当前课程知识点:工程制图 > 第一讲:第2章 投影基础 > 2.2 直线的投影 > 2.2 直线的投影
好 现在我们开始研究直线的投影
首先分析直线的投影特性
从直线对一个投影面的投影特性开始入手
请看图 第一个图
直线AB垂直于投影面
这时 直线在投影面上的投影积聚成一点
我们记为a≡b
第二个图 直线平行于投影面
这时直线的投影ab等于直线的空间长度AB
这个时候我们说投影反映了实长
第三个图 直线倾斜于投影面
这时候直线的投影仍然为直线
但是它的长度小于空间的实长
对第一种情况 我们说
直线的投影具有积聚性
对第二种情况 我们说
直线的投影具有实形性
那么对第三种情况 我们说
直线的投影具有类似性
也就是说直线的投影仍然为直线
但是它的长度比空间的实长要小
下面我们研究直线在三投影体系中的投影特性
直线在三投影体系中可以分为三种类型
第一种 投影面平行线
平行于一个投影面
同时与另外两个投影面呈倾斜位置的直线
我们叫做投影面平行线
平行于V面的直线我们叫做正平线
平行于H面的直线我们叫做水平线
平行于W面的直线我们叫做侧平线
第二种类型的直线叫做投影面垂直线
投影面垂直线的定义
是垂直于一个投影面
同时与另外两个投影面平行
这样的直线我们叫做投影面垂直线
垂直于V面的直线 我们叫做正垂线
垂直于H面的直线 我们叫做铅垂线
垂直于W面的直线 叫侧垂线
第三种类型的直线叫投影面倾斜线
也叫一般位置直线
与三个投影面都呈倾斜位置的直线
我们就叫投影面倾斜线
下面我们分析一个投影面平行线的投影特性
请看图
在图中 已知AB是水平线
我们试着来求解它的投影
大家思考一下
水平线它的投影特性是什么
当一个直线平行于H面的时候
就叫做水平线吗?
不对 当一个直线平行于H面
同时与另外两个平面都呈倾斜位置的
才叫水平线
那么对于水平线
直线上所有的点到H面的距离都相等
那么这条直线在V面上的投影
具有什么样的投影特性呢?
直线上所有的点的V面投影到OX轴的距离
都应该是一样长的
同样 它在侧平面上的投影
也应该是平行于OY轴的一条直线
因此 我们就可以做出水平线的另外两个投影
请看图
在这个图上 由于是水平线
所以在H面上的投影反映实长
同时在H面上的投影也反映了这条直线
与V面的夹角 和与W面的夹角
那么另外两个在V面和侧面上的投影呢
根据我们刚才分析的
在V面上的投影平行于OX轴
也就是说垂直于OZ轴
在W面上的投影同样也垂直于OZ轴
总结出一般规律
水平线的投影特性
一个投影反映实长和与投影面的夹角
另外两个投影平行于相应的投影轴
下面我们再分析一下投影面垂直线的投影特性
请看图
分析一下这条直线是什么位置的直线呢
我们来看它的水平投影积聚成一个点
因此可以判断 这条直线是一个铅垂线
它的另外两个投影分别垂直于OX轴和OY轴
好 那么总结一下投影面垂直线的投影特性
一个投影具有积聚性
另外两个投影反映实长并垂直于相应的投影轴
下面 我们分析一般位置直线的投影特性
请看图
这张图表示的就是一个一般位置直线的投影
我们来分析一下它的投影特性
首先三个投影对投影轴都不平行也不垂直
其次三个投影都不反映实长
也不反映直线与投影面的夹角
那么对这样的一般位置直线
我们如何来分析它的实长和与投影面的夹角呢
这是我们要解决的一个典型问题
在这里给大家留一个小小的难题
希望你通过自学来掌握
如何求一般位置直线的实长
以及它对投影面的夹角
希望大家一定把这个问题自学清楚
我们后边将要应用这部分知识
我们研究了直线的投影
在这之前又研究了点的投影
那么很自然会有一个问题
直线和点它们之间的联系如何分析呢
现在我们就来研究直线与点的相对位置关系
直线与点的相对位置关系有两种
一种点在直线上 一种点在直线外
好 那么我们来分析如何判断一个点在直线上呢
有两种方法
第一种判别的方法
如果点在直线上
那么点的投影一定在直线的同名投影上
否则点就在直线外 我们来看这个图
大家先看立体图 空间直线AB
有两个点C和D
下面再看投影图
在投影图上C点的两个投影c和c'
都在直线AB的两个投影上
那么我们就可以判断C点在直线AB上
D点的两个投影一个在直线AB的投影上
另一个不在AB的投影上
那么就可以判断D点不在直线AB上
下面第二个判别方法
如果点在直线上
那么点的投影将直线的同名投影
分割成与空间相同的比例
这个定理也叫定比定理
这个定理反映的含义
就是直线AB上如果有一个点C
