当前课程知识点:工程制图 > 第一讲:第2章 投影基础 > 2.1 点的投影 > 2.1 点的投影
好 现在我们开始学习第二章 投影基础
工程师绘制的一张工程图
他实际上是用投影的方法
表示了一个空间的三维形体
当我们读一张工程图
构想出它的空间形体的时候
实际上 你是把二维的工程图
和三维的形体 联系在一起
因此 学习工程图首先要研究
如何用投影的方法表示三维的空间形体
空间形体是由基本的点 线 面等几何元素组成
因此 研究三维形体的投影
切入点就是研究点 直线和平面的投影
本章介绍的内容有
点的投影 直线的投影 平面的投影
我们先来研究点的投影
大家请看这两个图
我们先研究点在一个投影面上的投影
我们先来看第一张图
大写的A点表示空间的一个点
P平面表示投影面
S代表投射方向
我们用正投影的方法
把空间的一个几何点向投影面投影
我们就得到了A点在投影面上的投影点
小写的a表示
从这张图我们可以看到
当点的空间位置已知时
点的投影位置是唯一确定的
我们再看第二张图
第二张图我们已知空间某一个点的投影b
用小写的b表示
那么空间B点的位置在哪里呢
我们试着来做它的投影
从这张图我们可以看出
空间点B1 B2 B3 它的投影都在同一个位置
因此我们知道点的已知投影
是无法判断它的空间位置的
或者说根据点的一个投影
是不能唯一确定它的空间位置的
那么如何根据点的投影确定点的空间位置呢
为了解决这个问题
我们引出两投影面体系
请看图
我们引入相互垂直的两个投影面
V H 平面
H面是水平放置的投影面
V面是垂直放置的投影面
V H 面将空间分为四个分角
按照国家标准的规定
机械制图按正投影绘制
采取第一分角的画法
好 下面我们研究点在两投影面体系中的投影
V H 构成一个两投影面体系
OX是V面和H面的交线
我们叫做投影轴
空间一个点A
我们用正投影的方法向H面做出A的投影
用小写字母小a来表示
同样 用正投影的方法
做出A点在V面上的投影
用小写字母a'表示
从a'向投影轴OX做垂线
与OX相交一个点 叫做
这是空间点A 投影的一个空间模型
我们把水平面H向下翻转90°
使他和大写的V在同一个平面上
得到了第二张图
这张图就是空间点A在V H两个平面上的投影图
为了表达方便
我们去掉表达图框的粗实线
形成了像第三个图这样的表示方法
OX表示投影面V和H的交线
在H面上的投影用小写字母小a表示
在V面上的投影用小写字母a'表示
a'和a的连线与OX轴的交线
那么我们来观察这张投影图
a'到OX的距离和空间的点A到H面的距离
是相互对应的
小a到OX的距离和空间的点A到V面的距离
是相互对应的
因此根据点的两个投影
就可以确定它的空间位置
进一步我们建立一个三投影面体系
如图所示 在这个图中
在V H两投影面体系的基础上
增加了一个侧面的投影面 与OX垂直
我们把它叫做W投影面
这时V H W就构成了一个三投影面体系
在这个三投影面体系中
我们来研究点的投影规律
我们把V面称之为正面投影面 简称为正面
把H面称之为水平投影面 简称为水平面
把W投影面称之为侧面投影面 简称为侧面
三个投影轴 V H的交线称之为OX轴
H和W的交线称之为OY轴
V和W面的交线称之为OZ轴
好 我们来观察
OX OY OZ它对应这我们数学中立体几何
里边的三坐标空间
在三坐标体系中 点的位置用x y z坐标来表示
那么空间点A在三个投影面上的投影
a'是点A的正面投影
小a是它的水平投影
小a''是它的侧面投影
进一步我们和两投影面体系向对应
把三投影面体系展开
V面不动
H面绕OX轴向下翻转90°
W面绕OZ轴向外翻转90°
这样 使H面 V面和W面共面
就形成了一个三投影面的投影图
去掉表示平面的边框
我们就得到了右边这张常用的投影图
好 进一步分析这张投影图
我们就来研究点的投影规律
空间点A它的坐标是x y z
我们来观察A点的投影图
请大家看 正面投影a'和水平投影a的连线
a'a垂直于OX轴
正面投影a'和侧面投影a"的连线
a'a"垂直于OZ轴
这是点的一个投影规律
下面我们来看点的投影和它空间坐标的关系
水平投影a到OX的距离
等于侧面投影a"到OZ轴的距离
也等于点的空间y坐标
它反映的是点A到平面V的距离
同样我们继续来看
都反映的是 点的空间z坐标
也反映了点到H面的距离
再进一步观察
等于点的空间x坐标
它反映的是点A到W平面的距离
好 研究了点的投影规律之后
我们来研究一个典型的问题
怎么样根据点的两个投影求第三个投影
