9.2 平面体与回转体相贯在线视频

下面我们学习知识点9.2 平面体与回转体的相贯

平面体与回转体相贯线的形状

它也是一条空间折线

这条空间折线可能是由直线或平面曲线所围成的

那相贯线如何来求解呢

相贯线的求法实际上就是要求

平面体的表面与回转体表面的交线

而平面与回转体表面的交线就是求截交线的方法

因此对于平面体与回转体相贯线的求法

它的实质也就是求截交线

求解的步骤一般经过这样几个步骤

首先经过空间分析

要分析平面体的各个表面与回转体的相对位置

判断交线的空间形状 然后进行投影分析

来分析各个表面相对于投影面的位置

判断交线的已知投影

下面就作图求出每个表面与回转体表面的截交线

然后依次连接并且判断可见性 最后做检查

下面我们举一个平面体与回转体相贯的例子

现已知俯视图跟左视图 要求主视图

我们首先进行空间分析

根据已给的两个视图来进行分析

这个圆对着矩形 这是圆柱

这四边形对着四边形 这是一四棱柱

所以这个是一个圆柱和四棱柱相贯

根据前面的分析我们知道了

平面体和回转体相贯

相贯线应该是一条封闭的空间折线

那对于这个圆柱与四棱柱相贯

这个空间折线到底由几条线来围成呢

我们需要来进行具体的分析

四棱柱现在上表面和圆柱是没有相交的

下表面是和圆柱构成一个整体

它实际上是长在一块了 四棱柱还有四个侧面

这四个侧面是和圆柱相交了

所以会产生四条交线

因此相贯线的空间形状实际上是由四段来组成

那四段是直线还是曲线呢

下面我们具体分析一下每条交线的性质

到底是直线还是曲线 主要取决于

四棱柱的这四个侧面与圆柱的轴线的相对位置

因为四棱柱的前后侧面与圆柱的轴线平行

所以这两个面和圆柱产生的交线应该是两条素线

也就是直线

而四棱柱的左右侧面与圆柱的轴线是垂直的关系

所以这两个侧面产生的交线应该是圆弧

因此这个空间折线是由

一段直线一段圆弧 再一段直线再一段圆弧

所围成的一个封闭的空间折线

下面我们来分析这空间折线的已知投影

四棱柱的前面这个侧面是一个正平面

正平面的水平投影具有积聚性 就是这条水平线

圆柱表面它的投影实际上是这个面域

所以根据公有性 这个正平面与圆柱表面产生的交线

这个交线素线的投影就是这一条直线

这条素线的侧面投影呢

应该是与圆柱的轴线同样的性质的

那现在圆柱的轴线是一条侧垂线

所以这条素线它积聚在左视图圆周的这个点上

同样四棱柱后面的侧面

与圆柱表面产生的截交线也是一条素线

它的水平投影也积聚在俯视图的这条水平直线上了

它的侧面投影在左视图上也是在圆周上

这个点也可以通过公有性来分析

就是四棱柱后面的侧面与圆柱表面的交线

圆柱表面它是在左视图上是具有积聚性的

它是积聚为圆周的 它公有的部分就是这个点

四棱柱左侧的这个侧面 它是一个侧平面

这个侧平面在俯视图的投影具有积聚性

右侧的侧面在俯视图上也具有积聚性

所以根据公有性 竖直的这两条直线

就是左右两段圆弧的积聚的投影

这两段圆弧的侧面投影呢

它是反映实形的 因为它在侧平面上

所以综合我们来看 相贯线的水平投影在俯视图上

就这个四边形的边框

在左视图上就是这一段圆弧

实际上还可以来进行整体分析

得到交线的这两个已知投影

那我们可以这样来看

四棱柱的四个侧面在俯视图上的投影就是这个矩形

而圆柱面在俯视图的投影是这个大矩形这个面域

也就是说圆柱面上所有的点都在这个面域里头

那么又在四棱柱的四个侧面上 又在圆柱面上

根据公有性 那就是这个矩形

整体分析 我们来分析一下侧面投影

圆柱面上所有的点它应该是积聚在这个圆周上的

而四棱柱四个侧面的投影是由这三条直线所围成的面域

这二者所公有的这一部分也是这段圆弧

所以大家在分析相贯线的已知投影的时候

既可以一条一条截交线来进行分析

也可以从体和体相贯它的一个公有性来进行整体的分析

下面作图 先画出两个立体的外表的轮廓

然后下面我们再来作交线

前面这条交线的投影 已知这条侧垂线的两个投影

所以我们可以把它正面投影求出来

长度对正 高度相等

好 就这一条直线

后面这条素线的投影呢跟它是重合的

又被它遮挡了 所以虚线不画

左边的这条圆弧 它的投影按照三等关系可以画出来

这是左边的一条 这是右边的一条

好 最后我们把轮廓描画一遍

