当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第一周：随机事件及其概率运算 > 随机试验与随机事件 > 1.1 随机试验与随机事件
同学们好
欢迎大家参加中国大学
先修课程《概率论与数理统计》的学习
我是清华大学数学科学系的教师梁恒
很高兴在今后一段时间里
与大家分享一些
概率论与统计学中最基本
最重要也是最常用的经典成果
概率论与统计学集中
对不确定性进行定量研究
建立了描述不确定性的
有效数学模型和理论方法
随着现代科学技术的发展
深刻地理解不确定性
有着越来广泛和紧要的需求
概率论与统计学已经成为
科学研究 工程技术 经济管理
乃至人文社科等领域不可或缺的工具
这门课程的基本内容和方法
不仅是提供了一些有效工具
更反映出独特的思维模式
很好地体现了
数学理论和实际应用的联系
本课程面向已经有一些
微积分基础的优秀中学生
强调抽象原理与现实应用的紧密结合
希望通过深入浅出的内容
引导同学们从传统的确定性思维模式
逐步熟悉和掌握随机性思维模式
当然也希望能够激发同学们的学习兴趣
提升大家的科学素养
为同学们在大学后继课的学习
奠定良好的数学基础
并帮助同学们适应
从初等数学到高等数学
学习观念上的转变
更好地适应
即将到来的大学学习和生活
第一周我们的主要学习内容是
随机事件及事件的概率运算
偶然性与不确定性的概念
几乎与人类文明本身一样的古老
人们不得不应付天气变化
传染病的侵袭 战争胜负
以及一次捕猎是否成功等等的不确定现象
那么很早的时候
人们就对不确定性的机理
以及他的运用产生了兴趣
早在公元前3500年左右
古埃及等地就已经出现了利用动物骨头
制作的具有随机性质的游戏
那么这就是一个很好的例证
通常人们都认为近代的概率论
也就是概率的数学理论
是由十七世纪
法国数学家帕斯卡和费马共同开创的
他们成功地推导出一些
赌博规则对应的实际概率
并且获得了一些有效的计算公式
从那时起 概率论得到了稳步的发展
被越来越多地应用到
工程 科学 管理 医药等等领域
成为与微积分
线性代数同等重要的
最基础的数学工具之一
概率论研究的对象是随机现象
为了探索随机现象的规律性
需要对随机现象进行观察
并进行一些试验
如果一个试验事先能够明确地知道
它的所有可能的基本结果
而在每一次观察中
又不能事先准确地预言
其中哪一个基本结果会发生
并且在相同条件下可以重复进行
则将此试验称为随机试验
显然随机试验是研究
随机现象规律性的基础
人们把随机试验的每种可能的基本结果
称为一个样本点
通常用小写希腊字母ω表示
全体基本结果构成的集合称为样本空间
通常记为大写的Ω
下面看几个随机试验及其样本空间的例子
考察下面几个随机试验的样本空间
试验1 将一枚均匀的硬币抛3次
观察出现正面的次数
这个试验有4种可能的基本结果
也就是抛3次硬币
得到正面的次数共有0 1 2 3四种可能
所以随机试验1的样本空间Ω1为集合是0 1 2 3
试验2 同时掷两颗六面的色子
观察所得的点数和
六面的色子掷出的点数最小为1点
最大为6点所以两个色子的点数和最小为2
最大可以到12
且2至12这11个整数都可以取到
所以随机试验2的样本空间Ω2
为2 3 4直至12这11个整数构成的集合
试验3 某网站
在某一段时间内被点击的次数
这个网站在某一段时间内
被点击的次数可能是0次
也可能是1 2 3次等等
原则上点击数达到任意大的正整数
都是有可能的
虽然取值为非常大整数的可能性微乎其微
但为了处理方便
可以认为随机试验3的样本空间
Ω3为0 1 2 3等
全体非负整数组成的集合
试验4 在一批电子器件中任意取1只
测试其寿命
电子器件的寿命一定大于等于0
有的器件寿命可能非常长
虽然任何器件都不可能永远不坏
