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6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化在线视频

6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化

下一节:6.1.2约化径向方程与一维薛定谔方程的比较

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6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化课程教案、知识点、字幕

在上一章里

我们对量子力学里的

算符的一般性质

做了一个研究

现在

我们再进一步研究

更多的具体的量子力学系统

就是三维问题

但是稍微特殊一点

我们只研究中心力场问题

这就是第六章的核心内容

我们先来研究

在中心力场中

粒子运动的一般性质

还是从薛定谔方程出发

我们要指出

在这种情况下

薛定谔方程可以做一些约化

所谓的中心力场就是

它的势能只和距离有关

而和方向无关

也就是 V 等于 V(r)

这个 r 是矢径的长度

所以

这个系统的哈密顿量算符

就是 Ĥ 等于

这一部分是动能算符

这一部分是势能算符

这里我们把粒子的质量

记作了 μ

它的意义是约化质量

之所以这样写

我们将在后边

做进一步的解释

由这样的一个哈密顿量算符

我们就很容易发现

这个哈密顿量算符和

角动量的平方算符

以及角动量的 z 分量的算符

都是可以对易的

那么根据我们所讲的

量子力学里的守恒量的要求

我们就知道

在中心力场里

角动量是一个守恒量

而这两个对易关系等于零

也就表明我们可以

把 Ĥ, L̂² 和 L̂_z

作为这个系统的

力学量的完全集

因为它们是两两对易的

而且数目恰好和

单粒子的自由度数相同

所谓的构成力学量的完全集

以及求这个完全集的

同时本征函数的这样的要求

体现在我们

解定态薛定谔方程的这个角度

那就是要求

定态薛定谔方程的解

也同时是角动量本征函数

而根据上一章我们所讲的

所谓的角动量的本征函数

就意味着

L̂² 和 L̂_z 的同时本征函数

现在薛定谔方程

就变成这个样子

右边那个 E 是能量本征值

ψ 意味着

属于这个能量 E 的本征函数

我们为了明确地得到

刚才的力学量完全集的

同时本征函数

要把拉普拉斯算符

换写到球坐标系里

那么在球坐标系里

拉普拉斯算符是这个样子

第一项只和坐标 r 有关

第二项是对 θ 的偏导数项

第三项是对 φ 的偏导数项

在哈密顿量算符

里边出现的是

拉普拉斯算符前面

再乘上一个这样的系数

-ℏ²/2μ

我们把这个系数

乘在这个表达式上

第一项

没有什么好说的

就是把这个系数乘上去

对于后面两项

我们发觉

这里有一个

-ℏ² 乘上来

然后呢

把这里边的 r² 拿到外面去

我们就发觉

把 -ℏ²

乘上这两项之和

当然这项里

没有 r² 那个因子了

结果正好是

L̂² 这个算符的表达式

所以说

所谓的粒子的动能项部分

就重新写成了这个样子

提醒大家注意的是

这个 L̂² 只和坐标 θ、φ 有关

和 r 无关

而剩下的部分

这个因子

以及这一项

却只和 r 有关

和θ、φ无关

这样一来

我们把拉普拉斯算符

重新在球坐标里边写出来

薛定谔方程

就变成了这个样子

这里直接地把和θ、φ

坐标有关的部分

表达成为 L̂² 这个算符

那么我们就问

所谓的

要构造力学量完全集的

同时本征函数

在解方程的意义上

意味着什么呢

意味着所谓的

分离变量这个方法

求解偏微分方程的

分离变量法

应该是学习过

偏微分方程这门课的同学

很熟悉的一个方法

现在我们就对

分离变量法从物理的角度

有了一个理解

那就是它的意义就在于

求一个完备力学量集的

同时本征函数

那么具体到目前这个问题

我们就是这样来假设

分离变量的波函数

那就是 ψ

作为 r、θ 和 φ 的函数

是一个 R

它只是 r 的函数

再乘以球谐函数

而这个球谐函数

就是 L̂² 的本征函数

L̂² 作用于球谐函数 Y_lm

是 θ、φ的函数

它就是 l(l+1)ℏ²

再乘以这个球谐函数

这样一来我们把这个结果

代入这个方程

就发觉

在这个方程的两边

球谐函数是共同的

可以消掉

于是就只剩下了和

函数 R(r) 有关的一个方程

就是这个方程

这个方程是 R(r) 这个函数

所满足的一个

二阶常微分方程

当然这个方程

在本质上还是一个本征方程

因为

E 在这个方程里所起的作用

是本征值

换句话说

这个 E

并不是一个给定的常数

而是需要从

解这个方程的过程当中

求出来的

我们可以注意一点

那就是

这个径向薛定谔方程

和量子数 m 是没有关系的

这个 m

就是球谐函数的那个指标

Y_lm 里边的那个量子数 m

也就是磁量子数

而这个方程

决定了能量的数值 E

所以我们就可以想象得到

能量对于这个量子数 m

必定是简并的

意思就是说

不同的 m 给出相同的能量

我们来看一下这个

二阶常微分方程

看这一项

当然是一个二阶导数项

但是实际上应该把它

做一个展开

也就是说

其中的一项是 r² 不被微分

当然就出现一个

R 对 r 的二阶微分

但是还有一项

是对这个 r² 微分

它并不动

所以又出现了一个

R 对 r 的一阶微分项

这样的一个二阶常微分方程

和我们所熟悉的

一维的薛定谔方程

还是不大一样

为了让

这样的三维里的径向方程

和一维空间的薛定谔方程

有更贴近的比较

我们来做一个变换

这个变换就是

引入一个新的函数 u(r)

