当前课程知识点：工程制图 > 第二讲：第3章 几何元素间的相对位置 > 3.2.2 直线与平面相交 > 3.2.2 直线与平面相交
以上我们学习了平面与平面相交的问题
现在我们来讨论直线和平面相交求交点的问题
当直线和平面不平行的时候它们必然会交于一点
这一点就是直线和平面的公有点
根据直线和平面相对于投影面位置的不同
求直线和平面交点也分为两种情况
第一种情况
当直线或者平面处在特殊位置的时候
我们可以利用积聚性来求它们的交点
而如果直线和平面都处在一般的位置
在这个时候两者的交点我们不能直接得到
我们需要利用辅助平面法来求它们的交点
首先我们来看第一种情况
当直线或者平面处在特殊位置的时候
如何利用积聚性来求它们的交点
我们来看一道例题 例7
在例7中给定了平面ABC和直线DE求它们的交点
从给定的直线的正面投影我们可以看出
直线DE的正面投影积聚成了一个点
这说明直线DE是一条正垂线
由于交点是直线DE和平面ABC的公有点
那这也说明直线DE和ABC的交点
也一定重合在这一点上
我们用k'来表示它的正面投影
在得到了交点的正面投影之后
我们就可以利用面上找点的方法
来找到交点的水平投影
在作图的时候我们通过a'和k'
在平面内做一条直线A1
然后找到A1的水平投影
A1的水平投影和直线DE的水平投影的交点
就是我们所求的直线DE
和平面ABC交点K的水平投影
在得到了直线DE和平面ABC的交点之后
由于直线DE存在着被平面ABC遮挡的情况
我们还需要利用重影点来判断直线DE的可见性
在这里我们选取水平投影面上
AB和DE的重影点2和3来进行判断
然后找到点2和点3的正面投影2'和3'
从两点的正面投影我们可以看出
点2在点3之上说明在重影点2和3这个位置
直线AB在直线DE的上方
重影点3是不可见的
也就意味着直线DE上K3这一段被平面挡住了
不可见我们用虚线来表示
而经过K点之后DK这一段是可见的
我们用粗实线来表示
这样这道题我们就求解完了
通过这道例题大家要掌握
利用重影点来判断可见性的方法
同时也要明确直线和平面相交它的交点是可见的
同是这个交点也是可见和不可见的分界点
大家在解题的时候一定要注意
对交点两侧线段可见性的分析
我们再来看一道例题 例8
在这里给出了平面ABC和直线DE求它们的交点
从给定的投影我们可以看出
平面ABC的水平投影积聚成了一条直线
这说明平面ABC是一个铅垂面
它的水平投影与DE的水平投影相交于一点
由于直线和平面的交点是两者的公有点
这个交点k也就是我们所要求的
直线DE和平面ABC的交点的水平投影
然后我们可以根据线上找点的方法
找到交点K的正面投影k'
这样直线DE和平面ABC的交点我们就得到了
同样的我们还需要判断直线DE的可见性
判断的方法同样也是利用重影点来进行分析
我们可以在AB和DE的正面投影上
找到一个重影点1'和2'
然后分别找到它们所对应的水平投影1和2
从两个点的水平投影我们可以看出
点2在点1的前方
这也说明在重影点1'和2'处
直线DE位于直线AC的前方
在这个区域直线DE是可见的
这样我们就可以将d'和k’用粗实线连接
表示其可见
在K点以下的DE部分是不可见的
被平面挡住了我们用虚线来连接
前面我们所讨论的是平面和直线相交
当直线或者平面处在特殊位置的时候
如何利用积聚性来求直线和平面交点的方法
下面我们再来讨论第二种情况
如果直线和平面都处在一般的位置
我们如何来求它们的交点
在这个时候他们的交点我们不能直接得到
需要利用辅助平面法来求解
那么首先我们来看一下辅助平面法的基本原理
在这里我们给出了
一个平面ABC和直线EF相交的直观图
交点K是平面ABC和直线EF的公有点
为了求得这个交点
我们可以包含EF作辅助一个平面P
该辅助平面与水平投影面H是相互垂直的
也就是说平面P是一个铅垂面
然后我们可以得到平面ABC和辅助平面P的交线MN
