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3.5.2 方势垒的量子隧穿在线视频

3.5.2 方势垒的量子隧穿

下一节:3.5.3 方势阱的共振透射

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3.5.2 方势垒的量子隧穿课程教案、知识点、字幕

下面我们就讲一个

具体的散射的例子

这就是

方势垒的量子隧穿

所谓的方势垒就是

在 x < 0

或者 x > a 的

这两个区间里

势能都等于零

当然

它在正负无穷的地方

也就是零

而在 0 < x < a 的地方

它有一个正的常数值

我们记作 V₀

那就是下面这张图

这里我们把能量取在了

0 和 V₀ 之间

在这个位置

在 x < 0 的这个区域

我们这里画了一个

向右的箭头

和向左的箭头

表明在这个区域里边

存在着正向行波

和反向行波

正向行波就是入射波

反向行波就是反射波

所以

x < 0 的这个区间里边

的波函数

是这样的两项之和

到了 x > a 的区域

就只有向右的箭头

那是透射波

而不存在

从右向左传播的波

那是因为

这一边

并没有粒子源存在

这时候在中间的

势垒区域里边

我们用曲线大致的表示了

波函数的变动情况

它可以写成 e 的

正指数函数

和 e 的负指数函数的

线性组合

正是由于这一段波的存在

才产生了

x > a 的

这个区间里边的透射波

下面我们就来做

具体的演算

由于现在所取的能量是

0 到 V₀ 之间

所以说

应该把这个方程分成

两种不同的情形

那就是

在 V =0 的地方

也就是

x < 0 或者是 x > a

它的方程是这个样子的

其实就是我们刚才

分析的时候

所写下来的

正负无穷的时候

的那个方程

但是在势垒内部

它是另外一个方程

最大的区别是

这个系数前面是正号

这个系数前面是负号

α 是由 E 和 V₀ 之间的差

所决定的一个常数

那么

在粒子从左方入射的时候

我们根据刚才所写的

定解条件

或者说边界条件

以及这个方程就可以

把 ψ 按照分段的方法

写成三段不同的表达式

这个和这个

其实

就来自我们的边界条件

而这个表达式适用于

在势垒的内部

它是双曲正弦

和双曲余弦的线性组合

当然

把这个方程的解写成

e^αx

和 e^-αx 的线性组合

也是可以的

其实这两种不同的取法

对于我们最后的结果来说

是没有影响的

那么

下边我们应该做的事情就是

根据 ψ 和 ψ 的一阶导数

在 x = 0 和 x = a

这两点都要连续这个要求

写下它们所决定的方程组

当我们取 x = 0 的时候

这个连续性

导致了这样的两个方程

我们发觉

它就使我们可以由 B

来决定 F 和 G

然后我们再取

它在 x = a 的地方

的连续性

我们发觉

它就给出了 B 和 C

应该满足的一个方程组

而这个方程组

很容易就解出来

得到了 B 和 C 的值

这个过程虽然比较繁复

但是没有什么困难

这里就不再进行详细的推导

只把结果写在这里

这里想提醒大家的是

B 和 C 都是复数

因为这里出现了有 i

这里也有 i

而且这个呢

也是一个复数

所以说

如果我们要求

反射几率和透射几率的话

不要忘记是求

复数的模平方

而不是一个平方

这就是 R = |B|²

T = |C|²

它们都是一个

分式的表达式

特点是

它们的分母是一样的

分子是不同的

但是这两个分子的和

恰好等于分母

对于这样的表达式

我们可以做下边的一些讨论

进一步来理解

它们的物理意义

第一

根据刚才的那个描写

我们马上发觉

R + T = 1

这个等式的意义

很容易理解

那就是

入射的粒子只有两个出路

要么是被反射

要么是透射过去

所以说

反射几率加上透射几率

应该等于 1

所以说

这其实就是一个

几率守恒

给出来的一个必然结果

第二

从物理的角度来说

最重要的

是这样的一个现象

那就是

我们现在取的条件

是 E < V₀

但是我们发觉

T ≠ 0

从量子力学的角度来说

我们的方程

给出就是这样的结果

似乎没有什么奇怪

但是

要是从经典力学的

角度来说的话

这一点就很难理解

因为

E 是动能和势能之和

如果 E < V₀ 的话

意味着

这时候的动能是小于零的

这当然是绝对不可能的事情

换句话说

在这种条件成立的时候

从经典力学的角度来讲

粒子根本不可能穿过势垒

而现在

量子力学给我们的结果是

粒子却穿过了这个势垒

所以这样的效应称之为

量子隧道效应

好像

一列火车

穿过了山里的隧道

而跃过了一个山顶

量子隧道效应也简称

叫做量子隧穿

为了让大家有一个

直观的理解

这里我们演示一下

