4.2.7 不确定关系的准确形式在线视频

不确定关系的准确形式

首先我们先给出一些定义

这个积分

算符F作用在波函数ψ上

然后再乘以ψ的共轭

对全空间的积分

我们称为物理量F的平均值

或期望值

如果这个算符是厄密算符

那么这个物理量的平均值

一定是实数

下面我们对这个定理

作出证明

由完备力学量集的完备性

我们可以知道

波函数ψ可以写成

完备基底的线性组合

也就是说ψ

等于a_k乘上ψ_k

然后对k求和

我们将这个线性组合

代入到平均值的定义中

经过一些简单的计算

我们可以得到

平均值等于a_k模的平方

乘上λ_k对k求和

其中λ_k

就是厄密算符F的本征值

由于

厄密算符的本征值都是实数

因此λ_k是实数

a_k模的平方也是实数

因此平均值也是实数

这样我们就证明了

厄密算符的平均值必是实数

因为a_k模的平方给出了

得到测量值λ_k的几率

因此a_k模的平方乘上λ_k

再对k求和

显然是F的平均值

这也从侧面

说明了物理量F

平均值定义的合理性

下面我们定义偏差算符

它是算符F减去

物理量F的平均值

偏差算符的平均值

显然等于零

偏差算符平方的平均值

我们称为

物理F在态ψ上的

均方偏差也称涨落

对于厄密算符

涨落为非负实数

对于这一结论的证明

我们将在下一页中看到

定理

如果算符F是厄密算符

那么当且仅当ψ

是F的本征态时

F在态ψ上的涨落为零ψ

是F的本征态

是涨落为零的

充分必要条件

它显然是一个充分条件

因为

当ψ是F的本征态时

测量F

一定是有确定的值

因此涨落为零

必要条件

表示为当涨落为零时

那么ψ

一定是算符F的本征态

我们下面

要证明这个定理

我们首先从涨落的定义出发

第一行

写的就是涨落的定义

它是偏差算符平方的平均值

由于在这里F是厄密算符

因此

F减去F的平均值

即偏差算符

也是厄密算符

偏差算符平方可以写成

两个偏差算符的乘积

由于偏差算符是厄密算符

我们可以把最前面的一个

偏差算符

写到这个ψ的共轭的里面

那么从这个式子

我们可以看到

它恰巧是

偏差算符作用在ψ上

模的平方

对全空间的积分

这显然是一个

大于等于零的数

这也证明了

我们之前的一个结论

也就是

如果F是厄密算符

那么

涨落是非负的实数

如果涨落为零

那么必定有偏差算符

作用在ψ上等于零

偏差算符

作用在ψ上等于零

就是算符F的本征方程

因此ψ

就是算符F的本征态

因此我们也证明了

上面的定理

我们在之前的章节中提到

一对对易的算符

具有同时本征函数

那么同时本征函数的

物理意义

就在于

当在同时本征函数下

测量这一对对易的算符

所对应的物理量时

这两个物理量

都有确定的值

那么

如果厄密算符

F和G不对易

也就是

F和G的对易等于

i乘上C这个算符不等于零

在这种情况下

力学量F和G

通常

不能同时有确定的值

那么

它们涨落之间的关系

就是不确定关系

不确定关系的准确形式

推导如下

我们引入一个函数Ｉ(ζ)