由于MN和EF都在辅助平面P上它们的交点为K
这说明K既在直线EF上同时又在平面ABC上
交点是平面ABC和直线EF的公有点
也就是它们的交点
因此我们在利用辅助平面法
求直线和平面交线的时候
一般包含这样三个步骤
第一步 我们包含已知直线作辅助平面
一般来说我们会选择特殊位置的平面作辅助平面
第二步 我们求辅助平面与已知平面的交线
第三步 我们求出该交线与已知直线的交点
这个交点就是我们所要求的
已知直线和已知平面的交点
下面我们通过一个例题来分析一下
辅助平面法求直线和平面交点的具体应用
例9 求平面ABC和直线EF的交点
从给定的直线和平面的投影我们可以看出
这里所给定的直线EF和平面ABC
都处在一般的位置
它们的交点我们不能利用积聚性来求得
我们需要利用辅助平面法来求它们的交点
首先我们包含直线EF作一个辅助平面P
在这里我们选择的是
包含EF做一个铅垂面P为辅助平面
辅助平面的水平迹线用PH来表示
第二步我们求辅助平面P和已知平面ABC的交线MN
在这里我们做出的辅助平面是一个铅垂面
它的投影积聚在它的水平迹线PH上
由于交线是两个平面的公有线
那么我们知道平面ABC和辅助平面P的交线MN
也一定积聚在辅助平面P的水平迹线PH上
而且是两个平面投影的公共部分
这样我们就得到了两个平面交线MN的水平投影
MN的端点就是AB和AC
分别与辅助平面P的迹线PH的交点
在得到了交线MN的水平投影之后
我们可以根据线上找点的方法依次得到
交线两个端点的正面投影m'和n'
连接m'和n'我们就得到了
辅助平面P与已知平面ABC的交线MN的正面投影
第三步我们求交线MN与已知直线EF的交点K
交线K的正面投影我们可以直接从
MN与EF的正面投影的交点得到
然后我们可以根据线上找点的方法
得到交点K的水平投影
最后我们还需要利用重影点
来判断直线EF的可见性
首先我们来判断水平投影面上的可见性问题
在这里我们选择EF和AC上的重影点
1和n来进行判断
然后找到1和n所对应的正面投影1'和n'
根据两点的正面投影我们可以看出
在重影点1和n处直线EF是位于直线AC的上方
说明在重影点1和n这个区域
直线EF是可见的AC是不可见的
这样我们可以将k1用粗实线连接表示其可见
km段不可见用虚线连接
然后我们再来判断正面投影上的可见性
我们选择直线EF和AC的正面投影上的重影点
2'和3'来进行判断
分别找到它们所对应的水平投影2和3
根据点2和点3的水平投影我们可以看出
在重影点2'和3'处直线AC是位于直线EF的前方
说明在该重影点处直线AC是可见的
而EF是不可见的
这样我们将3'和k'用虚线连接表示不可见
而k'到1'是可见的
这样这道题我们就求解完了
利用辅助平面法
求一般位置的直线和平面交点的方法
也可以应用到求解平面和平面交线的问题当中
下面我们来看一道这样的例题
例10 求三角形ABC和三角形DEF的交线
这里给出的两个三角形所确定的平面
都处在一般的位置
在前面我们讲解平面和平面交线的时候
我们学习了辅助平面法来求两个平面交线的方法
由于交线是两个平面的公有线
我们只要找到相交的两个平面上的两个公有点
就能确定它们的交线
因此在这里我们可以引入
线面相交找公有点的方法
其基本思路是
我们可以在一个平面内取一条直线
然后求这条直线与另外一个平面的交点
这个交点就是两个平面的公有点
按同样的方法我们可以找到
两个平面的公有点
这样两个平面的交线也就确定了
我们来看一下具体的作图过程
首先我们利用辅助平面法
来求直线AB和三角形DEF的交点K
根据我们前面所学习到的
利用辅助平面法求直线和平面交点的方法
我们包含AB作一个正垂面P为辅助平面
它的正面迹线用Pv来表示
根据辅助平面法的基本原理
我们可以得到
辅助平面P和三角形DEF交线的正面投影
我们用1'和2'来表示