但是常常为了表达和处理方便起见
可以认为随机试验4的样本空间Ω4
为t大于等于0的整个非负实数集合
一个随机试验的样本空间中
具备某种属性的样本点的集合
叫做一个随机事件
简称为事件通常用大写字母A B C等表示
由一个样本点组成的单点集
是最简单的事件我们称为基本事件
习惯上当且仅当一个事件中的
某一个样本点出现时
也就是当前观测到的
随机试验基本结果属于事件A集合时
称为这一事件发生
即对于样本空间中的子集A
样本点ω属于集合A时 称事件A发生
样本点ω不属于集合A时
则称事件A未发生
例如在掷两颗色子
观察所得点数和的随机试验中
点数和全部可能的基本结果为2 3 4 直至12
这些结果构成随机试验的样本空间
点数和是3的倍数
这一随机事件对应样本空间的子集A
包含3 6 9 12这四个元素
当掷出点数和为3 6 9 12点中
任一结果时称事件A发生
再看一个例题
考虑前面例1.1.1中的随机试验3
即某网站在某一段时间内被点击的次数
试写出下列事件包含的样本点
事件A为一小时内
被点击次数在10到20次之间
则它包含的样本点即为10 11 12
一直到20这11个正整数
事件B为一小时内
被点击次数不多于7次
它包含的样本点为从0到7的8个整数
事件C为一小时内
被点击次数为偶数次
则它包含无穷多个样本点
所有样本点组成的集合为正偶数集合
事件D为一小时内被点击次数至少为0次
这是必然发生的
它的样本点集合即为整个样本空间
事件E为一小时内被点击次数少于0次
这是不可能发生的
所以事件E包含的样本点集合为空集
样本空间Ω包含所有的样本点
若事件集合等于Ω本身
则在每次试验中它总是发生的
故称为必然事件
而空集Φ中不包含任何样本点
它在每次试验中都不可能发生
故称为不可能事件
为讨论方便 以及概念的完整性
虽然必然事件与不可能事件
并不具有不确定性
我们仍然常常将它们
作为随机事件的特例
纳入到随机事件的范畴来统一考虑
为了方便处理事件的运算
经常对事件A
引入如下定义在样本空间上的函数
当基本结果ω属于事件A集合时
函数值等于1
否则 函数值等于0
因为这个函数的取值0和1
标识了事件A是否发生
所以这个函数被称为事件A的
示性函数或标志函数
-随机试验与随机事件
-古典概型
--1.2 古典概型
--第一周：古典概型
-事件间的关系与事件的运算
--第一周：事件间的关系与事件的运算
-两个著名的例子
--第一周：两个著名的例子
-讲义
-条件概率
--2.1 条件概率
--第二周：条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
--第二周：有关条件概率的三个重要计算公式
-事件的独立性
--第二周：事件的独立性
-应用实例
--2.4 应用实例
--第二周：应用实例
-网球比赛胜率的计算
--Video
-讲义
-随机变量及分布函数
--第三周：随机变量及分布函数
-离散型与连续型随机变量
--第三周：离散型与连续型随机变量
-分布函数的性质与特殊的例子
--第三周：分布函数的性质与特殊的例子
-概率论所需微积分要点回顾
--第三周：概率论所需微积分要点回顾
-讲义
-二项分布与负二项分布
--第四周：二项分布与负二项分布
-泊松分布
--4.2 泊松分布
--第四周：泊松分布
-几何分布与指数分布
--第四周：几何分布与指数分布
-正态分布
--4.4 正态分布
--第四周：正态分布
-讲义
-随机变量函数的分布
--第五周：随机变量函数的分布
-随机变量的数学期望
--第五周：随机变量的数学期望
-随机变量的方差
--第五周：随机变量的方差
-原点矩与中心矩
--第五周：原点矩与中心矩
-期望和方差的一些补充性质
--第五周：期望和方差的一些补充性质
-讲义