使得

R(r) 等于

u(r) 除以这个 r

或者说

把 u 写成 r 乘以 R

然后

我们就可以把这样的一个

R 函数

代入刚才的那个方程

变成 u 所满足的一个方程

这个方程就变成了

导数只剩下了一个

u 对 r 的二阶导数项

不再出现一阶导数项

后边就是无导数项

它就和一维空间里的

薛定谔方程变得非常相似了

这个方程叫做

约化的径向方程

这个 u

也叫做约化的径向波函数

量子力学（上）课程列表：

序言

-引言

第一章量子力学的历史渊源

-1.1 普朗克的光量子假说

--1.1.1 黑体辐射的能谱

--1.1.2 普朗克假说

--1.1.3 光电效应

--1.1.4 康普顿效应

-1.2 玻尔的原子结构模型

--1.2.1 氢原子光谱和弗兰克-赫兹实验

--1.2.2 玻尔模型

--1.2.3 索末菲量子化条件

-1.3 德布罗意的物质波假说

--1.3.1 德布罗意假说

--1.3.2 微观粒子波动性的实验

-第一章量子力学的历史渊源--第1周作业

第二章波函数与薛定谔方程

-2.1波函数

--2.1.1 波粒二象性的意义

--2.1.2 波函数的统计诠释

--2.1.3 波函数的归一化

--2.1.4 态叠加原理

--2.1.5 动量分布几率

--2.1.6 不确定关系

--2.1.7 力学量的平均值和力学量的算符表示

--2.1.8波函数应满足的要求

-第二章波函数与薛定谔方程--第2周作业

-2.2 薛定谔方程

--2.2.1 薛定谔方程的引入

--2.2.2 几率守恒定律

--*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子

--2.2.4 定态薛定谔方程能量本征方程

--2.2.5 非定态薛定谔方程的一般解

--2.2.6 一般系统的薛定谔方程

--2.2.7 量子力学的表象

--2.2.8 量子力学中的测量波包坍缩

-第二章波函数与薛定谔方程--第3周作业

第三章一维势场中的粒子

-3.1一维运动问题的一般分析

--3.1.1 一维定态薛定谔方程的解的一般特征

--3.1.2 关于一维定态薛定谔方程的解的基本定理

--3.1.3 一维定态的分类束缚态和非束缚态

--3.1.4一维束缚态的一般性质

-第三章一维势场中的粒子--第4周作业

-3.2 方势阱

--3.2.1 一维无限深势阱

--3.2.2 对称有限深方势阱

-3.3 δ函数势阱

--3.3.1 函数的定义和主要性质

--3.3.2 一维δ函数势阱中的束缚态

--3.3.3 δ函数势阱与方势阱的关系

-第三章一维势场中的粒子--第5周作业

-3.4 线性谐振子

--3.4.1 方程的无量纲化和化简

--3.4.2 厄密多项式

--3.4.3 线性谐振子的能级和波函数

-3.5 一维散射问题

--3.5.1 一维散射问题的一般描述方法

--3.5.2 方势垒的量子隧穿

--3.5.3 方势阱的共振透射

-第三章一维势场中的粒子--第6周作业

-*3.6 δ势的穿透

--3.6.1 δ势垒的穿透

--3.6.2 δ势阱的穿透

-*3.7 周期性势场中的能带结构

--*3.7.1 有限平移不变性，弗洛盖-布洛赫定理

--*3.7.2克勒尼希-彭尼模型，能带的形成

--第三章一维势场中的粒子--第7周作业

第四章力学量用算符表示

-4.1 算符及其运算

--4.1.1 基本的和导出的力学量算符

--4.1.2 线性算符

--4.1.3 算符的运算和厄密算符

--4.1.4算符的对易关系

-第四章力学量用算符表示--第8周作业

-4.2 厄密算符的主要性质

--4.2.1 算符的本证方程

--4.2.2 厄密算符的本征值

--4.2.3 本征函数系的正交性

--4.2.4 简并情形共同本征函数

--4.2.5 力学量的完备集

--4.2.6 一般力学量的测量几率

--4.2.7 不确定关系的准确形式

-第四章力学量用算符表示--第9周作业

-4.3 动量本征函数的归一化

