当前课程知识点：量子力学（上） > 第三章一维势场中的粒子 > 3.5 一维散射问题 > 3.5.1 一维散射问题的一般描述方法

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3.5.1 一维散射问题的一般描述方法在线视频

3.5.1 一维散射问题的一般描述方法

下一节:3.5.2 方势垒的量子隧穿

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3.5.1 一维散射问题的一般描述方法课程教案、知识点、字幕

前面几节

我们把注意力放在了

束缚态上面

这一节

我们转而研究

非束缚态

也就是散射问题

首先来介绍一下

在一维情况下

散射问题的一般提法

现在我们考虑的情形是

能量大于势能函数

在无穷远的极限值

为简单起见我们假设

势能在两端的无穷远

都等于零

而 E 是大于零的

所以

现在我们的状态

是非束缚态

由于在现在的情况下

只要 E 大于零

它的任何值

都可以使方程有

单值有限连续的解

所以

能量有连续谱

这时候的问题

就不再是

求能量的本征值

而是求散射的几率

我们先来考虑

x 趋近于正负无穷的

极限情形

那么这时候

V 是趋近于零的

所以方程

就变成了这个样子

ψ 的二阶导数

加上 k²ψ 等于零

而这个 k

是由能量 E 和模型参数

所决定的一个值

我们知道

这样的方程

可以有虚指数函数的解

它的两个线性独立解

分别是 e^ikx

和 e^-ikx

一般解

是这样的解的线性组合

就物理意义来说

这个解代表的是

粒子从左向右运动

我们把它称之为

正向行波

这个解代表的是

粒子从右向左运动

我们称之为反向行波

那么

对于实际的物理情形是

粒子从某一个无穷远

射入势场当中

然后

被势场分成了

反射和透射两个部分

与存在粒子源相对的

另外一端

并没有粒子进入势场

所以

这种实验设置

就给方程提出了

下面的要求

我们称之为定解条件

假如粒子是从

左边入射的

那么

所谓的右方无穷远

也就是

x 趋于正无穷的时候

是没有粒子进来的

所以

在右无穷远的这一方

只存在正向行波

这就是

这条定解条件

这里只有一项

就是 e^ikx

反过来说

如果粒子是从

右边入射的

那么在左无穷远处

就只有反向行波

也就是

粒子从右方穿过势场

跑到左方来的那个波

所以

定解条件就变成为

在左无穷远处

只有这一项

下面我们总是以左方入射

作为例子

那么

这个时候

我们要对薛定谔方程

提出下边的定解条件

或者说是边界条件

那就是

当 x 趋于负无穷的时候

我们既有从粒子源出来的

正向行波

也有经过势场反射以后

形成的反向行波

因此

是这样两项的线性组合

这一项是入射波

这一项是反射波

而当 x 趋近于正无穷的时候

就只有穿过势场之后

出现的正向波

也就是透射波

因此

只有这一项

我们下面来考查一下

这样的行波前面的系数

所代表的物理意义

我们利用这个 ψ(x)