-二项分布与泊松分布的期望与方差
--第六周：二项分布与泊松分布的期望与方差
-几何分布的期望与方差
--第六周：几何分布的期望与方差
-均匀、指数和正态分布的期望与方差
--第六周：均匀、指数和正态分布的期望与方差
-随机变量数学期望的应用实例
--第六周：随机变量数学期望的应用实例
-快速排序算法的平均计算量分析
--Video
-讲义
-多维随机变量
-第七周：多维随机变量
-常见多维随机变量举例
--第七周：常见多维随机变量举例
-随机变量的独立性
--第七周：随机变量的独立性
-独立随机变量期望和方差的性质
--第七周：独立随机变量期望和方差的性质
-讲义
-条件分布
--8.1条件分布
--第八周：条件分布
-条件期望
--8.2 条件期望
--第八周：条件期望
-全期望公式（上）
--第八周：全期望公式（上）
-全期望公式（下）
--第八周：全期望公式（下）
-讲义
-随机变量函数的期望
--第九周：随机变量函数的期望
-协方差
--9.2 协方差
--第九周：协方差
-相关系数
-- 9.3 相关系数
--第九周：相关系数
-相关与独立
--第九周：相关与独立
-讲义
-独立随机变量和的分布
--第十周：独立随机变量和的分布
-独立正态分布和的分布
--第十周：独立正态分布和的分布
-最大值、最小值分布
--第十周：最大值、最小值分布
-顺序统计量
--第十周：顺序统计量
-讲义
-正态分布的相关与独立
--第十一周：正态分布的相关与独立
-边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
--第十一周：边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
-二项分布的正态近似
--第十一周：二项分布的正态近似
-正态近似计算实例
--第十一周：正态近似计算实例
-讲义
-大数定律
--12.1大数定律
--第十二周：大数定律
-中心极限定理
--第十二周：中心极限定理
-蒙特卡洛（Monte Carlo）算法
-伪随机数和随机模拟
-讲义
-统计学实例
-总体与样本
-常用统计量
--第十三周：常用统计量
-三种重要的统计分布和分位数
--第十三周：三种重要的统计分布和分位数
-讲义
-参数的矩估计
--第十四周：参数的矩估计
-参数的极大似然估计
--第十四周：参数的极大似然估计
-参数点估计的无偏性和有效性
--第十四周：参数点估计的无偏性和有效性
-参数点估计应用实例
--第十四周：参数点估计应用实例
-讲义
-区间估计的基本思想
--第十五周：区间估计的基本思想
-区间估计的构造方法
--第十五周：区间估计的构造方法
-两个正态总体的区间估计
--第十五周：两个正态总体的区间估计
-大样本置信区间
--第十五周：大样本置信区间
-讲义
-假设检验问题的提示和标准步骤
--第十六周：假设检验问题的提示和标准步骤
-假设检验问题的两类错误和P值
--第十六周：假设检验问题的两类错误和P值
-单个正态总体参数的假设检验
--第十六周：单个正态总体参数的假设检验
-拟合优度检验
--第十六周：拟合优度检验
-讲义
-利用条件概率计算网球比赛胜率
-利用期望的计算性质分析快速排序算法的平均计算量
-讲义
-事件
--事件
-分布函数
--分布函数
-正态
--正态
-指数与二项
--指数与二项
-随机变量函数的分布
-指数分布期望
--指数分布期望
-切比雪夫不等式
--切比雪夫
-二元离散
--二元离散
-协方差
--协方差
-二元特征
--二元特征
-统计量
--统计量
-无偏估计
--无偏估计
-点估计
--点估计
-假设检验
--假设检验
-选择
--选择
-填空
--填空
-大题
--大题