--4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化

--*4.3.2 动量本征函数的箱归一化

-4.4 角动量算符的本征值和本征态

--4.4.1角动量算符的球坐标表示

--4.4.2 角动量算符z的本征值和本征函数

--4.4.3 角动量平方算符的本征值和本征函数

--4.4.4 球谐函数的基本性质

-第四章力学量用算符表示--第10周作业

第五章量子力学中的对称性与守恒量

-5.1 量子力学中的守恒量

--5.1.1 力学量的平均值随时间的演化

--5.1.2 量子力学里的守恒量好量子数

--*5.1.3 能级简并与守恒量

--*5.1.4 维里定理

-5.2 对称性与守恒量

--5.2.1体系的对称变换幺正变换

--5.2.2 空间平移不变性与动量守恒

--5.2.3 空间旋转不变性与角动量守恒

--5.2.4 离散对称性及离散守恒量

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第11周作业

-5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性

--5.3.1多粒子体系的描写

--5.3.2 全同粒子的不可区别性

--5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质

--5.3.4交换对称或反对称波函数的构成泡利不相容原理

--5.3.5 自由电子气费米面

-*5.4 Schrödinger图画和Heisenberg图画

--*5.4.1 薛定谔方程初值问题的形式解

--*5.4.2 薛定谔图画

--*5.4.3 海森堡图画

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第12周作业

第六章中心力场

-6.1 中心力场中粒子运动的一般性质

--6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化

--6.1.2约化径向方程与一维薛定谔方程的比较

--*6.1.3 二体问题的分解相对运动

-*6.2 球无限深势阱

--*6.2.1球坐标系中的自由粒子波函数

--*6.2.2球无限深势阱中能级的确定

-第六章中心力场--第13周作业

-6.3 三维各向同性谐振子

--6.3.1 三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解

--6.3.2球坐标系中的解缔合拉盖尔多项式

-6.4 氢原子和类氢离子

--6.4.1 径向方程的化简及其解

--6.4.2 氢原子和类氢原子的能级和波函数

--6.4.3 氢原子的轨道磁矩 g因子

--6.4.4 碱金属原子的能级

--*6.4.5 电子偶素电子偶素湮灭的EPR佯谬

第七章带电粒子在电磁场中的运动

-7.1 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程

--7.1.1 带电粒子在电磁场中的经典哈密顿量正则动量

--7.1.2 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程规范条件

--7.1.3 经典的和量子的规范不变性

-*7.2 朗道能级

--7.2.1 带电粒子在均匀磁场中的经典运动

--7.2.2 带电粒子在均匀磁场中的量子运动朗道能级

--*7.2.3 朗道能级的简并度

-*7.3 阿哈罗诺夫-博姆(Aharonov-Bohm)效应

--*7.3.1 费曼的路径振幅

--*7.3.2 无线长螺线管的矢量势

--*7.3.3 阿哈罗诺夫-博姆效应和不可积相因子

6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化笔记与讨论

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