5.7 Fuzzy RD 1在线视频

下面我们讲fuzzy RD

显然我感觉大家的理解能力在前面三

讲的基础上已经有了很大的提升

基本上这堂课学完大概80%的知识

都应该能够比较好的掌握

我们来看fuzzy RD

刚才讲的是sharp RD

也就是说什么，所有人

都严格的按照规则

来去做

因为RD就是用咱们刚才说的用规则

制定的这样的一个

实验条件来去做分析的来做研究的

当所有人都遵守规则的时候

大家可以看到

断点

断点前后

人参加 treatment跟

没有参加treatment

它的概率就是0和1

这个就是非常sharp

这是一个我们叫清晰的断点

但是

在实践中

往往很多人是不按规则办事的

对不对 我们很常见

规则定在那里了

虽然很多人遵守

但总有人没有遵守

这个时候它就不是一个sharp RD了

它就可能是下面这两张图画的

红色的虚线是规则

跟上面sharp RD里是一样的

黑色的实线是实际情况

就是实际的概率

我们可以看到

这个概率就不再仅仅简单的是0和1了

它可以

在本来应该等于0的情况下大于0

在本来应该等于1的情况下

小于1，它可以是线性的

也可以左边是非线性的一个

右边是一个线型的

就是这个概率函数它是一个

可以有不同的形态

它总之它就变成0和1之间的一个值了

不再是0和1这两个非常

固定的值

这种情况我们把它叫fuzzy RD

这个时候方程形态

其实是发生了变化的

那么这个是一一般的形式

那么fuzzy RD讨论的是变成了一个什么问题

它就是不再讨论

assignment status

treatment

assignment到底是0和1的问题

而说是

assignment的概率它是被分到

treatment组的概率是

多少

它讨论的是这个问题

也就是说这个时候

Di是它实际接受

treatment与否这样的一个

二元变量

么Di关于xi的条件希望

就变成了一个概率

它其实是

给定xi

Di=1的

条件概率是多少

就变成这样的一个形态了

那么概率的函数我们用g来表示

那么它也是一个分段函数

对吧

它跟 xi的取值有关

xi大于等于1

x0的时候

它是g1

xi小于x0的时候

它是g0 它可以是两个不同的

可以是不同的函数形态

比如说像这种情况

两边的就是x0的左右两侧

概率函数

它的参数不必然相等

斜率不必然相等

所以说我们就把刚才原来是Di

等于1跟Di等于0的问题

我们把它

就用这个函数形式重新表达

它就变成了一个条件概率函数

这个有没有问题同学们

好好 没有问题

这是模型的set up

在模型set up部分我们就

做了这样的一个调整

根据fuzzy RD的情况

那么对fuzzy RD来讲

它显然会给我们带来什么

带来估算的偏误

我们来看 PPT的左边

是我们已经非常熟悉的sharp RD里的情况

上面是它的概率只有0和1

下面的是outcome的方程形态

那么这个时候ρ就是

在断点这个位置

两边方程的取值的跳跃的情况

我们要的treatment effect

但是在

fuzzy RD的情况

也就是咱们的PPT的右半侧

大家可以看到

首先这个概率它就不再是0和1了

它是01之间的两条曲线了

那么更重要的

是大家可以看到

在y的

y的条件期望函数它就发生了变化

在断点左边

它是实线的曲线

它不再是虚线的曲线了

断点右边也是这段实线的曲线

也不再是上面虚线的曲线了

这个时候如果我们跑一个sharp RD的话

我们得到的

jump跳跃

就是这么一小段

那么显然这一段

它是一个有偏的估计

对不对

它是因为上面

人们不再遵守这个规则才接受treatment的概率

不再是沿着红线在走

而导致下面 potential

outcome的函数形式

的跳跃也是一个有偏的

这个就是fuzzy RD

如果我们不去处理

还是按照之前的模型来去跑回归的话

得到的结果就是有偏的估计

Ok

怎么解决这个问题

怎么解决同学们

让大家想到了我们在RCT里面

见过的 cross

over的问题是不是非常

类似

只不过在 RCT里面

分组规则是实验者设计的

对不对

实验者随机分配的

在 RD里面分组规则

是由我们叫rules

是由规定，规矩