然后我们根据线上找点的方法
可以得到两者交线的水平投影1和2
该交线和AB的交点K就是直线AB和三角形DEF交点
然后我们可以再一次利用辅助平面法
来求解直线EF和三角形ABC的交点L
在这里我们包含EF作一个铅垂面Q为辅助平面
它的水平迹线用QH来表示
根据辅助平面法的基本原理
我们可以得到
辅助平面Q和三角形ABC交线的水平投影
我们用3和4来表示
然后我们根据线上找点的方法
可以得到交线的正面投影3'和4'
交线3'4'与EF的正面投影的交点L
就是我们所要求的直线EF和三角形ABC的交点L
这样我们就找到了两个相交平面的两个公有点
连接这两个公有点k和l
我们就得到了三角形ABC和三角形DEF
所确定的平面的交线
最后我们还需要利用重影点
来判断这两个平面的可见性
首先我们将两个平面没有遮挡的可见部分
用粗实线连接
然后将可见的交线kl也用粗实线连接
首先我们来判断正投影面上的可见性
我们选择DE和AB的重影点1'和5'来进行分析
然后找到它们的水平投影1和5
从这两点水平投影的位置我们可以看出
直线AB位于直线DE的前方
说明在重影点5'和1'处直线AB是可见的
而DE是不可见的
这样我们将直线DE上不可见的部分用虚线连接
根据同样的方法我们可以依次得到
两个平面其他轮廓线的可见性
下面我们再来判断水平投影面上的可见性
我们选择AC和EF的重影点4和6来进行分析
然后找到4和6所对应的正面投影
根据两点的正面投影我们可以看出
点6的正面投影在点4的正面投影上方
说明在重影点4和6处直线EF位于直线AC的上方
说明在水平投影面上EF是可见的
而AC是不可见的
这样我们将EF上可见的部分用粗实线连接
不可见的部分用虚线连接
用同样的方法我们可以依次得到
两个平面轮廓线的可见性判断
下面我们对相交问题来进行一下小结
无论是求两个相交平面的交线
还是求直线和平面的交点
它的一个核心基础
就是要找到两个几何元素的公有点
当我们在解决实际问题的时候
如果给定的平面或者直线都处在一般的位置
我们不能用积聚性来求交点或者交线的时候
我们就需要用到辅助平面法
来求平面和平面的交线
或者直线和平面的交点
那么大家一定要熟练掌握
辅助平面法的基本原理和它的运用
在求平面和平面交线的时候
如果给定的两个平面是由封闭的几何图形组成的
大家一定要注意的是
交线一定是位于两个平面的公有区域之内
最后在求得交线或者交点之后
如果直线和平面或者平面和平面
还存在着相互遮挡的情况
大家不要忘了用重影点来判断他们的可见性
-1.1 工程制图的应用背景
-1.2 课程性质和课程目标
-1.3 课程内容和教学要求
-1.4 学习方法
--1.4 学习方法
-1.5 制图国家标准简介
-1.6 投影的基本概念
-第1章课件
--外部链接
-2.1 点的投影
--2.1 点的投影
-2.2 直线的投影
-2.3 平面的投影
-第2章课件
--外部链接
-第一讲作业
-3.1 平行问题
--3.1 平行问题
-3.2.1 平面与平面相交
-3.2.2 直线与平面相交
-3.3 垂直问题
--3.3 垂直问题
-3.4 综合问题解题方法
-第3章课件
--外部链接
-第二讲作业
-4.1 问题的提出
-4.2 选择新投影面的原则
-4.3.1 点的投影变换规律——点的一次换面
-4.3.2 点的投影变换规律——点的二次换面
-4.4.1 四个基本问题（一）
-4.4.2 四个基本问题（二）
-4.5.1 工程问题应用（一）
-4.5.2 工程问题应用（二）
-4.5.3 工程问题应用（三）
-第4章课件
--外部链接
-第三讲作业
-5.1 体的投影——视图
-5.2.1 基本体的三视图（一）
-5.2.2 基本体的三视图（二）
-5.2.3 基本体的三视图（三）
-5.2.4 基本体的三视图（四）
-5.2.5 基本体的三视图（五）
