当前课程知识点:量子力学(上) >  第五章 量子力学中的对称性与守恒量 >  5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性 >  5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质

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5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质在线视频

5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质

下一节:5.3.4交换对称或反对称波函数的构成 泡利不相容原理

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5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质课程教案、知识点、字幕

下面我们就来看一下

全同粒子的这种不可区分性

对于全同粒子体系

波函数有些什么影响

为了看清这个问题

我们对于

全同粒子体系的波函数

引入一个交换算符

它表示成为 P̂

右下角加一个 ij 的指标

这个交换算符的作用

就是

在全同粒子体系波函数里

把第 i 个粒子和第 j 个粒子

交换一下位置

就是这样的一个结果

ij 作用于 ψ

这个 ψ 是所有 N 个粒子的

坐标的函数

那么作用之后就是把

这个函数表达式里边的

qi 和 qj 交换一下

因而原来 qi 的地方

现在变成了qj

原来 qj 的地方

现在变成了 qi

当然在这里

i 和 j 总是不一样的

那么全同粒子的不可区别性

就告诉我们

这样交换以后的状态

和原来的状态

其实是不可区分的

所以用 P̂ijψ

得到的这个新的波函数

和原来的波函数

只相差一个常数

这件事情

我们以前曾经特别强调过

那就是波函数乘以一个常数

代表的是

体系的同样的量子状态

然后我们再考虑

我把这个交换算符作用两次

第一次把 qi 跟 qj 交换一下

第二次

同样的把 qi 跟 qj 交换一下

那么很显然

qi 又回到了自己的位置

qj 也回到了自己的位置

所以又得到了最初的波函数

这样一来我们再考虑到

ij 作用于 ψ

是在 ψ 前面乘了一个常数 C

那么两次作用就出一个 C2

而这个 C2 必须等于 1

于是 C 就只可能有两个值

它就是 +1 或者 -1

再把 C 的这个值代回到

刚才的表达式里

那么就得到 P̂ijψ

要么就是 ψ 自己

要么是在 ψ 的前面

添上了一个负号

当然这里的 P̂ij

对于这 N 个粒子里边的

任何不同的两个粒子

都应该成立

所以我们面临着两种情形

第一种情形是 P̂ijψ

就得到 ψ 自己

这个时候我们把 ψ 称为

交换对称波函数

另外一个情形是

ijψ 得到 -ψ

这个时候我们称 ψ

是交换反对称波函数

很显然

一个全同多粒子体系的波函数

对于交换操作

是对称的或者是反对称的

是这样的

全同粒子体系波函数的

一个特殊的固有的性质

我们也应该把这个性质

归因于

描写这个体系的特殊性质

也就是

这些粒子的

特殊的固有的性质

这个性质决定的是

粒子所服从的统计

当然

我们可以问一个这样的问题

什么样的粒子

服从什么样统计呢

实验告诉我们

粒子的统计性和它的自旋

有完全确定的关系

具体地说

自然界的粒子的自旋的情况

有两类

一类自旋是整数

对于这一类粒子

它们的

全同多粒子体系的波函数

是交换对称的

因此这种粒子服从的是

玻色-爱因斯坦统计

我们把它们称为玻色子

具体的例子是

比如说光子

光子的自旋是 1

或者是介子

介子的自旋是 0

另外一类自旋的情形

是自旋为半整数

意思是 1/2,3/2

等等

那么这一类粒子的

全同多粒子体系的波函数

是交换反对称的

这一类粒子服从的是

费米-狄拉克统计

我们称之为费米子

属于费米子的粒子

比如说

电子、质子、中子等等

这些粒子的自旋都是

1/2

由于除去刚才我们所说到的

光子、介子、电子

核子等等以外

在量子力学里

还会研究另外一类

由刚才那些粒子所组成的

一些粒子

比如说原子核、原子、分子

我们把这种粒子

称之为复合粒子

当然也就存在一个问题

如果我们把一个复合粒子

当作一个整体的粒子来看待

它就应该服从

什么样的统计呢

这样的统计的规律的

基本原则是

如果一个复合粒子里边

包含偶数个费米子

那么结果它是个玻色子

如果它包含奇数个费米子

那么它还是费米子

至于说

复合粒子里边所包含的

玻色子的数目

对这个是没有影响的

对于这种规则

其实并不是很难理解

刚才我们已经说过

把两个全同费米子交换

波函数应当添一个负号

如果我们把偶数个费米子

同时交换

那么这就变成了

一个 -1 的偶数次幂,结果是 +1

这就表明实际上你得到的是

玻色统计

对于

包含奇数个费米子的情形

你碰到的因子

是 -1 的奇数次幂

结果还是 -1

所以说它仍然是费米子

这是一个角度的理解

另外一个角度

我们可以把粒子的自旋

合成起来构成总自旋

以后我们将会证明

偶数个费米子的总自旋

就是整数

而奇数个费米子的总自旋

仍然是半整数

所以这个

复合粒子的统计性的规则

也和我们刚才所介绍的

自旋统计相关性是一致的

现在我们再来看一下

全同粒子体系的

哈密顿量算符

那么前面所写下的

那个哈密顿量算符

现在有一点点变化

原来

这个 m 的右下角有一个 i

表明第 i 个粒子的质量

这里的

U 的右下角也有一个 i

表明第 i 个粒子

所受到的势能

现在它们都不再需要注明

是属于第几个粒子

因为它们都是一样的

同时在这里

把 qN 这些坐标的任意两个

交换位置

V 也不变

所以我们就发觉

交换算符 P̂ij 和这个 Ĥ

实际上是可以对易的

也就是这个对易括号等于零

而我们前面已经讲过

如果一个算符

和 Ĥ 是可以对易的

这个算符

所代表的那个力学量

是守恒的

这就意味着

只要初始那个时刻

波函数具有交换的对称或者

反对称性

那么在此后的任何时刻

它永远保持着

同样的交换对称

或者反对称性

所以

我们所引入的

波函数的交换对称性

是和量子力学的

基本动力学相容的

量子力学(上)课程列表:

序言

-引言

--引言

第一章 量子力学的历史渊源

-1.1 普朗克的光量子假说

--1.1.1 黑体辐射的能谱

--1.1.2 普朗克假说

--1.1.3 光电效应

--1.1.4 康普顿效应

-1.2 玻尔的原子结构模型

--1.2.1 氢原子光谱和弗兰克-赫兹实验

--1.2.2 玻尔模型

--1.2.3 索末菲量子化条件

-1.3 德布罗意的物质波假说

--1.3.1 德布罗意假说

--1.3.2 微观粒子波动性的实验

-第一章 量子力学的历史渊源--第1周作业

第二章 波函数与薛定谔方程

-2.1波函数

--2.1.1 波粒二象性的意义

--2.1.2 波函数的统计诠释

--2.1.3 波函数的归一化

--2.1.4 态叠加原理

--2.1.5 动量分布几率

--2.1.6 不确定关系

--2.1.7 力学量的平均值和力学量的算符表示

--2.1.8波函数应满足的要求

-第二章 波函数与薛定谔方程--第2周作业

-2.2 薛定谔方程

--2.2.1 薛定谔方程的引入

--2.2.2 几率守恒定律

--*2.2.3量子力学的初值问题 自由粒子的传播子

--2.2.4 定态薛定谔方程 能量本征方程

--2.2.5 非定态 薛定谔方程的一般解

--2.2.6 一般系统的薛定谔方程

--2.2.7 量子力学的表象

--2.2.8 量子力学中的测量 波包坍缩

-第二章 波函数与薛定谔方程--第3周作业

第三章 一维势场中的粒子

-3.1一维运动问题的一般分析

--3.1.1 一维定态薛定谔方程的解的一般特征

--3.1.2 关于一维定态薛定谔方程的解的基本定理

--3.1.3 一维定态的分类 束缚态和非束缚态

--3.1.4一维束缚态的一般性质

-第三章 一维势场中的粒子--第4周作业

-3.2 方势阱

--3.2.1 一维无限深势阱

--3.2.2 对称有限深方势阱

-3.3 δ函数势阱

--3.3.1 函数的定义和主要性质

--3.3.2 一维δ函数势阱中的束缚态

--3.3.3 δ函数势阱与方势阱的关系

-第三章 一维势场中的粒子--第5周作业

-3.4 线性谐振子

--3.4.1 方程的无量纲化和化简

--3.4.2 厄密多项式

--3.4.3 线性谐振子的能级和波函数

-3.5 一维散射问题

--3.5.1 一维散射问题的一般描述方法

--3.5.2 方势垒的量子隧穿

--3.5.3 方势阱的共振透射

-第三章 一维势场中的粒子--第6周作业

-*3.6 δ势的穿透

--3.6.1 δ势垒的穿透

--3.6.2 δ势阱的穿透

-*3.7 周期性势场中的能带结构

--*3.7.1 有限平移不变性,弗洛盖-布洛赫定理

--*3.7.2克勒尼希-彭尼模型,能带的形成

--第三章 一维势场中的粒子--第7周作业

第四章 力学量用算符表示

-4.1 算符及其运算

--4.1.1 基本的和导出的力学量算符

--4.1.2 线性算符

--4.1.3 算符的运算和厄密算符

--4.1.4算符的对易关系

-第四章 力学量用算符表示--第8周作业

-4.2 厄密算符的主要性质

--4.2.1 算符的本证方程

--4.2.2 厄密算符的本征值

--4.2.3 本征函数系的正交性

--4.2.4 简并情形 共同本征函数

--4.2.5 力学量的完备集

--4.2.6 一般力学量的测量几率

--4.2.7 不确定关系的准确形式

-第四章 力学量用算符表示--第9周作业

-4.3 动量本征函数的归一化

--4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化

--*4.3.2 动量本征函数的箱归一化

