当前课程知识点：概率论与数理统计 > 习题课四 > 填空 > 填空
下面看第一个填空题
第一个填空题是给定
随机变量X的密度函数
是在0到2区间内
有非0的这个密度函数值是ax加1
那么在0和2区间之外
这个密度函数就是取值为0
然后我们来确定这个随机变量X
大于0.5小于2的概率
那么首先我们要确定
密度函数中的参数a
好 那么一个未知参数
我们通过一个关系式
就可以确定
那么关于密度函数
它一定成立的就是这样一个关系式
就是密度函数从负无穷到正无穷积分
它等于1
好 所以通过这个关系式
我们就可以确定出参数a
那么这个密度函数因为它
在0和2区间之外取值都是0
所以我们实际算这个积分的时候
就从0到2积分
关于ax加1 就是积分
就是可以了
那么这个积分它的原函数是
2分之ax的平方
再加x这样一个积分
再有什么
2 0点取值
这个X等于2的值减去X等于0的值
那我们把这个2代入 等于2a
把2和0代入 就等于2a加2
那么这个式子等于1
我们就得到了这个参数a等于负的1/2
所以密度函数我们就可以写成
这个完全表达式
负的1/2x加1 在什么
在0小于等于x小于2范围内
那么其他的时候
这个密度函数是0
好 那我们具体计算随机变量X
取值是大于0.5小于2的概率
那么就是在什么 0.5和2区间内
对密度函数进行积分
因为0.5到2的区间内的密度函数
按照这个分段表达都是0到2区间内
这个处于非0的这样一个部分
所以就在这个0.5到2
区间对这个积分
前一部分原函数就是负的4分之x方
然后后一部分的1就是x
就是2减去1/2
好 那么最后算出来这个结果是9/16
这样一个概率
那我们要注意的是什么
这个概率
如果我们换一种提法
这个x如果大于-2 小于2
那这个概率仍然等于什么
等于-2到2区间内dx
如果要比较粗心的话这么算-2到2
然后这个负1/2x加1 dx
那这个就不对了 不能这么算
这个密度函数
因为在0和2区间内等于这个值
在-2到0的时候就不等于这个了
所以这个积分一定等于什么
等于非0这个值的这个范围
是0到2这么来算才是对的
当然这个如果是小于2的话一定概率是
是1了 是吧
我们换一个值 就是改成1
就是从这儿0到1 是吧 密度函数
然后这个求积分 是吧
而且这个是这样 这里面注意的
提醒的就是说不能简单的
去套用这个f(x)这样的一个表达式
一定要注意什么 这个密度函数
它的分段的不同的区域内的取值
我们对密度函数取非0值这一区
来算积分
这个是大家要仔细的 计算了之后
好 这个题目我们就讲到这儿
第二个填空题是这样
XY是相互独立的随机变量
而且它们都服从参数是1，4的正态分布
也就是都服从期望是1
方差是2的平方的正态分布
好 那如果满足这样一个概率式子
也就是2X减cY
这样一个随机变量小于1的概率
如果等于1/2 满足这个概率式
我们来确定这个参数c的取值
好 那么这个题目有一个非常巧妙的解法
就是什么
因为X和Y是相互独立的正态分布
所以这个2X减cY
它也是服从正态分布的
某个参数的这个正态分布
好 那么对于一个正态分布的
随机变量而言
它的概率
它小于某个值的时候概率1/2
那么那个值就一定是它的期望
也就是说这个2X减cY
如果它小于1的这个概率是1/2的话
那也就是这个1
一定是这个随机变量的这个对称轴
就是它随机变量的期望
所以我们知道什么呢
这个2X减cY的这个期望 等于1
因为这个期望的线性性
所以这个2X减cY的期望
就等于2倍的X的期望
减去c倍的Y的期望
那我们知道X和Y的期望都是1
所以就得到了这个2减c等于1
就推出了什么 c等于1这样一个结论
那这个题目是巧妙的利用了这个
正态分布随机变量的这个对称性
以及它期望的性质