透射几率 T

随着粒子能量变化的曲线

注意的是

这个横轴标的是

E/V₀ 的值

这里是这个比值等于1

所以说

这一点以下

表示 E < V₀

从这往上是表示的是

E > V₀

我们不妨设想一下

如果是一个经典粒子

射入这样的一个位垒

它会给出什么样的

T 随着 E 的变化呢

当然如果它的能量

小于势垒的高度

粒子就完全不可能

穿过这个势垒

因此

在这一段

经典粒子的透射几率

完全等于零

而一旦它的能量

高于势垒的最高值

它就一定会

跃过这个势垒

也就是说

当 E > V₀ 的时候

T 就等于 1

所以说

经典粒子的这样的一个

透射几率的变化

是这样的一个

跳跃的曲线

这是 0

一下跳到 1

而现在我们发觉

量子的粒子的透射曲线

不是这样的一个跳跃

而是一个连续的变化

最重要的是

当E/V₀ < 1 的时候

这里的 T 并不等于零

这就是我们刚才所说的

量子隧穿

当 E > V₀ 的时候

这条曲线也并不恒等于 1

而是有一个振荡的行为

这就是量子的粒子

和经典粒子的

非常不同的表现

更定量地来说

刚才那个表达式有点复杂

我们可以做一个近似

那就是取

αa>>1 的

那么这个时候

这个 T

就有这样的一个

近似表达式

就是 T₀ 乘以这样的一个

复指数函数

e^-2αa

我们来看一看这个 αa 的构成

这里边是 V₀ - E

也就是

能量和势能最大值之间的差

a 叫做势垒的宽度

粗略地来说我们可以称

这就是

E 这条直线和势能的顶部

所加的那块面积

T₀ 是由 E 和模型参数

所决定的

另外一个表达式

在这里最重要的

是这个因子

我们发觉

它是一个负指数函数

而我们知道

负指数函数

对于指数上的这个数值

有非常敏感的依赖

所以

由此我们看出

量子隧穿率

对于势垒的高度　宽度

和粒子的能量

具有非常大的敏感性

这样的一个敏感性

使得物理学家们发现了

量子隧穿的很多应用

比如说

可以用它来解释

放射性元素的 α 衰变

利用这样的一个效应

制造出了隧道二极管

扫描隧道显微镜

等等

隧道二极管

和扫描隧道显微镜

都是获得了诺贝尔奖的

物理研究成果

量子力学（上）课程列表：

序言

-引言

第一章量子力学的历史渊源

-1.1 普朗克的光量子假说

--1.1.1 黑体辐射的能谱

--1.1.2 普朗克假说

--1.1.3 光电效应

--1.1.4 康普顿效应

-1.2 玻尔的原子结构模型

--1.2.1 氢原子光谱和弗兰克-赫兹实验

--1.2.2 玻尔模型

--1.2.3 索末菲量子化条件

-1.3 德布罗意的物质波假说

--1.3.1 德布罗意假说

--1.3.2 微观粒子波动性的实验

-第一章量子力学的历史渊源--第1周作业

第二章波函数与薛定谔方程

-2.1波函数

--2.1.1 波粒二象性的意义

--2.1.2 波函数的统计诠释

--2.1.3 波函数的归一化

--2.1.4 态叠加原理

--2.1.5 动量分布几率

--2.1.6 不确定关系

--2.1.7 力学量的平均值和力学量的算符表示

--2.1.8波函数应满足的要求

-第二章波函数与薛定谔方程--第2周作业

-2.2 薛定谔方程

--2.2.1 薛定谔方程的引入

--2.2.2 几率守恒定律

--*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子

--2.2.4 定态薛定谔方程能量本征方程

--2.2.5 非定态薛定谔方程的一般解

--2.2.6 一般系统的薛定谔方程

--2.2.7 量子力学的表象

--2.2.8 量子力学中的测量波包坍缩

-第二章波函数与薛定谔方程--第3周作业

第三章一维势场中的粒子

-3.1一维运动问题的一般分析

--3.1.1 一维定态薛定谔方程的解的一般特征

--3.1.2 关于一维定态薛定谔方程的解的基本定理

--3.1.3 一维定态的分类束缚态和非束缚态

--3.1.4一维束缚态的一般性质

-第三章一维势场中的粒子--第4周作业

-3.2 方势阱

--3.2.1 一维无限深势阱

--3.2.2 对称有限深方势阱

-3.3 δ函数势阱

--3.3.1 函数的定义和主要性质

--3.3.2 一维δ函数势阱中的束缚态

--3.3.3 δ函数势阱与方势阱的关系

-第三章一维势场中的粒子--第5周作业

-3.4 线性谐振子

--3.4.1 方程的无量纲化和化简

--3.4.2 厄密多项式

--3.4.3 线性谐振子的能级和波函数

-3.5 一维散射问题

--3.5.1 一维散射问题的一般描述方法

--3.5.2 方势垒的量子隧穿

--3.5.3 方势阱的共振透射

-第三章一维势场中的粒子--第6周作业

-*3.6 δ势的穿透

--3.6.1 δ势垒的穿透