这样就求出了相贯线的正面投影

下面我们要检查 重点检查什么呢

主要检查两个形体相交以后 它的轮廓线的变化

两形体相交以后 这圆柱的上面的这条轮廓

在它与四棱柱相交的这个部分不能画了

因为这两个形体它构成了一个整体了

所以呢圆柱的上面的这个轮廓应该就不存在了

下面我们做一下讨论 首先看一下这样一个图

请大家看一下这是什么样的形体相交

这是一个圆柱 因为这个矩形对着这个圆

所以它是圆柱

里面的小矩形对着左视图的虚线 说明里头挖空了

因此里面应该为一个四棱柱的孔

所以它实际是一个圆柱和四棱柱孔的相交

四棱柱孔和圆柱的相贯线它的求法跟前面应该一样的

它同样是四棱柱的这四个表面和圆柱面产生了四条交线

这四条交线构成了一个封闭的空间折线

交线的已知投影在俯视图上应该是这个小矩形

由于这个孔呢是从上往下打通了

所以相贯线在左视图上的投影为上下两段圆弧

那下面我们可以作图 画出相贯线的投影

在主视图分别是上下两部分

那我们大家看一下

上面这部分的交线是不是跟我们刚才看到的

第一个例子的交线是类似的呢

确实是一样的 那我们可以发现

如果说这个圆柱跟刚才第一个例子的圆柱大小是一样

而打的这个孔跟刚才第一个例子

那个四棱柱的大小也是一样的话

那这个时候的交线它是不变的

但是要注意前面那个例子是因为是实体相交

所以实体四棱柱在外面的轮廓线要画出

而这个例子它是一个四棱柱孔

那第二个形体实际上是一个虚的形体

那它的表达方法就是这个形体的轮廓是虚线

所以这个虚线是不能够漏画的

我们在画相贯线的时候一定要先画形体

一个圆柱 这是一个形体

再画第二个形体 四棱柱孔这虚线

再然后再来画相贯线

这个是对应的模型 从这个模型大家也能看到

这个孔的轮廓 因此虚线要画出

假设我们现在对这个模型做一个变化

把这个圆柱里头再挖一个孔

那圆柱就变成了圆筒 那图形就变成什么样的呢

我们看一下右边这个图

那这个时候左视图应该加一个同心圆

俯视图应该是再加两条虚线 表达这个孔的轮廓线

那这个时候的相贯线我们可以注意看一下

圆柱变成圆筒以后

四棱柱孔不仅会和圆柱的外圆柱面相交

也会和圆柱的内圆柱孔相交

那我们求解交线的时候就是要分别求出

四棱柱孔与圆柱的外表面和内表面的交线

而四棱柱孔与圆柱的内表面的交线的性质

应该与我们刚才

求外表面的交线的分析方法是完全一样的

得到的交线也是具有同样的性质的

所以我们在求解的时候

可以先来求出四棱柱孔与外圆柱表面的交线

这个跟左边的这个图是一样的

那在这个图里头

这里头的左右的这虚线就是四棱柱孔的轮廓线

然后下面我们要求出四棱柱孔和圆柱的内表面的交线

这个交线的已知投影在俯视图就是这个小矩形

在左视图就是这个小圆周上的上部和下部的这两段圆弧

那交线的求法由于和外交线的求法是一致的

但是它是位于内部的

就是属于两个不可见的表面产生的交线

所以内交线在主视图的投影

就是这段虚线加这段加这段

好 这样内交线就求出来了

那下面我们再来看一下

左边的这个四棱柱孔的轮廓的虚线

和右边的四棱柱孔轮廓的虚线是否还有呢

我们看一下这个模型 它应该没有了

因为圆柱孔是个穿通的孔

所以这两块的虚线应该擦掉

下面我们再讨论另外一种情形

假设我们现在改变四棱柱孔的宽度

使得四棱柱孔与圆筒的内圆柱面的圆柱孔是等宽的

那这个图形就会变成这个样子

这是等宽的 也就是四棱柱孔

在左视图会和圆筒的内孔的这个圆相切

这个时候看看画出来的图是什么样子的呢

同样也是要来先求外交线 再求内交线

外交线跟刚才还是类似的

内交线呢 大家要注意

在这个位置 轴线的这个位置是应该没有线的

因为这个时候四棱柱孔和圆柱面是相切的关系

所以它们是光滑过渡的

我们可以看一下这个模型

从模型上我们可以看出

在四棱柱的这个面上 它是没有线的

针对刚才的讨论我们归纳一下

相贯线的产生可以是外表面与外表面相交产生的

也可以是外表面与内表面相交产生的

也可以是内表面与内表面相交产生的

外表面与外表面相交

和外表面与内表面相交产生的交线呢

它都是可见的

因此这两类交线我们都称作为外交线

而内表面与内表面相交的交线是不可见的

我们称作为内交线

那么对于相交的立体来说

无论是外交线还是内交线

