规范条件

--7.1.3 经典的和量子的规范不变性

-*7.2 朗道能级

--7.2.1 带电粒子在均匀磁场中的经典运动

--7.2.2 带电粒子在均匀磁场中的量子运动朗道能级

--*7.2.3 朗道能级的简并度

-*7.3 阿哈罗诺夫-博姆(Aharonov-Bohm)效应

--*7.3.1 费曼的路径振幅

--*7.3.2 无线长螺线管的矢量势

--*7.3.3 阿哈罗诺夫-博姆效应和不可积相因子

*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子笔记与讨论

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