5.5 RD Estimation 2在线视频

那么一般对于非线性函数

我们都假定它是一个p阶的多项式

这个是我们根据微积分的相关

的定理做了这样的一个近似

在回归里面我们就会有

多项式的，p阶多项式的形式

来刻画任何一条曲线

那么我们也是从最简单

的情况来开始描述

假设在断点两侧的曲线

它是完全一样的

两个都像是

也就是说接触跟

它们的系数

都是一样的

唯一的差别

一个跳跃

这个跳跃是一个常数ρ

这个是最简单的情况

这样的话我们就可以把f(xi)

就写成f0(xi)加上ρ

乘以Di加上η

跟刚才咱们说的线性的

形式是不是非常相似

唯一的区别就是说我们把之前的α

加βxi这样的一个线性函数

写成了一个更加一般的形式

就是f0(xi)

这样一个形式

我们可以把它展开

刚才说既然是一个p阶多项式

那么我们就把这个f0(xi)展开

这个就是我们的p阶多项式

显然一阶函数

我们刚才讨论的线性的这一部分

这个就是我们刚才说的线性的

那么我们可以增加二阶三阶一直到p阶

它就变成了一个任何形式的非线性的函数

那么这个就是最简单的一种

非线性函数的设定形式

断点两侧函数形式是一样的

唯一的差别是一个常数的跳跃

这个有没有问题

好 没有问题

下一页就会变得稍微复杂一点

道理是一样的

只不过是看上去

罗嗦一点 大家

集中注意力

下面我们假设什么

我们假设断点两侧的函数形式可以不一样

这完全是可以的

我们没有必要强制它们一样

这个时候当然它因为不一样

参数立马就增加了

所以稍微复杂一点

我们来看

这个是关于 Y0i关于

x的条件期望函数

它是f0(x)

那么它就等于α

加上β01

xi

一直加到β0pxi

p次方

那么这是方程

这是断点左边的函数形式

断点右边的函数形式就是

Y1i的条件期望函数

它就是α加上ρ

ρ就是跳跃的这一部分

以及β11开始的这一串

p阶多项式

这个里面要解释一下

x~

它就是我们原始的 xi

减去x0

也就是说我们先对xi

做了一个中心化的处理

中心化处理之后

我们把它记为x2~

没有什么本质的区别

那么大家可以看到上面这两个函数形式

它们的参数就可以不一样

β可以取不同的值

这样的话两个函数形式就不一样了

就是这个函数这个曲线的形态就不一样了

但是它们之间还是有一个跳跃

就是这个常数项柔

这样我们还是套回这个公式

套回我们最早这个公式

套进去之后

我们就得出这个式子

这是一大长串

当然我可以把括号展开

这里面要说

为了方便写

不要写那么罗嗦

我又定义了一个参数

我们定的

β*

β*就是

β1减去β0

我们把它定义为β*

因为这个括号里面大家可以

看到就是两个函数相减

对吧

同一阶的肯定是它们的系数相减

那么这是个很多组相减就很罗嗦

我们就重新定义为β*来这样来

来去

写起来会简洁一点

展开之后

就会出现这一串

这是一串什么

这是一串交互项对不对

是dummyD跟连续变量的交互项

而且是多阶的交互项这一块

就出现了 我们先放在这

我们都能估算这个没有问题

好 那么

模型的设定就是这些

对于这样的一个模型的估算

我们就不用再讨论了

直接来跑回归就可以了

有问题可以提

那么大家看一下是不是我们

通过多项p阶多项式的形式

就能够去刻画非线性函数

那么我们通过设定方程断点

两侧的方程形态是否一致

我们就可以得出简单跟复杂的方程形态

然后我们进行回归估算就可以了

非线性估算

的参数估算这一部分

那么这个地方有一个问题

刚才设定其实并不复杂

大家就想明白之后没有什么

但是这里有一个问题我们需要思考

就是说

虽然我们确实可以通过p阶多项

式来去设定方程的形态

但是我们到底去选择几阶的p阶多项式

这个问题

就必须是研究者来回答的是吧

你为什么是选择一阶的

为什么是二阶的

为什么是三阶的 你的理由是什么

这个就是一个非常

难回答的问题

有的我们根据一些理论模型对吧

像收入等等

我们可以取个对数

取个指数这样子来去做

但是更多情况下

我们是拿不出特别强的理论依据

来说我为什么选择了一个4阶模型

而不是一个5阶模型

这个就是关于方程形式的设定问题

第二个大家知道

那么当我们的方程的阶数非常高的时候

这个曲线它可以变得非常自由

像这张图画的一样

所谓自由就是说它可以

根据样本里面这些点

它会尽量的去拟合

它那么阶数越高的话

它拟合的可能会越好

这里面的风险是什么呢

对于outlier

对于一些奇异值

它也会去拟合它

那么这个是我们不想看到的这种

一个是过拟合的问题

第二个会对outlier特别敏感这个方程

那么这些都是当我们增加多项式

的阶数的时候带来的一些问题

所以并不是说方程阶数越高

就越好

而这个问题就需要我们去权衡取舍

一个是要避免方程设定

错误带来的估算偏误

第二个也要去避免多阶

多项式

p阶多项式

给我们带来的这样的一些数据角度的干扰