只要相交的立体大小是一样的

那么它的交线就是相同的

求解交线的方法也是相同的

下面再看一个例子

已知三棱柱与圆柱相贯 要求作主视图

首先进行空间分析

从图和模型中我们可以看出

三棱柱的三个侧面和圆柱相交了

所以这空间的折线应该有三部分组成

三棱柱的左侧的这个侧面和圆柱的轴线是倾斜的

根据前面平面截切圆柱的知识

我们可以知道这个交线应该是椭圆

由于它没有全切下去

所以它应该是椭圆的一部分 是椭圆弧

三棱柱的右侧的这个侧面和圆柱的轴线也是倾斜的

它产生的交线也是一部分椭圆弧

三棱柱后面的这个侧面与圆柱的轴线平行

所以它和圆柱产生的截交线应该是素线的一部分

是直线

所以三棱柱和圆柱的相贯线

是由两段椭圆弧加一段直线构成的空间折线

下面进行投影分析

因为三棱柱的三个侧面

一个是正平面 两个是铅垂面

这三个面在俯视图上的投影具有积聚性

而圆柱面在俯视图的投影是这个矩形的面域

根据公有性 相贯线的水平投影就是这个三角形边框

由于圆柱表面在侧面具有积聚性 积聚为圆周

而三棱柱的侧面投影是由这一段直线

和上面这段直线加前面这段直线围成的一个面域

根据公有性相贯线的已知投影

也就是上面这一部分圆弧

好 下面我们作图画出相贯线的投影

首先画出圆柱的投影和三棱柱的投影

作出体的投影

然后下面求交线的投影

先求后棱面的交线

后棱面的交线它的水平投影是ab这段直线

它的侧面投影具有积聚性 都积聚在圆周上了

a''b''的位置在这

根据这一条直线的两个投影可以求出正面投影

a'b'的位置 就在这个位置

那么由于ab所在的位置是位于圆柱的后半圆柱面上

所以呢它是不可见的 我们把它画成虚线

下面求前面侧棱面与圆柱面产生的交线

因为交线是椭圆弧

所以我们要通过描点的方法来作出这条椭圆弧的投影

我们先找出椭圆弧上的特殊点

a点这个特殊点已经知道了

然后还有最前点

假设最前点我们记为c点

那c点在侧面的投影应该是在圆周上的这个位置

根据c点的这两个投影

我们可以求出c点的正面投影 c'的位置

椭圆弧上还有一个特殊点呢是在俯视图轴线这个位置

由于左侧的右侧的这两个椭圆弧是对称的

为了提高作图效率 我们可以同时来进行求解

现在我们把这两个椭圆弧上的特殊点都标示出来

一个是e点 一个是f点

那e点和f点在左视图的位置呢应该是在圆周的最高点

然后根据ef点的这两个投影可以求出主视图的位置

因为这两个点位于圆柱在V面的轮廓线上

所以我们可以直接在轮廓线上找到它的位置

特殊点求完了以后

我们看e'和c'的位置它的距离还是比较大的

所以还需要再找一个中间点

这个中间点怎么找呢

我们注意到e点实际上是椭圆的另外一个轴的端点

现在又求出了a的位置

因此呢可以作a的对称点的位置

就能找到另外一个中间点

然后把椭圆弧连接起来

连接的时候我们要注意

在椭圆弧上位于前半个圆柱面上的点应该是可见的

位于后半个圆柱面上的点是不可见的

所以从c点到e点之间它应该是可见的

从e点到a点之间应该不可见

所以从c'到e'是可见的 画实线

从e'到a'是不可见的 应该画虚线

右侧的这个椭圆弧也是类似的

从c'到f'应该是可见的 从f'到b'应该连虚线

这样我们就把相贯线的正面投影作出来了

那下面我们要检查一下

因为这个图并没有作完

我们还需要再完成圆柱的轮廓线

以及三棱柱的轮廓线的投影

从俯视图我们可以看出

由于三棱柱和圆柱是构成了一个整体

所以圆柱在主视图上的上面这条轮廓线

应该只有e左侧的部分和f右侧的部分

所以ef点实际上是圆柱在V面上的轮廓线的终止点

所以我们只需要画出轮廓线左侧的部分和右侧的部分

然后把圆柱剩余的部分的轮廓线加粗

下面绘制棱柱的侧棱线

在图中a点c点b点它的正面投影实际上是

三条侧棱线的终止点

从这三点往上部分要绘制出来侧棱线

经过a'点的侧棱线 也就是三棱柱左侧的这个侧棱线

它超出圆柱轮廓线的部分是可见的

在圆柱面轮廓线以下的部分是不可见的

因为它位于后半个圆柱面的这一侧

经过b点的侧棱线跟经过a点的侧棱线是类似的

也是上半部分可见 下半部分不可见

经过c点的侧棱线是可见的

因为它位于前半圆柱面这一侧

最后加粗三棱柱的顶面的投影

好 这样就完成了整个作图