那么C点把AB分成AC和CB两段
AC和CB各个投影的比与它空间的比保持相等
这就是定比定理
应用这个定理就可以判断点和直线的相对位置
下面我们看一个例题
请看图 在这个例题上
K点在直线AB上求解K点的水平投影
请大家看V面上的投影
k'在a'b'上把a'b'分为a'k'和k'b'两段
那么按照定比定理
如果K点在AB上
在水平投影上K也应该把AB分成比例相同的两段
利用这个定理
我们就可以很容易做出K点的水平投影
好 做出的结果如图所示
做一条辅助线
在辅助线上把正面投影的线段
按比例画在水平投影上
利用相似三角形的关系
就可以的到ak比上kb等于a'k'比上k'b'
下面我们再判断一个例题
已知直线AB和点K的投影
判断K点是否在直线上
我们看这个图
大家看 从V面投影和H面投影上看
k'点分别在正面投影和水平投影上
那么我们是不是就可以判断
K点一定在直线AB上呢
大家再仔细看 因为这个时候
这条直线是一条什么位置的直线呢
根据投影特性 我们可以分析出来
这条直线是一条侧平线 它平行于W面
因此我们不能通过两个投影
来判断K点就在AB上
有两种方法
第一种方法 我们直接把侧面投影做出来
请看第二个图
那通过侧面投影我们就可以发现 k"不在a"b"上
因此可以判断K点不在AB上
第二种方法 我们用定比定理来判断
利用定比定理在H面上做出a'k'的比例
同时我们就可以发现
a'k'的比值不等于ak和kb的比值
因此 它不符合定比定理
也可以判断点K不在AB直线上
好 下边我们进一步来分析两条直线的相对位置
两条直线的相对位置有平行 相交 交叉和垂直
在这里我们研究平行 相交和交叉
下一章我们将研究垂直问题
好 下边看这个图
这是两条平行线 AB平行于CD
不难看出它们在H面和V面上的投影也分别平行
因此我们得到这样的结论
如果两条直线平行 它们的同名投影也一定平行
反之也成立
下面分析一下两条直线相交的情况
请看图 图中表示的AB和CD两条直线相交
它们的交点是K
我们看一下它的投影
从投影上我们发现
它们的交点K也符合一个点的投影规律
因此我们可以得到两条直线相交的投影规律
第一 同名投影也一定相交
第二 交点符合点的投影规律
好 最后我们来分析一下两条直线交叉的情况
我们先看一个投影
这个投影表示的是直线AB和CD两条直线的投影
我们先看一下H面上的投影
在H面上两个投影ab和cd相交
在V面投影上 两个投影a'b'和c'd'也相交
那么我们是不是就可以判断
直线ab和cd相交呢
我们进一步作图 看H面上的投影
ab和cd的交点我们记为1点或2点
1点在ab上 2点在cd上
好 我们分别把ab上的点和cd上的点的
正面投影做出来
我们发现1'和2'不是一个点
那么我们就可以清楚的看到
1' 2'分别属于AB CD上的点
他们在H面上的投影重合
而在V面上的投影没有重合
这是我们前边讲到的什么呢
重影点
也就是说1点 2点对于H面来说是重影点
下面我们分析一下 V面上的交点3点和4点
3点和4点我们做出它的水平投影
分别得到ab上的3点和cd上的4点
那么这两点在V面上的投影重合
4点把3点遮挡住
所以3点是不可见的
因此我们通过这个重影点
就可以分析这两条交叉直线 它的相对位置
因此我们就得到这样的结论
两条交叉直线 它的同名投影可能相交
但是投影上的那个交点 不符合点的投影规律
第二条 所谓的交点代表两直线上的一对重影点
第三点 利用重影点可以帮助想象
两条直线在空间的相对位置
下面 我们对直线的投影这部分做一个小结
在直线的投影这一部分
大家重点应该掌握直线的投影特性
两种特殊位置的直线
投影面平行线和投影面垂直线
以及一般位置直线的投影特性
和一般位置直线求实长的问题
第二个方面 需要掌握直线与点的相对位置
也就是说会正确的判断点是否在直线上
第三个方面 需要掌握
两条直线平行 相交和交叉的投影特性
-1.1 工程制图的应用背景
-1.2 课程性质和课程目标
-1.3 课程内容和教学要求
-1.4 学习方法
--1.4 学习方法
-1.5 制图国家标准简介
-1.6 投影的基本概念
-第1章课件
--外部链接
-2.1 点的投影
--2.1 点的投影
-2.2 直线的投影
-2.3 平面的投影
-第2章课件
--外部链接
-第一讲作业
-3.1 平行问题
--3.1 平行问题
-3.2.1 平面与平面相交
-3.2.2 直线与平面相交
-3.3 垂直问题