-4.4 角动量算符的本征值和本征态

--4.4.1角动量算符的球坐标表示

--4.4.2 角动量算符z的本征值和本征函数

--4.4.3 角动量平方算符的本征值和本征函数

--4.4.4 球谐函数的基本性质

-第四章 力学量用算符表示--第10周作业

第五章 量子力学中的对称性与守恒量

-5.1 量子力学中的守恒量

--5.1.1 力学量的平均值随时间的演化

--5.1.2 量子力学里的守恒量 好量子数

--*5.1.3 能级简并与守恒量

--*5.1.4 维里定理

-5.2 对称性与守恒量

--5.2.1体系的对称变换 幺正变换

--5.2.2 空间平移不变性与动量守恒

--5.2.3 空间旋转不变性与角动量守恒

--5.2.4 离散对称性及离散守恒量

-第五章 量子力学中的对称性与守恒量--第11周作业

-5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性

--5.3.1多粒子体系的描写

--5.3.2 全同粒子的不可区别性

--5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质

--5.3.4交换对称或反对称波函数的构成 泡利不相容原理

--5.3.5 自由电子气 费米面

-*5.4 Schrödinger图画和Heisenberg图画

--*5.4.1 薛定谔方程初值问题的形式解

--*5.4.2 薛定谔图画

--*5.4.3 海森堡图画

-第五章 量子力学中的对称性与守恒量--第12周作业

第六章 中心力场

-6.1 中心力场中粒子运动的一般性质

--6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化

--6.1.2约化径向方程与一维薛定谔方程的比较

--*6.1.3 二体问题的分解 相对运动

-*6.2 球无限深势阱

--*6.2.1球坐标系中的自由粒子波函数

--*6.2.2球无限深势阱中能级的确定

-第六章 中心力场--第13周作业

-6.3 三维各向同性谐振子

--6.3.1 三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解

--6.3.2球坐标系中的解 缔合拉盖尔多项式

-6.4 氢原子和类氢离子

--6.4.1 径向方程的化简及其解

--6.4.2 氢原子和类氢原子的能级和波函数

--6.4.3 氢原子的轨道磁矩 g因子

--6.4.4 碱金属原子的能级

--*6.4.5 电子偶素 电子偶素湮灭的EPR佯谬

第七章 带电粒子在电磁场中的运动

-7.1 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程

--7.1.1 带电粒子在电磁场中的经典哈密顿量 正则动量

--7.1.2 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程 规范条件

--7.1.3 经典的和量子的规范不变性

-*7.2 朗道能级

--7.2.1 带电粒子在均匀磁场中的经典运动

--7.2.2 带电粒子在均匀磁场中的量子运动 朗道能级

--*7.2.3 朗道能级的简并度

-*7.3 阿哈罗诺夫-博姆(Aharonov-Bohm)效应

--*7.3.1 费曼的路径振幅

--*7.3.2 无线长螺线管的矢量势

--*7.3.3 阿哈罗诺夫-博姆效应和不可积相因子

5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质笔记与讨论

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