2.1 Classical assumptions of OLS在线视频

好

同学们大家上午好

我们这周开始关于新知识的讨论

那么今天是非常重要

也是最经典的工具变量法

那么我们今天讲工具变量

工具变量法是计量经济学里面最经典的一种方法

也非常基础

我们后续的课程内容里面还会回顾它

所以它非常重要

可以这样讲

如果你借着学工具变量的这样的一个机会

把线性回归里面经常遇到的问题都搞明白的话

我觉得有13的基础知识你就会掌握得非常扎实

所以这堂课是很重要的

那么我们会先从最小二乘法的假设被违背这种情况来开始

谈起

然后来看工具变量法是如何去思考来解决的

我用idea而不是用 model set up

是因为我们还是希望跟同学们来探讨

如果你遇到这个问题

这个世界上没有工具变量法的时候

你怎么样能够通过一个朴素的推理和想象

然后来去找到一种方法解决内生性问题

所以是idea是它背后这种朴素的思考

这个是非常宝贵的

比直接告诉你一个答案

model set up比较重要的多

那么接着我们会讨论模型的假设

大家知道所有的模型都有假设

所以我们谈一个模型的时候要先谈它的假设

接着我们会讨论工作还蛮好的

讨论估算方法

那么然后是对假设的检验

以及关于IV estimation里面一些非常

重要的问题

extension，这样的extension不是它不

重要

而是因为它不是在一个主干逻辑下面的

它是其它的一些非常重要的问题

我们在做研究设计的时候要考虑的

那么大概是这6个部分

Ok我们先讨论是对OLS假设的这样的一个违背

那么我们并不准备review所有的假设

这是其中几个很重要的

包括最小二乘法

它要求残差项

它服从一个均值为0

方差为σ方的正态分布

那么残差没有序列相关性

也就是说第i个样本的残差跟第j样本的残差是不相关的

还有外生性

外生性是x那么自变量x它跟残差也是不相关的

这是几个非常重要的假设

那么我们这堂课会用非常形象的维恩图来探讨一些逻辑

这样的话比较形象

首先这一个圈圆圈它代表的是因变量y的

variation

因为y是一个随机变量

它有一定的变化的范围是吧

我们就非常形象的拿这样的一个区域来去表示它的变动的

范围

大概是这样的一个意思

它并不是很严谨的

它很形象

那么x是另外一个变量

也就是我们的自变量么

x的 variation它我们用更深色的一个椭圆来

去表示

那么这个是x的variation

大家可以看到x和y是不是有一个重叠的部分

这个重叠的部分就代表x跟y它是具有相关性的

在统计上是相关性

在理论上的x是对y有解释性

这是这个只是用这个重叠来去表示的

正因为如此

我们采用x的variation来去解释y的一部分

variation

对吧

那么重叠的部分就是x能够解释的y的

variation

那么剩下的这一部分没有跟深蓝色椭椭圆重合的这一部分

浅蓝色的y的variation

我们就叫它残差

是不是相当于这样的一个组成

那么其实y的所有的variation就被分成两部分

一部分是x可以解释的variation

一部分是解释不了的variation

那就是的variation

那么x对y的解释强度当然是用β来表示的

所以这个是一个比较形象的维恩图

Ok那么一个简单的问题

那么在这样的维恩图里面

我们知道我们用x对y进行建模回归进行分析以后

我们会得到y关于x这个模型的一个fitted value，叫

拟合值

对不对

就是y hat, y 尖

大家看在维恩图里面哪一部分是y hat就是跑完回归

之后对吧

Y hat就等于β0 hat加上β1 hat乘以

x residual就没有了

这样的话哪一部分是y hat的

variation呢

对交叉的一部分大家说得非常好

也就是黄色阴影面积这一部分重合的这一部分

它就叫y hat的variation是吧

大家也充分理解了这个图想表达的意思非常好

Ok我们通过一个例子来形象的往后去讨论

那么这个是一个非常经典的教育经济学里面的例子

就是我们探讨schooling

受教育年限的长短

对于未来工资的影响

这个是一个很经典的问题

那么我们如果建模的话

就是wage 等于β0+β1×schooling

schooling是学业年限就是上多少年学，加上

residual

把它抽象为一个一般的方程

就是下面这个方程式

那么如果我们对这个方程做一个最小二乘法的估算的话

用这个去估计的方法

那么我们就会来用这样的一个推导

那么这一部分 x和y的协方差

我们把 y等于 x的公式把它带进去的话

那么就是下面这一部分等式的右边这一部分

β0+β1*x加上 residual (ε)

那么这个时候我们求这一个线性表达式和x的协方差

我们就往下走一步

它跟常数xi跟β0

常数的协方差当然是0

那么它跟β1xi的协方差就是它自己的方差

好

那么这是x的方差乘以β1

以及剩下 x和residual的协方差

那么我们把它写成一个简单的形式

就是σyx就等于β1*σx方加上

σεx，这是一样的

这样的话我们移动一下这个公式

等式就可以求出β1

它就等于

分子是

就是y跟x的协方差减去ε跟x的协方差除以x的

方差

我们这个OLS的假设是

ε跟x协方差等于0

这样的话前面这个式子它就等于 x y的协方差除以x

的方差

这个就是β1的估算值

那么这里面就用到了一个重要的假设

就是ε跟x的协方差

它是等于0的