当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第七周：多维随机变量，独立性 > 独立随机变量期望和方差的性质 > 7.4 独立随机变量期望和方差的性质
本节考察两个重要的
独立随机变量期望和方差的性质
第一个为若随机变量X Y相互独立
则XY的期望等于X的期望乘以Y的期望
以离散型随机变量为例
证明这个结论
设二元离散随机变量（X Y）的
联合分布列X=xi Y=yj的概率已知
并且由X Y相互独立
有X=xi，Y=yj的概率
等于X=xi的概率乘以Y=yj的概率
其中i等于1 2 3直到m
j等于1 2 3直到n
这里m和n都可以趋向于无穷
则XY的期望等于xi乘yj
乘以X=xi Y=yj的概率对i
等于1到m和j 等于1到n双重求和
将X=xi Y=yj的概率拆
拆分为X=xi的概率乘以Y=yj的概率
在j等于1到n的求和式
提出xi乘以X=xi的概率
则所有求和项拆分为
xi乘以X=xi的概率
i从1到m求和
与yj乘以Y=yj的概率
j从1到n求和的乘积
等于X的期望乘以Y的期望
第二个重要的性质
若随机变量X Y相互独立
则X加Y的方差等于X的方差加Y的方差
X+Y的方差等于(X+Y)平方的期望
减去（X+Y）期望的平方
将各平方项展开
等于X平方加2XY
加Y平方的期望
减去X的期望的平方
加2倍的E(X)乘E(Y)
再加上Y的期望的平方
等于X平方的期望减去X期望的平方
加上Y平方的期望减去Y期望的平方
再加2倍的XY的期望
减去2倍的X的期望乘以Y的期望
因为X,Y相互独立时
XY的期望等于X的期望乘以Y的期望
这两项约掉
等式等于X平方的期望减去X期望的平方
加上Y平方的期望减去Y期望的平方
等于X的方差加Y的方差
这一结论可以推广为更一般的情形
若随机变量X1
X2直到Xn相互独立
且它们的方差均存在
则X1 X2直到Xn求和的方差
等于X1的方差
X2的方差直到Xn的方差求和
我们在推导二项分布随机变量的方差时
已经利用了独立随机变量和的方差
等于方差求和的性质
这里我们再回顾一下
设X为参数为n p的二项分布随机变量
X1 X2 直到Xn相互独立
且均服从参数为p的0-1分布
则X等于X1 X2直到Xn的求和
对所有的k等于1到n
Xk的期望和方差容易计算
分别为p和p乘以(1-p)
则参数为n p的二项分布随机变量
X的期望
等于X1 X2直到Xn期望的求和
等于np
方差等于X1 X2直到Xn方差的求和
等于np乘以（1-p）
其中期望的求和展开
不需要X1 X2直到Xn相互独立
而方差的求和展开
必须要求所有随机变量相互独立
实际上
负二项分布随机变量
也可以表示为独立同分布随机变量的求和
从而很容易地得到其期望和方差
参数为r p的负二项分布随机变量Y
即为连续不断且独立地重复进行一个
参数为p的伯努利试验
第r次“成功”出现时进行的试验次数
更细致地考虑
由伯努利试验
构造参数为r p的负二项分布随机变量的过程
从伯努利试验开始到第一次成功
所进行试验的次数是随机的
记为随机变量X1
则X1服从参数为p的几何分布
然后继续独立地进行伯努利试验
到第二次试验成功
我们记从第一次试验成功后
开始计算的试验次数为X2
则X2仍然服从参数为p的几何分布
如此进行下去
到第r次 “成功”出现时
所进行的总的伯努利试验次数Y
就等于X1加X2一直加到Xr
所以设X1 X2 直到Xr相互独立
且均服从参数为p的几何分布
则Y等于X1加X2
一直加到Xr的求和
服从参数为r p的负二项分布
我们知道参数为p的几何分布
随机变量的期望和方差分别为p分之1
和p方分之1减p
所以参数为r p的负二项分布
随机变量Y的期望为
X1到Xr的期望的求和
等于p分之r
Y的方差为X1到Xr的方差的求和
等于p方分之r乘以（1-p）
最后 我们看一个比较特殊的例子
设随机变量X Y相互独立
且它们的期望E（X）和E(Y)已知
令随机变量U
等于随机变量X Y的最大值函数
V等于随机变量X Y的最小值函数
求U乘V的期望
随机变量X大于等于Y
和X小于Y是两个互补事件
即两种情况必有一个会发生
而且不会同时发生
在这两种情况下考察U V与X Y的关系
当X大于等于Y时
U等于X V等于Y
而当X小于Y时
U等于Y V等于X
从而 在任何情况下 U乘以V
总等于X乘以Y
UV等于XY这一等式总是成立的
这样 UV 的期望就等于XY的期望
因为X Y相互独立
所以又等于X的期望乘以Y的期望
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