来去设定的 是不是

但是总有些人

它可以绕过

规则 它来

按照自己的

偏好

和不可观测的这些变量

进行选择

接受treatment还是

不接受treatment

就非常类似于我们的cross

over

是不是

这个时候我们就会除了D之外

我们会引入新的变量叫T

T是规则

界定的

分组情况

D是实际的分组的结果

是不是

就变成这样的一种情况

非常类似

这样的话大家想一下

对于 fuzzy RD

我们可以考虑用什么样的

解决办法

来去把 bias

给纠正过来

是不是已经非常明显了 同学们

没想到没有人愿意回答吗

我们就用工具变量对不对

**在

聊天区里说了一句

对大家还是要勤

说话勤打字

这样的话也活跃一下你们的思维

虽然

经过预习答案是比较显然的

那么我们这里就开始考虑用工具变量

法来解决fuzzy RD里面的问题

也就是用t刚才说了

T就是我们的工具变量

就是由

规则制定

所定义好的分组的规则

好

这个是刚才咱们已经设定好的

D的

条件概率函数

它也是个分段函数

那么这时候我们引入T

T是

还是01变量对不对

T是一个也是分段函数

但T就是01的

因为它是分组规则

分组规则就类似于我们sharp RD里面的D了

那么我们就可以把

D的条件期望重新写成

T的函数

那么这样的话我们后面就开始来去建立

两阶段最小二乘法的回归方程了

前面我们把这些变量定义好了

这个方程的模型的设定

我们解释清楚了这里面有什么问题

那么大家后面就注意听

显然

对于一个two stage

least square

estimation来

讲

它需要估算参数的 对不对

那么因此我们这里只能用什么

只能用参数估计

我们不能用

没有办法用非参估计在这里

因为我们本来

工具变量法它就是要估算参数的

那么我们还是从最简单的形式开始

首先我们假定

断点两侧

g0跟g1呢

它也是服从同样的

p阶多项式

这是

我们让这个问题变得很简单

这样模型就会设定的比较简单

大家要记住这个g

它是D关于xi的条件期望函数

那么同时我们还假定

g1跟g0之间在x0这个位置

它们的差值是一个常数项

π

这样的话我们先给出g0的函数形式

它就可以是

xi的一个p阶段上市

那么

这样的话

Di

我们就可以写成

靠近前面这个公式

第二个红红方框里面这个公式

Di它的回归方程形式就变成了什么

就变成了g0i

再加上

g1-g0就是π

乘以t

对不对

然后加上残差项

这样的话就是我们把Di的

回归方程就写出来了

好 这一步有没有问题

好 没有问题

那么

大家想这一步是什么

这一步是不是就是两阶段

最小二乘法的第一步

对不对

因为Di是我们说的什么

内生解释变量

它是一个自选择的结果了 是不是

然后我们又重新用工具对它进行了

建模的解释

就是第一步

所以

我们来套一下 RD的方程

这个是RD的一般回归方程了

对不对

我们把刚才写好的Di

first stage

把它带进去

那么

这个时候

我们就可以求出

D hat

再把 D hat再重新带入到

二阶段方程

当然我们

reduced form

好

那么这样的话

我们就完成这样的一个估算

大家注意这个地方我们有两套

p阶多项式

首先

关于RD的一般方程里面

yi

关于xi的条件期望fxi

它是一个p阶多项式

同时我们又假定Di关于xi的条件

希望也是一个p阶多项式

这两个不是一回事

但是它们都

我们都可以清晰的把它写出来

所以大家可以看到这个我们非常

熟悉的两阶段最小二乘法了

我们用第一阶段

工具变量

包括的

p阶多项式

以及Ti

来去估算了拟合值

D hat

把D hat带入第二阶段

当然我们要怎么样 要纠正残差

不细

回顾了

那么这样的话我们就解决

了Di的内生性问题

使得二阶段的估算

ρ

就是一个无偏估计

对吧

有没有问题

好

没有问题就这个很重要

没问题 好谢谢

好

那么当然了

我们知道既然 t I是一个

二元变量

那么显然我们是可以用瓦

尔的估计来去估算的

那么这些PPT又用瓦尔德估计的形式

把最简单的

这个估算写了一下 当然这个地方

我们也是加入了极限的概念

在一个非常小的带宽内

来去讨论这个问题