--3.3 垂直问题
-3.4 综合问题解题方法
-第3章课件
--外部链接
-第二讲作业
-4.1 问题的提出
-4.2 选择新投影面的原则
-4.3.1 点的投影变换规律——点的一次换面
-4.3.2 点的投影变换规律——点的二次换面
-4.4.1 四个基本问题(一)
-4.4.2 四个基本问题(二)
-4.5.1 工程问题应用(一)
-4.5.2 工程问题应用(二)
-4.5.3 工程问题应用(三)
-第4章课件
--外部链接
-第三讲作业
-5.1 体的投影——视图
-5.2.1 基本体的三视图(一)
-5.2.2 基本体的三视图(二)
-5.2.3 基本体的三视图(三)
-5.2.4 基本体的三视图(四)
-5.2.5 基本体的三视图(五)
-5.2.6 基本体的三视图(六)
-第5章课件
--第5章课件
-第四讲作业(1)
-6.1 轴测图概述
-6.2.1 正等轴测图(一)
-6.2.2 正等轴测图(二)
-6.3 斜二等轴测图
-6.4 轴测剖视图
-6.5 轴测图的徒手绘图
-第6章课件
--第6章课件
-第四讲作业(2)
-7.1 二维绘图的基本功能和工作界面
-7.2 基本操作方式
-7.3 常用命令介绍
-7.4 辅助绘图功能和图形的显示控制
-7.5 尺寸标注
--7.5 尺寸标注
-7.6 绘图步骤(实例)
-7.7 Solidworks 2013的基本功能和零件建模界面
--7.7 Solidworks 2013的基本功能和零件建模界面
-7.8 零件建模
--7.8 零件建模
-7.9 装配建模
--7.9 装配建模
-8.1 回顾与思考
-8.2 平面与平面体相交
-8.3 平面与回转体相交(一)
-8.4 平面与回转体相交(二)
-8.5 应用实例
--8.5 应用实例
-8.6 本章小结
--8.6 本章小结
-第8章课件
--外部链接
-第六讲作业
-9.1 平面体与平面体相贯
-9.2 平面体与回转体相贯
-9.3.1 回转体与回转体相贯(一)
-9.3.2 回转体与回转体相贯(二)
-9.3.3 回转体与回转体相贯(三)
-9.4 多体相贯
--9.4 多体相贯
-第9章课件
--课件
-第七讲作业
-10.1 组合体的组成方式
-10.2.1 组合体的画图方法(一)
-10.2.2 组合体的画图方法(二)
-10.3.1 组合体的读图方法(一)
-10.3.2 组合体的读图方法(二)
-10.3.3 组合体的读图方法(三)
-10.3.4 组合体的读图方法(四)
-第10章课件
--外部链接
-第八讲作业
-11.1.1 视图(一)
-11.1.2 视图(二)
-11.2.1 剖视图(一)
-11.2.2 剖视图(二)
-11.2.3 剖视图(三)
-11.2.4 剖视图(四)
-11.3 断面图
--11.3 断面图
-11.4 规定画法和简化画法
-第11章课件
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-第九讲作业
-12.1 尺寸标注的基本要求与规则
-12.2 组合体的尺寸标注方法
-12.3 尺寸的清晰布置
-12.4 尺寸的合理标注
-12.5 典型结构的尺寸标注
-第十讲课件
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-第十讲作业
-13.1.1 螺纹及螺纹紧固件(一)
-13.1.2 螺纹及螺纹紧固件(二)
-13.1.3 螺纹及螺纹紧固件(三)
-13.2 键、花键、销
-13.3 齿轮
--13.3 齿轮
-13.4 弹簧
--13.4 弹簧
-13.5 滚动轴承
-第十一讲课件
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-第十一讲作业
-14.1 零件图概述
-14.2.1 视图选择与绘制(一)
-14.2.2 视图选择与绘制(二)
-14.3.1 技术要求(一)
-14.3.2 技术要求(二)
-14.3.3 技术要求(三)
-第十二讲课件
--外部链接
-第十二讲作业
-15.1 装配图概述
-15.2 装配图的基本规定
-15.3 视图选择及画图方法
-15.4 装配图的标注
-15.5 装配结构的合理性
-15.6 读装配图
-第十三讲课件
--外部链接
-第十三讲作业
-总复习
--总复习