7.10 Growth model 2在线视频

那么下面我们来看

二次项的这样的一个增长曲线

因为

当我们提到增长的问题的时候

往往它不是一个线性增长

它往往是一个

二次函数的一个增长

比如说增长速度越来越慢

或者增长速度越来越快

它往往是这样子的

有个加速度的问题

所以我们就可以去引入二次项

来去分析

在这里大家可以看到

这个地方就加入了二次项

同时这个地方

也非常清晰的标出了一个

中心化的点是l这个l

当然是一个时间点

我希望以什么时间点

为起点

如果我不愿意初始值为起点

我可以以其它地方的点

比如说一岁等等这样的一些

时间点也是可以的

那么这个只是作为一个一般形式放在这里

那么这个地方我们看到加入了二次项的

形式

那么这个地方就强调了一点什么

其实这些孩子

他们被测量的次数和被测量

的时间可以是不一样的

因为当我们假设它就是沿着

同一条曲线来去走的时候

其实他到底是在曲线上哪几个点

去重复测量

这个关系不大

只要能够估算出这个方程形态就可以了

所以它其实是可以在不同的时间间隔

不同的点上来去测量的

就要强调这里

我们可以看到

如果有三个小孩

那么我们通过二次二次函数

对它的增长曲线第一层的

模型分别进行拟合的话

我们就可以画出三条拟合曲线

每一个孩子有一条单独的

增长曲线

这个很有意思 大家可以看到

确实它们具有不同的速度和加速度

就能够体现出

我们在第二层进行建模的必要性

也可以看出个体的差异还是

还是蛮明显的

因此

我们就会在第二层引入三个参数

分别是π0i

π1i和π2i

因为

加入了二次项

所以我们就增加了一个

π2i

那么它就会对应三个参数

和三个

方差分别是这样来对应的

好

那么这个就是一个回归结果

我们一起来看一下

这样大家就会熟悉从公式

到这个结果的这样的一个

一个关系

首先我们可以看到这是点估计

除了

对β00截距项进行估计之外

我们还有这个点估计β10

跟β20的点估计

他们分别是速度

和加速度

第二个就是我们对刚才说的这三个残差

的方差

我们可以分别进行估算

并且进行假设检验

看看他到底

是不是有变化

大家可以看到

其实我们

有两个方差

它卡方检验是不显著的

另外一个是微弱显著

比如说当我们加入了一个二次项之后

它方差的结构的重新的估算

给我们带来一些不同的这样的信息

那么这个是什么原因

我们要来看

那么

这个地方大家可以看到

好像是有一点

挡住了

那么

事实上

这三个变量

π0i

π1i和π2i

它是线性相关了

高度相关

Correlation大家

可以看到这里露出一点来

我不知道为什么显示是这个样子

那么这个线性相关系数非常高了

负的0.9

看到了吧

下面这个是0.8

负的0.8

所以说这个绝对是线性相关了

共线了不是线性相关

是共线了多重共线

因此我们不能同时

把这三个变量都放在这里

这个就是问题所在

所以在这里我们把截距给扔掉了

这个方程里面没有截距

因为它们相关共线

所以就扔掉一个

大家可以看到刚才我们对共线的判断

直接看相关系数

没有什么其他的方法

就是看相关系数是不是

非常高

一般是高于0.7

我们就要谨慎

高于0.8是绝对是

不能接受

那么

我们现在就只剩下一次项和二次项

重新进行估算

那么这个时候它的结果

相对来看是比较平稳合理的

那么一次项和二次项的方差

假设检验也都是

显著的

那么他也是就是说在

跟我们刚才看到的图直观的图就比较

一致了 刚才

显然

不一致了

那么对第一层的模型设定

我们就进行了调整

大家可以看到当你加入二次项的时候

其实要考虑的事情就变得很多了

那么

这样的话我们就在第二层

可以考虑建模

还是我们刚才说的问题

虽然我们认为

π1i跟π0i

他在第二层都可以变化

但是

我们

到底在第二层要放多少

自变量

这个是要谨慎的

就是说我们放多了

说白了这个方程可能跑不出来

可能估算不出来

在这个地方大家可以看到

就在我们其实对π1i

没有做太多的要求

我们就认为它是一个

就是一个随机变量

我没有去解释它

反倒是我只是对π2i它的加速度

要进行建模

这个就是省了很多

简化了很多模型

否则的话就是在第二层有两个带入方程

会非常复杂

我们并不关心

它这个里面的变量的含义

当然也很容易看到

那么这个就是一个建模的这样的

思路

当然你说为什么要这样子

肯定是因为我们这个研究兴趣以及

已有的依据让我们去这样建模的

如果你对π1i更感兴趣

对π2i不太感兴趣

你就得π1i建模π2i

你就不见得说非要去建模解释它

因为

兴趣

ok那么就是这样的一个分析结果

大家可以看到

当我们对π2i进行建模分析的时候

我们就会得到所有的待估参数的估算值

这些都是来去解释π2i的

以及我们对随机干扰项残差的

方差的成分的估算

我们都可以对它进行重新的估算

那么

增长模型的这样的一个思路

大家可以看到

在

多层级线性模型这样的一个估算的框架下

根据我们的研究兴趣研究增长问题

我们是可以非常轻松的

把

重复测量问题

转换成一个组内

就是说学生个体内部

和组间就是学生个体之间

这样的一个概念结构

然后按照多层及线性模型的建模方式

来建模分析

这里面

对于某这个方程的设定最重要的考虑

就是说你是用线性模型还是二次项

一般我们不增加到三次项了

没有必要

那么我们一般会对这些

这个斜率假设它是会变化的

否则我没有必要去建模去分析

当然了我们要经得起假设检验

一般我们还要画图

增长曲线是一个非常直观有意义的

这张图是要画一下的

那么还有要考虑

这些多重共线的问题

以及我们的

在第二层上到底对哪些变量进行

更加充分的这种建模分析

要有一个权衡取舍

不要

一般不要去建full model

full model对每一个第一层

的参数在第二层都建模分析

除非你有特别强的一个数据来支撑

所以有的时候不见得是一个最好的选择

根据研究目的

来去取舍一下

那么这个就是对于增长函数

的一个简单的介绍