来计算一下

几率流密度

这就是几率流密度的公式

把这个 ψ

代到这个公式里面

得到这样的一个表达式

其中的 A 就是

这个前面的系数

k 就是在指数上出现的

波矢量的大小

而我们发觉

hbar k/ m

就是 p/m

也就是 v

这个 v

就是粒子的经典速度

所以

如果我们把

这样的一个表达式

代入到刚才

方程的解当中所出现的三项

就是

入射波反射波

和透射波的话

我们就分别得到了

入射的几率流密度

是 |A|²v

反射的几率流密度是

|B|²v

而透射的几率流密度是

|C|²v

从实验的角度来说

我们观察的是

以一定的流强度

射入势场之后的粒子

有多大的几率被反射

有多大的几率透射

所以

定义一个反射系数

R 是反射的几率流密度

比入射的几率流密度

我们就发觉

它正好是

|B|²/|A|²

而对于透射来说

就是用透射的几率流密度

比上入射的几率流密度

定义一个透射系数

它正好是

|C|²/|A|²

这个 R 和 T

就是在实验上可以测量

理论上可以计算的量

可以为我们提供

理论和实验观察的一个对比

为了方便起见

我们经常又取 A 等于 1

那么这个 R 和 T 的表达式

就变得更简单

那就是 R = |B|²

T = |C|²

量子力学（上）课程列表：

序言

-引言

第一章量子力学的历史渊源

-1.1 普朗克的光量子假说

--1.1.1 黑体辐射的能谱

--1.1.2 普朗克假说

--1.1.3 光电效应

--1.1.4 康普顿效应

-1.2 玻尔的原子结构模型

--1.2.1 氢原子光谱和弗兰克-赫兹实验

--1.2.2 玻尔模型

--1.2.3 索末菲量子化条件

-1.3 德布罗意的物质波假说

--1.3.1 德布罗意假说

--1.3.2 微观粒子波动性的实验

-第一章量子力学的历史渊源--第1周作业

第二章波函数与薛定谔方程

-2.1波函数

--2.1.1 波粒二象性的意义

--2.1.2 波函数的统计诠释

--2.1.3 波函数的归一化

--2.1.4 态叠加原理

--2.1.5 动量分布几率

--2.1.6 不确定关系

--2.1.7 力学量的平均值和力学量的算符表示

--2.1.8波函数应满足的要求

-第二章波函数与薛定谔方程--第2周作业

-2.2 薛定谔方程

--2.2.1 薛定谔方程的引入

--2.2.2 几率守恒定律

--*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子

--2.2.4 定态薛定谔方程能量本征方程

--2.2.5 非定态薛定谔方程的一般解

--2.2.6 一般系统的薛定谔方程

--2.2.7 量子力学的表象

--2.2.8 量子力学中的测量波包坍缩

-第二章波函数与薛定谔方程--第3周作业

第三章一维势场中的粒子

-3.1一维运动问题的一般分析

--3.1.1 一维定态薛定谔方程的解的一般特征

--3.1.2 关于一维定态薛定谔方程的解的基本定理

--3.1.3 一维定态的分类束缚态和非束缚态

--3.1.4一维束缚态的一般性质

-第三章一维势场中的粒子--第4周作业

-3.2 方势阱

--3.2.1 一维无限深势阱

--3.2.2 对称有限深方势阱

-3.3 δ函数势阱

--3.3.1 函数的定义和主要性质

--3.3.2 一维δ函数势阱中的束缚态

--3.3.3 δ函数势阱与方势阱的关系

-第三章一维势场中的粒子--第5周作业

-3.4 线性谐振子

--3.4.1 方程的无量纲化和化简

--3.4.2 厄密多项式

--3.4.3 线性谐振子的能级和波函数

-3.5 一维散射问题

--3.5.1 一维散射问题的一般描述方法

--3.5.2 方势垒的量子隧穿

--3.5.3 方势阱的共振透射

-第三章一维势场中的粒子--第6周作业

-*3.6 δ势的穿透

--3.6.1 δ势垒的穿透

--3.6.2 δ势阱的穿透

-*3.7 周期性势场中的能带结构

--*3.7.1 有限平移不变性，弗洛盖-布洛赫定理

--*3.7.2克勒尼希-彭尼模型，能带的形成

--第三章一维势场中的粒子--第7周作业

第四章力学量用算符表示

-4.1 算符及其运算

--4.1.1 基本的和导出的力学量算符

--4.1.2 线性算符

--4.1.3 算符的运算和厄密算符

--4.1.4算符的对易关系

-第四章力学量用算符表示--第8周作业

-4.2 厄密算符的主要性质

--4.2.1 算符的本证方程

--4.2.2 厄密算符的本征值

--4.2.3 本征函数系的正交性

--4.2.4 简并情形共同本征函数

--4.2.5 力学量的完备集

--4.2.6 一般力学量的测量几率

--4.2.7 不确定关系的准确形式

-第四章力学量用算符表示--第9周作业

-4.3 动量本征函数的归一化

--4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化

--*4.3.2 动量本征函数的箱归一化

-4.4 角动量算符的本征值和本征态

--4.4.1角动量算符的球坐标表示

--4.4.2 角动量算符z的本征值和本征函数

--4.4.3 角动量平方算符的本征值和本征函数

--4.4.4 球谐函数的基本性质

-第四章力学量用算符表示--第10周作业

第五章量子力学中的对称性与守恒量

-5.1 量子力学中的守恒量

--5.1.1 力学量的平均值随时间的演化

--5.1.2 量子力学里的守恒量好量子数

--*5.1.3 能级简并与守恒量

--*5.1.4 维里定理

-5.2 对称性与守恒量

--5.2.1体系的对称变换幺正变换

--5.2.2 空间平移不变性与动量守恒

--5.2.3 空间旋转不变性与角动量守恒

--5.2.4 离散对称性及离散守恒量

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第11周作业

-5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性

--5.3.1多粒子体系的描写

--5.3.2 全同粒子的不可区别性

--5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质

--5.3.4交换对称或反对称波函数的构成泡利不相容原理

--5.3.5 自由电子气费米面

-*5.4 Schrödinger图画和Heisenberg图画

--*5.4.1 薛定谔方程初值问题的形式解

--*5.4.2 薛定谔图画

--*5.4.3 海森堡图画

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第12周作业

第六章中心力场

-6.1 中心力场中粒子运动的一般性质

--6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化

--6.1.2约化径向方程与一维薛定谔方程的比较

--*6.1.3 二体问题的分解相对运动

-*6.2 球无限深势阱

--*6.2.1球坐标系中的自由粒子波函数

--*6.2.2球无限深势阱中能级的确定

-第六章中心力场--第13周作业

-6.3 三维各向同性谐振子

--6.3.1 三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解

--6.3.2球坐标系中的解缔合拉盖尔多项式

-6.4 氢原子和类氢离子

--6.4.1 径向方程的化简及其解

--6.4.2 氢原子和类氢原子的能级和波函数

--6.4.3 氢原子的轨道磁矩 g因子

--6.4.4 碱金属原子的能级

--*6.4.5 电子偶素电子偶素湮灭的EPR佯谬

第七章带电粒子在电磁场中的运动

-7.1 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程

--7.1.1 带电粒子在电磁场中的经典哈密顿量正则动量

--7.1.2 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程规范条件

--7.1.3 经典的和量子的规范不变性

-*7.2 朗道能级

--7.2.1 带电粒子在均匀磁场中的经典运动

--7.2.2 带电粒子在均匀磁场中的量子运动朗道能级

--*7.2.3 朗道能级的简并度

-*7.3 阿哈罗诺夫-博姆(Aharonov-Bohm)效应

--*7.3.1 费曼的路径振幅

--*7.3.2 无线长螺线管的矢量势

--*7.3.3 阿哈罗诺夫-博姆效应和不可积相因子

3.5.1 一维散射问题的一般描述方法笔记与讨论

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