--3.6.2 δ势阱的穿透

-*3.7 周期性势场中的能带结构

--*3.7.1 有限平移不变性，弗洛盖-布洛赫定理

--*3.7.2克勒尼希-彭尼模型，能带的形成

--第三章一维势场中的粒子--第7周作业

第四章力学量用算符表示

-4.1 算符及其运算

--4.1.1 基本的和导出的力学量算符

--4.1.2 线性算符

--4.1.3 算符的运算和厄密算符

--4.1.4算符的对易关系

-第四章力学量用算符表示--第8周作业

-4.2 厄密算符的主要性质

--4.2.1 算符的本证方程

--4.2.2 厄密算符的本征值

--4.2.3 本征函数系的正交性

--4.2.4 简并情形共同本征函数

--4.2.5 力学量的完备集

--4.2.6 一般力学量的测量几率

--4.2.7 不确定关系的准确形式

-第四章力学量用算符表示--第9周作业

-4.3 动量本征函数的归一化

--4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化

--*4.3.2 动量本征函数的箱归一化

-4.4 角动量算符的本征值和本征态

--4.4.1角动量算符的球坐标表示

--4.4.2 角动量算符z的本征值和本征函数

--4.4.3 角动量平方算符的本征值和本征函数

--4.4.4 球谐函数的基本性质

-第四章力学量用算符表示--第10周作业

第五章量子力学中的对称性与守恒量

-5.1 量子力学中的守恒量

--5.1.1 力学量的平均值随时间的演化

--5.1.2 量子力学里的守恒量好量子数

--*5.1.3 能级简并与守恒量

--*5.1.4 维里定理

-5.2 对称性与守恒量

--5.2.1体系的对称变换幺正变换

--5.2.2 空间平移不变性与动量守恒

--5.2.3 空间旋转不变性与角动量守恒

--5.2.4 离散对称性及离散守恒量

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第11周作业

-5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性

--5.3.1多粒子体系的描写

--5.3.2 全同粒子的不可区别性

--5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质

--5.3.4交换对称或反对称波函数的构成泡利不相容原理

--5.3.5 自由电子气费米面

-*5.4 Schrödinger图画和Heisenberg图画

--*5.4.1 薛定谔方程初值问题的形式解

--*5.4.2 薛定谔图画

--*5.4.3 海森堡图画

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第12周作业

第六章中心力场

-6.1 中心力场中粒子运动的一般性质

--6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化

--6.1.2约化径向方程与一维薛定谔方程的比较

--*6.1.3 二体问题的分解相对运动

-*6.2 球无限深势阱

--*6.2.1球坐标系中的自由粒子波函数

--*6.2.2球无限深势阱中能级的确定

-第六章中心力场--第13周作业

-6.3 三维各向同性谐振子

--6.3.1 三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解

--6.3.2球坐标系中的解缔合拉盖尔多项式

-6.4 氢原子和类氢离子

--6.4.1 径向方程的化简及其解

--6.4.2 氢原子和类氢原子的能级和波函数

--6.4.3 氢原子的轨道磁矩 g因子

--6.4.4 碱金属原子的能级

--*6.4.5 电子偶素电子偶素湮灭的EPR佯谬

第七章带电粒子在电磁场中的运动

-7.1 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程

--7.1.1 带电粒子在电磁场中的经典哈密顿量正则动量

--7.1.2 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程规范条件

--7.1.3 经典的和量子的规范不变性

-*7.2 朗道能级

--7.2.1 带电粒子在均匀磁场中的经典运动

--7.2.2 带电粒子在均匀磁场中的量子运动朗道能级

--*7.2.3 朗道能级的简并度

-*7.3 阿哈罗诺夫-博姆(Aharonov-Bohm)效应

--*7.3.1 费曼的路径振幅

--*7.3.2 无线长螺线管的矢量势

--*7.3.3 阿哈罗诺夫-博姆效应和不可积相因子

3.5.2 方势垒的量子隧穿笔记与讨论

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