5.2.1体系的对称变换 幺正变换在线视频

这一节我们来讲

对称性和守恒量之间的关系

首先讲

什么叫做体系的对称性变换

我们知道有许多物理系统

在一些变换之下是不变的

这种不变性也被称为对称性

那么在量子力学里

系统的状态用

波函数ψ来描写的ψ

随时间的演化

服从薛定谔方程

现在我们假设ψ

受到了某种变换

这个变换有两个条件

第一它不依赖于时间

第二它是可逆的

那么

我们就可以把这个变换

形式的写为ψ变为ψ′

而ψ′是借助一个

算符Q来完成的

那就是ψ′等于Qψ

前面我们讲到

在量子力学里

力学量用算符来代表

现在我们又为算符赋予了

另外一个意义

那就是它代表一个变换

其实这二者是一致的

以后我们就会有一个

进一步的理解

由于我们假设Q是可逆的

所以这个变换

也可以反过来写成为ψ

等于Q的逆作用于ψ′

Q的逆我们表示成为

Q指数上负1

那么什么叫做

系统对于这个变换

是不变的呢

那就是ψ′服从

与ψ相同的运动方程

也就是说

它也满足同样的哈密顿量

H所决定的那个薛定谔方程

就是ihbarψ′对t的偏导数

也等于H作用于ψ′

那么我们知道ψ′

等于Q作用于是ψ

而Q是和时间无关的

所以说把ψ′

代到上面这个方程里边来

就得到底下这个方程

而这个Q可以写在

时间偏导数的左边

然后

我们再考虑到Q是可逆的

所以可以在这个等式的两边

乘以Q的逆算符

于是左边就不再出现

而右边的最左方

出现了一个Q的逆

因些这个地方称为

Q逆HQ作用于ψ

而我们知道ψ

本身是满足原来的

薛定谔方程的

所以说

从这个式子马上就可以得到

Q逆HQ就等于H

再进一步

我们还把这个式子的两边

同时乘以Q

于是左边就变成了Q乘以H

而右边就变成了H乘以Q

再把等式的右边移到左边来

于是就变成了QH减去HQ

而这正好是

Q和H的对易括号

而这个对易括号是等于零的

于是

我们就把这样的一个事实

就是系统在变换Q的作用下

保持不变

取得了一个数学的关系

就是Q和H的对易括号

等于零

对于这种变换

我们就称为系统的对称变换

由于在量子力学里

可观察量

都是和波函数的内积

联系在一起的

比如说

某个力学量的平均值

就是这个力学量算符

和波函数所构成的内积

如此等等

所以

系统在变换之下的不变性

也应该要求在变换之后

波函数的内积保持不变

也就是说在变换之后的

任意两个波函数

比如说ψ′和Φ′

所构成的那个内积

应该等于变换以前的

同样的内积

如果我们把这个变换

代到内积的表达式里边

那么自然是

成为Q作用于ψ和

Q作用于Φ的那个内积

然后就利用所谓的

厄密共轭算符的定义

可以把这个Q拿到右边来

然而要变成它的厄密共轭

于是

这个内积就可以重新写为ψ

与Q厄密共轭

乘以Q作用于Φ的内积

那么根据刚才我们所说的

左边的变换之后的内积

应该等于变换之前的内积

由于这两个波函数

都是任意取定的

所以说我们必须要求

这样的一个算符的乘积

应该是一个单位算符

或者叫做一个恒等变换

于是我们就得到了

Q厄密共轭乘以Q

应该等于单位算符

而在线性代数里

大家都知道

如果有两个矩阵

它们的乘积是单位矩阵的话

那么把它们的次序交换一下

仍然是单位矩阵

这个事实对于算符来说

也是成立的

所以说

不但Q厄密共轭乘以Q

等于单位算符

而且Q乘以Q厄密共轭

也等于单位算符

满足这种条件的变换

我们称为幺正变换

而Q称为幺正算符

当然这里边特别要注意

尽管我们这里也用到了

Q的厄密共轭

但是

幺正条件和厄密条件

是不一样的

厄密条件是Q的厄密共轭

等于Q

而现在呢是Q的厄密共轭

乘以Q等于单位算符

我们来看一看这个

对称变换的条件

那就是

Q和H的对易括号等于零

我们发觉它非常熟悉

因为在形式上

这个条件和

守恒量的那个条件

是完全一样的

因为前面我们讲到了

如果某一个算符代表力学量

记作F它和H是对易的

那么它就是守恒量

因此我们从这个条件

似乎能够得出

Q是一个守恒量的结论

问题是刚才我们已经强调了

守恒量意味着

这个算符应该是厄密的

可是Q满足的幺正条件

不是厄密条件

所以说Q尽管满足这个方程

却不一定是一个守恒量

因为

它不一定是一个厄密算符

那么我们马上就可以想到

我们能不能

利用这样的一个条件

与某种方法产生出来一个

守恒的力学量呢

如果

这个对称变换依赖于一个

连续的实参数

这里边就用到了一个所谓

连续变换的这样一个概念

直接的就理解为

这个变换包含参数

而这个参数可以从零开始

连续的变化

那么

我们就可以利用

下面这个方法

从幺正算符得到厄密算符

主要的是考虑

所谓恒等变换附近的一个

无穷小的邻域

也称之为无穷小变换

也就是说这个Q是单位算符

或者说恒等变换

加上一个i这是虚数单位

ε是一个无穷小的实参数

乘以F

这里的

是一个形式上定义的

一个新的算符

那么我们就可以

把这样的

代入那个幺正条件

也就是说

让Q厄密共轭乘以Q等于I

而现在的Q

是这样的一个表达式

这里边有厄密共轭

使得这个表达式里边的I

变成-I F变成它的厄密共轭

这个Q就是原来那个

无穷小的表达式

由于ε是一个无穷小量

所以说把这样一个乘积

展开以后

我们可以把ε

平方的那一项舍掉不要

于是就变成了

单位算符

加上iε而括号里边是

F-F^dagger

它应该等于单位算符

那么这样一来

这个括号就应该等于零

于是我们就得到了

F是等于F的厄密共轭

也就是说

F是一个厄密的算符

当然由于Q本身是和

H可以对易的

而单位算符

当然和F可以对易

所以它也就导致了

F和H是可以对易的

而同时它又是一个厄密算符

可以代表力学量

于是我们的结论就是

F是一个守恒的物理量

这样我们就从对称性

得到了守恒量

这样的一个算符

称为Q的无穷小算符

或者叫做Q的生成元

当然以上的推导

并没有指定ε

究竟是一个什么样的参数

这也就导致

F并没有完全确定下来

因为

它可以包含任意的常数因子

或者说F的单位是没有确定