当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第五周：随机变量函数的分布及随机变量的数字特征 > 随机变量函数的分布 > 5.1 随机变量函数的分布
同学们好
随机变量的函数
仍然是随机变量
本周我们先学习
随机变量函数的分布
然后我们学习期望
方差等随机变量的数字特征
这一讲我们介绍一下
随机变量函数的分布的
基本计算方法
从而使我们能够
掌控的随机变量
范围有进一步的扩充
上一周我们已经学习
并掌握了一些
常见分布的概率性质
但这些随机变量
往往还是不够用的
实际问题中
我们还经常遇到
由较简单的随机变量
进行一定的函数运算后
得到的变化多端的
新的随机变量
比如 已知某一个随机变量X
表示频率
若想了解间隔时间的性质
就要考虑X分之1
这里 X分之1是
关于X的一个初等函数
一般而言
随机变量经过初等函数的作用
仍然是一个随机变量
如果我们掌握了
随机变量函数的
概率分布有效的计算方法
那么我们就可以
从初始分布出发
比较方便地得到
新的随机变量的分布规律
而不用每个新的随机变量
的分布都从重头计算
为概率计算带来便利
例如 我们已经知道的
参数为mu,sigma方的正态分布
经过一个线性变换
就变为标准正态分布
我们可能还关心
如果随机变量X
服从标准正态分布
那么它的平方
有什么样的分布特性
如果X是
参数为2的指数分布随机变量
那么e的负2X次幂
它的分布情况如何呢
问题的一般提法是
已知随机变量X的分布
求Y=g（X）的分布
其中g是一个初等函数
对于离散分布随机变量
概率分布用分布列表示
其每一个取值的概率
就对应到经过函数作用后
函数值的概率
比如随机变量X=x2的概率为p2
经过函数g(x)的作用
这个概率就转移给了
Y的取值g(x2)
对于随机变量X
其任意的一个取值xk
经过函数作用后得到g(xk)
g(xk)对应的概率仍然是pk
然后再将g(xk)中
取值相同的合并起来
就得到
随机变量Y=g(X)的分布列
看例题
已知随机变量X
是一个有5个取值的
离散型随机变量
求Y等于X方加X的分布
我们计算出
X的五个取值
-2，-1,0,1,2
对应的X平方加X的函数值
分别为2,0,0,2,6
每一项的概率值对应不变
然后整理取值相同的情况
g(-2)和g(1)都等于2
所以整理后Y=2的概率为
X=-2的概率加X=1的概率
等于0.2加0.3等于0.5
同样将2个等于0的情况合并
得到Y=0的概率为0.2
对于连续型随机变量X
其函数Y=g(X)的分布
往往通过分布函数的定义计算
Y的分布函数F
在y点的值等于
随机变量Y小于等于y的概率
从而等于g(X)小于等于y的概率
解出满足该不等式的X的范围
而X的分布已知
即可通过X的分布计算出
Y小于等于y的概率
我们首先验证一下
将一般正态分布转换为
标准正态分布的重要结论
设X服从参数为mu,sigma方的
正态分布
求Y等于sigma分之X减mu的分布
计算随机变量Y的分布函数
Y小于等于y的概率
等于X小于等于
sigma乘以y加mu的概率
等于正态分布密度函数
从负无穷到sigma乘y加mu的积分
做变量代换
设t等于sigma分之X减mu
即得到F(y)的积分形式
就等于标准正态分布的密度函数
从从负无穷到y的积分
所以Y服从标准正态分布
设X服从标准正态分布
求Y等于X方的分布
利用定义计算Y的分布函数
转化为计算X方小于等于y的概率
X方不可能小于0
所以当y小于0时
分布函数F(y)=0
当y大于等于0时
X小于等于根号y
大于等于负根号y
即标准正态分布
密度函数在负根号y
和根号y之间围成的面积
如图的阴影部分
利用对称性
这一面积等于
右侧面积的两倍
即2乘以标准正态分布
分布函数在根号y的取值
减去2分之1
等于2Φ(根号y)减1
分布函数对y求导
即得到随机变量Y的密度函数
这里利用了复合函数的求导公式
大Φ的导函数是小ф
本例中
我们计算的标准正态分布的平方的分布
称为一个自由度的卡方分布
卡方分布
是统计学中一类
有重要应用的分布
设X服从参数为2的指数分布
求Y等于e的负2X次幂的分布
利用定义计算Y的分布函数
分布函数F(y)等于随机变量Y
小于等于y的概率
等于e的负2X次幂
小于等于y的概率
因为X取值非负
所以e的负2X次幂
取值在0和1之间
当y小于0时
分布函数F（y）等于0
当y大于等于1时
e的负2X次幂必然小于等于y
所以分布函数F（y）等于1
当y大于等于0小于1时
F(y)等于e的负2X次幂
小于等于y的概率
等于负2X小于等于lny的概率
等于X大于等于负1/2 lny的概率
X服从参数为2的指数分布
所以X大于等于负1/2 lny的概率
就等于e的负2乘以负1/2 lny 次幂
等于y
在0,1区间上F(y)等于y
所以 随机变量Y
也就是随机变量e的负2X次幂
服从0,1区间上的均匀分布
-随机试验与随机事件
-古典概型
--1.2 古典概型
--第一周：古典概型
-事件间的关系与事件的运算
--第一周：事件间的关系与事件的运算
-两个著名的例子
--第一周：两个著名的例子
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-条件概率
--2.1 条件概率
--第二周：条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
--第二周：有关条件概率的三个重要计算公式
-事件的独立性
--第二周：事件的独立性
-应用实例
--2.4 应用实例
--第二周：应用实例
-网球比赛胜率的计算
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-随机变量及分布函数
--第三周：随机变量及分布函数
-离散型与连续型随机变量
--第三周：离散型与连续型随机变量
-分布函数的性质与特殊的例子
--第三周：分布函数的性质与特殊的例子
-概率论所需微积分要点回顾
--第三周：概率论所需微积分要点回顾
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--第四周：二项分布与负二项分布
-泊松分布
--4.2 泊松分布
--第四周：泊松分布
-几何分布与指数分布
--第四周：几何分布与指数分布
-正态分布
--4.4 正态分布
--第四周：正态分布
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--第五周：随机变量函数的分布
-随机变量的数学期望
--第五周：随机变量的数学期望
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--第五周：随机变量的方差
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--第五周：原点矩与中心矩
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-第七周：多维随机变量
-常见多维随机变量举例
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--第七周：随机变量的独立性
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--第八周：条件分布
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--9.2 协方差
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-- 9.3 相关系数
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--第十六周：单个正态总体参数的假设检验
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