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第二种方法

估算方法是要两阶段最小二乘法

那么两阶段最小二乘法

其实我们在介绍工具变量的整个的思想的时候也是已经用

到了

那么第一阶段显然就是跑一个x关于z的一个方程

为什么我们要通过这一步来去估算一个 x hat

对不对

那么大家看到这个里面图

我们其实专注于x跟z的关系

那么这样的话黄色阴影面积

右边这张图里面黄色的阴影面积就是我们估算的 x

hat

那么我们都用x hat来去估算y，用x hat来

去解释y的 variation

当然阴影面积它有一块是跟y是重合的

是不是

那么在这个公式里面大家可以看到

第二步

我这个地方用的就是x hat的了

就不是过去的x了

那么因为x hat 是z的一个方程

z的一个线性方程，线性函数

而z是跟残差不相关的

所以x hat的它就是一个外生的变量了

是不是

它就跟残差也不相关

那么用它去估算的

β就是一个无偏估计

是不是

那么当然是渐进无偏了

我们就简单说是无偏估计

那么这个思路就是这样子的

好

我们来看一下数学表达式

刚才是一个非常形象的韦恩图

那么首先第一步我们看到这是原始的，我们感兴趣的

这样的一个方程

那么根据两阶段最小二乘法的思路

我们把它分成两步

第一步我们是x关于z的一个方程

那么这里面我们会求出一个x hat

那么第二步是y关于 x hat的一个方程

当然我们希望求出的是同一个残差

大家看到都是residual

都是σ

不是 ε

那么这个是不变的

但是我们会讨论详细讨论残差的问题

大家可以看到说

其实我是可以把 x关于z的等式带入到原来的这个方程

里带到原来original这个方程里面

这样的话就变成了下面 reduced form

也就是说其实y它是可以直接写成z的一个函数的

虽然z在理论上并不影响y

但是在数学公式上我们是能够这样推出来的

那么这个就叫做reduced form

那么大家可以看到说 reduce form里面当然

它进行了一个带入

那么这个里面有一个很重要的关系就是三个系数

z对x的影响用系数α1表示

x对于y的影响用β来表示

那么 reduce form里面z对y的影响是用γ

来表示

γ1来表示

那么可以见到α1,β1跟γ1

它是具有一个比例关系的

那么这个地方我们先看一下

当然z这也是外生的

那么根据刚才的矩估计我们也很熟悉了

在第一阶段里面α1的矩估计就是这个式子

就是x跟z的协方差除以z的方差

那么γ的矩估计在这儿

因为这个里面这个里面这个γ的估计也是无偏的

对不对

因为z是外生的

所以说我们可以直接就是套OLS的这样的一个据估计

那么γ的估算值跟的协方差除以z的方差

而这个α1,β1,γ1

它又满足这样的一个关系

就是β1是等于γ1除以α1的

我们把这两个估算带进去

我们就可以算出来

β1它就等于这个 y跟z的协方差除以 x跟z的协

方差

是不是

这个就是两阶段最小二乘法的估计

比如说我是用两个外生的

这个方程就可以来估算出来

结果当时跟前面的矩估计是一样的

有问题可以随时提

所以这个也是一个例子

也就是说这是两阶段

那么这个问题是个 outcome，内生变量是

college

大家可能也看到这个例子

教材里面，那么第一阶段的方程

它用的工具是什么

是distance

也就是认为上大学也是一个内生性的事儿

是不是

上大学是个内生性的一个事儿

那么什么因素什么工具变量

可以只影响他上大学的行为

但是不影响它的 outcome

在这个里面他参与投票

公民的这种参与国家政治的这样一种行为

么distance也是常用的一个工具变量

也就是学校跟最近的 community

college的距离

因为大家想在美国很多孩子也不愿意上大学

他就去上个社区学院

community college是两年的社区学院

也算是大学

那么什么条件会影响他上社区学院的选择

然后如果他周围有这样的学校

他上起来就是交通成本很低

他得到这个信息也比较容易

他可能就去上了

但是如果他周围没有这样的学校

离得比较远

他交通成本很高

他不见得了解学校的信息

他就不去上了

那么distance是可能会影响到 college

的

选择的上不上就是college

那么它们所以说在第一步的方程里面是用

distance来作为工具变量z然后看来来

估算college的拟合值

那么这个就是它的系数

就在这

那么估算出来的 college hat在第二步

里面

那么通过计算，报表

这个是统计软件报出来的

那么它就直接报出来的是的β无偏估计

是0.23283这个值

但是没有什么特殊的需求的时候

我们是不会去报这个 z的系数γ的

因为我们并不关注γ

γ是在理论上并不存在的

它只是帮助我们去估算的

是不是

帮助我们做无偏估计的这么一个值

我们要的还是β

我们关心的是β

第三种方法sem它就是同时解方程组

其实也是非常重要的一种方法

但是在我们同学们的主要的研究中会遇到的可能会比较少

所以我们也不会做单独的介绍

好

那么下面这道题很有意思

我现在把这个题解释一下

我们刚才说的两阶段最小二乘法

这个里面有几个方程

第一个是第一阶段的方程

还有第二阶段的方程

那么第二阶段的方程里面的 x它就变成了 x hat

还有 reduced form

刚才都解释了

这个里面一共有三个残差

δ

ε和μ有三个残差

那么请大家在下面这张维恩图里面

你来去标记一下这三个残差分别是哪一部分

这个是 x y z三个变量

红色面积大家都答对了

是不是

就是ε residual的ε

我们本来就有的 residual造成相关的造成内生的residual

那么紫色的当然就是δ， x里面除去最能解释的剩下

的一部分 variation

黄色面积

黄色阴影面积它它就是μ是吧

就是把 z跟y的重叠部分去掉之后

那么剩下的外的variation它就是μ

大家很多都答对了

不错

那么就对这几个残差它到底是哪一部分有了一个比较清晰

的认识

因为后面我们还会有一个更重要的讨论