请大家看这个例题
在这个例题中
已知点的两个投影 小a和a'
求它的侧面投影a"
该怎么解答呢
我们注意利用刚才研究的投影规律
首先 根据点的投影规律
a'a"的连线应该垂直于OZ轴
好 那么我们利用这个投影规律来作图
首先过a'做直线垂直于OZ
等于水平投影到X轴的距离
好 我们擦去多余的线
就可以得到它的侧面投影
对这个题目我们再进一步讨论
这个题目的关键就是保证a''到OZ的距离
等于a到OX的距离
可以采用以下的作图方法
第一 像我们刚才所做的过程
直接量取a"到OZ的距离
等于小a到OX的距离
第二种方法 我们可以借助于∠YhOYw
这个角的角分线来完成这个作图
我们画一个45°的角分线
从a点直接做OX的平行线
与角分线相交
从交点直接做OZ的平行线
同样和过a点做OZ垂直的直线相交于a"
这两种方法都可以顺利确定出来a"
好 这个题目是一个典型的问题
如何根据点的两个投影求第三个投影
根据点的两个投影求第三个投影
是我们解决其他问题的一个基础
大家应该熟练掌握
你可以研究一下
如果知道点的正面投影和侧面投影
如何求出水平投影
同样 如果知道点的水平投影和侧面投影
如何求出正面投影
好 下边我们再研究一个问题
如果知道点的两个投影
怎么样来判断它的空间相对位置关系
我们看一下这张图
在这张图上 已知A点的三个投影
a a' 和 a"
同样已知B点的三个投影
b b' 和 b"
那么请大家来分析一下
A点和B点在空间
它是处在什么样一个相对位置关系下
我们来看一下 正面投影
从点的正面投影 我们可以观察到什么信息呢
大家看a'和b'
它到OX的距离表示的是空间点的z坐标
因此a'和b' 就反映了空间点相对H面的距离
从正面投影可以看到 a'在b'的上方
同时在左方
那么空间点A就在B点的上方和左方
我们来分析H面上的投影
在H面投影上
a点在b点的左方和前方
所以空间点就在B点的左方和前方
同样我们分析W面上的投影
从W面上的投影 我们可以分析到
a"在b"的前方和上方
因此空间点A就在B点的前方和上方
通过对三个投影的分析
我们就可以判断空间点A在B点的
左方 上方和前方
因此 根据点的两个投影
就可以判断他们在空间的相对位置关系
下面我们再看另外一个典型问题
分析重影点及其它的投影的可见性
重影点的概念是空间两个点
处于对某投影面的同一条投射线上的时候
它们在该投影面内的投影重合
那么这两个点就称之为重影点
这里要特别注意
重影点一定是针对某一个投影面的重影点
我们看这个立体图
A点和B点在H面上的投影
a' b' 重合在一起
由于按照投影方向
A点在前 B点在后
所以B点被A点所遮挡
因此b'我们用括号把它表示出来
表示它是不可见的
在这里要提醒大家
在数学上 我们说到点是不考虑它的大小的
那么在工程上不是
在工程上我们说到点的时候
如果A点在前 B点在后
投影的时候我们就说A点把B点遮挡住了
那么这个在工程上是有意义的
因为你就可以通过这种方式
来判断A点和B点的相对位置
好 那么在这里边
A和B是对V面的重影点
因为它们在V面上的投影点重合了
这是它们的投影图
好 下面我们再来看C点和D点的投影
类比刚才的分析方法
我们分析C点和D点在H面上的投影
C点在上 D点在下
按照投影方向 D点被C点遮挡
所以在H面上 D点是不可见的
用括号表示
点C D是对H面的重影点
好 这是C点和D点的投影
最后我们再分析一下 E点和F点
与刚才的方法相同
E点 F点在W面上的投影是重合的
因此我们说E F是对W面的重影点
这是它的投影图
下边我们把点的投影部分做一个小结
小结的内容就是这一部分
希望大家重点掌握的内容
第一 大家首先要掌握
点的三面投影及其投影规律
第二 要重点掌握
根据点的两个投影求第三个投影
第三 要掌握根据点的投影
判断两个点的空间相对位置关系
第四 要学会分析重影点及其投影的可见性
这些内容就是点的投影这部分的重点内容
-1.1 工程制图的应用背景
-1.2 课程性质和课程目标
-1.3 课程内容和教学要求
-1.4 学习方法
--1.4 学习方法
-1.5 制图国家标准简介
-1.6 投影的基本概念
-第1章课件
--外部链接
-2.1 点的投影
--2.1 点的投影
-2.2 直线的投影
-2.3 平面的投影
-第2章课件
--外部链接
-第一讲作业
-3.1 平行问题
--3.1 平行问题
-3.2.1 平面与平面相交
-3.2.2 直线与平面相交
-3.3 垂直问题
--3.3 垂直问题