其中ζ是一个实参数

这个参数

定义为如下的形式ζ

乘上F的偏差算符减去

i乘上G的偏差算符

作用在波函数ψ上

的模的平方

然后再对全空间求积分

那么这个函数

显然是大于等于零的

我们将这个积分

写成内积的形式

那就是ζ

乘上F的偏差算符

作用在波函数ψ上

减去i乘上G的偏差算符

作用在波函数ψ上

对自己的内积

这个内积

可以展开为以下的四项

分别是

左边这个函数的第一项

和右边的

函数的第一项的内积

加上左边函数的第一项

和右边函数的第二项的内积

再加上左边函数的第二项

和右边函数的第一项的内积

再加上左边函数的第二项

和右边函数的第二项的内积

由于F的偏差算符

和G的偏差算符是厄密算符

因此我们可以将

左边的算符

放到右边算符的前面

得到ψ

和偏差算符的平方

作用在ψ的内积

加上这个内积就可以写成ψ

和F的偏差算符

乘上G的偏差算符的

作用在ψ上的内积

如此等等

我们还可以将第二项

和第三项写在一起

这显然是

F的偏差算符

和G偏差算符的对易

因此我们就得到了

这样的一个公式

因为F的偏差算符

是F算符减去

F的平均值

G的偏差算符

是G算符

减去G的平均值

因此

F和G的偏差算符之间的

对易实际上

就等于F和G的对易

因此我们也可以把这个公式

写成F和G的对易

那么这个第二项的内积

实际上就是

F和G对易的平均值

第一项的内积

给出的就是F的涨落

那么最后一项的这个内积

给出的就是G的涨落

因此

我们得到最后的一个答案

F的涨落乘上ζ的平方

减去i

乘上F G对易的平均值

乘上ζ再加上G的涨落

由于我们之前知道　

这个函数iζ

是大于等于零的

因此这个二次三项式

也是大于等于零的

根据二次三项式

判别式的性质

我们得到

线性项系数的平方

也就是负i F G对易的

平均值的平方

减去

4倍的平方项前边系数

就是F的涨落

乘上常数项G的涨落

是小于等于零的

或者我们可以表示为

F的涨落乘上G的涨落

大于等于四分之一的

负i F G的对易的

平均值的平方

由于我们之前已定义了

F和G的对易

等于i乘上算符C

因此

右侧就等于四分之一

算符C平均值的平方

这就是准确的

海森伯不确定关系

在数学上

它称为施瓦茨不等式

例如

坐标算符

和动量算符的x分量

是不对易的

它们的对易括号等于ihbar

那么在不确定关系中

F就是x

G就是p_x

C就是hbar

因此我们得到的坐标算符

和动量算符 的不确定关系

就是x的涨落乘上p_x的涨落

大于等于四分之一hbar的平方

通常

我们将这里的不确定关系

两边开根号

那么我们定义Δx

是x涨落的开根号

Δp_x是p_x涨落的开根号

那么我们就得到了Δ

x乘上Δp_x大于等于

二分之一hbar

这是一个

我们常见的形式

在不确定关系中

等号所对应的状态

通常称为

最小测不准态

这里要说明的是

并不是所有的量子系统

都存在最小测不准态

接下来

我们举例说明

我们举的例子

是一维谐振子系统的

零点能

这里的零点能

是指的一维谐振子的

最小能量

从经典力学来看

一维谐振子的

最小能量就是零

也就是当它不振动的时候

接下来

我们将推导量子力学中的

零点能

一维谐振子系统的

哈密顿时算符

等于

动量算符的平方除上

2倍的谐振子的质量

加上二分之一的

谐振子的质量

乘上原频率的平方

乘上坐标算符的平方

因此

能量的平均值

就是

动量算符平方的平均值

除上2倍的质量

加上二分之一的mω平方

再乘上坐标算符平方的

平均值

我们不难证明

对于谐振子的能量本征态

有坐标算符的平均值

和动量算符的平均值

都等于零

因此x的涨落就等于

坐标x平方的平均值

p_x涨落等于

p_x算符平方的平均值

我们将这个关系代入到

能量的平均值中

因此我们得到

以下的公式

接下来

我们就是要求出

能量的平均值的最小值

在这里我们假设

一维谐振子所处的

能量本征态

是最小测不准态

这就意味着

坐标x的涨落

乘上动量p_x的涨落

等于四分之一hbar的平方

这个等式

是我们刚才提到过的

这是一个约束条件

在这个约束条件下

求能量平均值的极值

我们可以应用

拉格朗日乘数法

也就是

我们构造一个新的函数

求出

这个函数f的无条件极值

函数f的第一部分

就是上面的这一部分

就是能量的平均值

那么第二部分

就是约束条件

其中κ

是拉格朗日待定乘子

那么学过经典力学的同学

一定对应用拉格朗日乘数法

求极值的方法并不陌生

因此在这里

我们只给出最后的结论

结果是

极值点出现在

x的涨落等于hbar除上2mω

p_x的涨落等于hbarmω除上2

我们发现

x的涨落和p的涨落

是满足这个约束条件的

我们将x的涨落

和p_x的涨落

代入到这个公式中

就得到能量平均值的

最小值

这个最小值

等于二分之一?ω

称为一维谐振子的零点能

所以在这里我们能看出

量子力学和经典力学的不同

而一维谐振子的

非零的零点能

是不确定关系的结果

得出这一结论的前提条件

是我们的一个假设

因为

我们假设了

一维谐振子的

能量本征态

是最小测不准态

我们在之前的章节中

已经求解了一维谐振子的

波函数

因此

我们不难验证

一维谐振子的基态

确实是最小测不准态

我们这里要说明的是

任何一个系统的基态

未必都是最小测不准态

比如说

我们也曾求解了

无限深势阱的

本征函数

在那里我们发现

无限深势阱的基态

并不是最小测不准态

那么我们自然要问

最小测不准态

存在的条件是什么呢

我想

通过这一小节的学习

同学们可以

自己通过思考

回答这个问题

这就是

4.2节的全部内容