-5.2.6 基本体的三视图（六）
-第5章课件
--第5章课件
-第四讲作业（1）
-6.1 轴测图概述
-6.2.1 正等轴测图（一）
-6.2.2 正等轴测图（二）
-6.3 斜二等轴测图
-6.4 轴测剖视图
-6.5 轴测图的徒手绘图
-第6章课件
--第6章课件
-第四讲作业（2）
-7.1 二维绘图的基本功能和工作界面
-7.2 基本操作方式
-7.3 常用命令介绍
-7.4 辅助绘图功能和图形的显示控制
-7.5 尺寸标注
--7.5 尺寸标注
-7.6 绘图步骤（实例）
-7.7 Solidworks 2013的基本功能和零件建模界面
--7.7 Solidworks 2013的基本功能和零件建模界面
-7.8 零件建模
--7.8 零件建模
-7.9 装配建模
--7.9 装配建模
-8.1 回顾与思考
-8.2 平面与平面体相交
-8.3 平面与回转体相交（一）
-8.4 平面与回转体相交（二）
-8.5 应用实例
--8.5 应用实例
-8.6 本章小结
--8.6 本章小结
-第8章课件
--外部链接
-第六讲作业
-9.1 平面体与平面体相贯
-9.2 平面体与回转体相贯
-9.3.1 回转体与回转体相贯（一）
-9.3.2 回转体与回转体相贯（二）
-9.3.3 回转体与回转体相贯（三）
-9.4 多体相贯
--9.4 多体相贯
-第9章课件
--课件
-第七讲作业
-10.1 组合体的组成方式
-10.2.1 组合体的画图方法（一）
-10.2.2 组合体的画图方法（二）
-10.3.1 组合体的读图方法（一）
-10.3.2 组合体的读图方法（二）
-10.3.3 组合体的读图方法（三）
-10.3.4 组合体的读图方法（四）
-第10章课件
--外部链接
-第八讲作业
-11.1.1 视图（一）
-11.1.2 视图（二）
-11.2.1 剖视图（一）
-11.2.2 剖视图（二）
-11.2.3 剖视图（三）
-11.2.4 剖视图（四）
-11.3 断面图
--11.3 断面图
-11.4 规定画法和简化画法
-第11章课件
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-第九讲作业
-12.1 尺寸标注的基本要求与规则
-12.2 组合体的尺寸标注方法
-12.3 尺寸的清晰布置
-12.4 尺寸的合理标注
-12.5 典型结构的尺寸标注
-第十讲课件
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-第十讲作业
-13.1.1 螺纹及螺纹紧固件（一）
-13.1.2 螺纹及螺纹紧固件（二）
-13.1.3 螺纹及螺纹紧固件（三）
-13.2 键、花键、销
-13.3 齿轮
--13.3 齿轮
-13.4 弹簧
--13.4 弹簧
-13.5 滚动轴承
-第十一讲课件
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-第十一讲作业
-14.1 零件图概述
-14.2.1 视图选择与绘制（一）
-14.2.2 视图选择与绘制（二）
-14.3.1 技术要求（一）
-14.3.2 技术要求（二）
-14.3.3 技术要求（三）
-第十二讲课件
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-第十二讲作业
-15.1 装配图概述
-15.2 装配图的基本规定
-15.3 视图选择及画图方法
-15.4 装配图的标注
-15.5 装配结构的合理性
-15.6 读装配图
-第十三讲课件
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-第十三讲作业
-总复习
--总复习