-3.4 综合问题解题方法
-第3章课件
--外部链接
-第二讲作业
-4.1 问题的提出
-4.2 选择新投影面的原则
-4.3.1 点的投影变换规律——点的一次换面
-4.3.2 点的投影变换规律——点的二次换面
-4.4.1 四个基本问题(一)
-4.4.2 四个基本问题(二)
-4.5.1 工程问题应用(一)
-4.5.2 工程问题应用(二)
-4.5.3 工程问题应用(三)
-第4章课件
--外部链接
-第三讲作业
-5.1 体的投影——视图
-5.2.1 基本体的三视图(一)
-5.2.2 基本体的三视图(二)
-5.2.3 基本体的三视图(三)
-5.2.4 基本体的三视图(四)
-5.2.5 基本体的三视图(五)
-5.2.6 基本体的三视图(六)
-第5章课件
--第5章课件
-第四讲作业(1)
-6.1 轴测图概述
-6.2.1 正等轴测图(一)
-6.2.2 正等轴测图(二)
-6.3 斜二等轴测图
-6.4 轴测剖视图
-6.5 轴测图的徒手绘图
-第6章课件
--第6章课件
-第四讲作业(2)
-7.1 二维绘图的基本功能和工作界面
-7.2 基本操作方式
-7.3 常用命令介绍
-7.4 辅助绘图功能和图形的显示控制
-7.5 尺寸标注
--7.5 尺寸标注
-7.6 绘图步骤(实例)
-7.7 Solidworks 2013的基本功能和零件建模界面
--7.7 Solidworks 2013的基本功能和零件建模界面
-7.8 零件建模
--7.8 零件建模
-7.9 装配建模
--7.9 装配建模
-8.1 回顾与思考
-8.2 平面与平面体相交
-8.3 平面与回转体相交(一)
-8.4 平面与回转体相交(二)
-8.5 应用实例
--8.5 应用实例
-8.6 本章小结
--8.6 本章小结
-第8章课件
--外部链接
-第六讲作业
-9.1 平面体与平面体相贯
-9.2 平面体与回转体相贯
-9.3.1 回转体与回转体相贯(一)
-9.3.2 回转体与回转体相贯(二)
-9.3.3 回转体与回转体相贯(三)
-9.4 多体相贯
--9.4 多体相贯
-第9章课件
--课件
-第七讲作业
-10.1 组合体的组成方式
-10.2.1 组合体的画图方法(一)
-10.2.2 组合体的画图方法(二)
-10.3.1 组合体的读图方法(一)
-10.3.2 组合体的读图方法(二)
-10.3.3 组合体的读图方法(三)
-10.3.4 组合体的读图方法(四)
-第10章课件
--外部链接
-第八讲作业
-11.1.1 视图(一)
-11.1.2 视图(二)
-11.2.1 剖视图(一)
-11.2.2 剖视图(二)
-11.2.3 剖视图(三)
-11.2.4 剖视图(四)
-11.3 断面图
--11.3 断面图
-11.4 规定画法和简化画法
-第11章课件
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-第九讲作业
-12.1 尺寸标注的基本要求与规则
-12.2 组合体的尺寸标注方法
-12.3 尺寸的清晰布置
-12.4 尺寸的合理标注
-12.5 典型结构的尺寸标注
-第十讲课件
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-第十讲作业
-13.1.1 螺纹及螺纹紧固件(一)
-13.1.2 螺纹及螺纹紧固件(二)
-13.1.3 螺纹及螺纹紧固件(三)
-13.2 键、花键、销
-13.3 齿轮
--13.3 齿轮
-13.4 弹簧
--13.4 弹簧
-13.5 滚动轴承
-第十一讲课件
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-第十一讲作业
-14.1 零件图概述
-14.2.1 视图选择与绘制(一)
-14.2.2 视图选择与绘制(二)
-14.3.1 技术要求(一)
-14.3.2 技术要求(二)
-14.3.3 技术要求(三)
-第十二讲课件
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-第十二讲作业
-15.1 装配图概述
-15.2 装配图的基本规定
-15.3 视图选择及画图方法
-15.4 装配图的标注
-15.5 装配结构的合理性
-15.6 读装配图
-第十三讲课件
--外部链接
-第十三讲作业
-总复习
--总复习