然后得到了这个解答
当然了因为这个2X减cY它是正态的
所以我们其实也可以解出
我们可以写出这个2X减cY
它的具体的这个分布式子
那么也就是说它的期望等于什么
等于2倍的E(X)减去c倍的E(Y)
等于2-c这是它的期望
那这个方差
2X减cY 因为XY是相互独立的
所以它的方差等于4倍的这个X的方差
加上c平方倍的这个Y的方差 等于什么
等于4加上c平方
好 那我们来确定
这个2X减cY小于1的概率
那么就等于什么
等于实际上把它做标准化
就等于这样的
这个2X减cY
减去什么 2减c
再除以这个根号4加c平方
小于这个概率 是1减去2减c
根号4加c平方
好 这个是等于1/2
当然因为恰好这是1/2
所以这个是它的标准正态分布
它就是小于0的时候
等于概率是1/2
所以这个式子
就是这个式子等于0的时候
它概率等于1/2
但如果这个不是1/2
这个值如果换一个别的值
换一个任意的其他的常数
那么我们就没有办法用这个对称性了
所以只能是通过这种方式
这种方式一般性的去求解
如果这个常数是一个α
如果我们把这1/2变成α
那这个我们就相当于什么
找这个α分位数
我们找这个α分位数
也就是让这个值 让这个值等于
标准正态分布的这个α分位数
然后我们就可以解出c的值
所以这个一般性的这个结论
只要我们知道了这个标准正态分布的
不同位置的这个分位数的值
那么也可以把这个c确定出来
但这个题目恰好
因为它是一个特殊值
1/2 特殊值
所以它利用这个正态分布的这个对称性
马上就知道了
这个1就应该是2X减cY的期望
马上我们就确定出了这个c=1
这样一个结果
好 所以这个题目我们有一般性的解法
那么也有针对
这个特殊的数值的它的概率意义
那么也能够往往有更简便 更直接的
得到计算结果的这样的办法
好 这个题目我们就讲到这儿
第三个题目是我们有一个离散分布
离散分布的分布率
也就是随机变量X
它有12345 这5个取值
那么对应的概率分别是
1/10 a b 1/5和1/20
然后我们已知
已知这个随机变量的期望是14/5
然后计算这个X>2的概率
实际上我们只要知道这个
随机变量X的分布列
那么这个相应的这个
不管是什么区域内的概率
我们都可以算出来
所以我们这个本质上是要确定
这个随机变量
这个分布列中a，b这两个参数
那么当然这里我们需要两个关系式
能够确定出这两个参数
那么实际上这里提供了一个
你看这个期望等于14/5
那这就是提供了一个随机变量X
所需要满足的这个关系式
另外一个 我们
那很自然我们就想到
这个所有分布列概率求和应该等于1
是不是 所以这也是一个关系式
好了 那我们分别利用这两个关系式
然后列出方程 就可以解出a和b
第一个 这个X的期望
X期望就是各个取值的加权平均
1乘以1/10 2乘以a
3乘以b 4乘以1/5 5乘以1/20
好 这样分别相乘出来
我们得到了这个整理
得到2a加3b等于33/20
第一个方程
第二个方程就是这个概率和
概率和等于1
那我们推出a加b等于13/20
好了 那我们求解一下
因为我们看X大于2的概率
X大于2我们只要算出
也就是b
X大于2的概率就是b加1/5加1/20
所以我们只要把这个什么 b求出来
好 把a约掉 a约掉解出b等于7/20
那么最后我们就算出来这个X
随机变量X大于2的概率
就是这这三项求和 等于3/5
好 所以这个也是一个很基本的离散分布
离散随机变量它的这个相关的概率计算
涉及到它的期望
以及它的这个分布列
这样最基本的形式
好 那这个题目我们就讲到这儿
第四个填空题是这样的
设X、Y是独立同分布的随机变量
那么它们服从的分布是
参数(3,p)的2项分布
那么参数是(3,p)的2项分布
这个随机变量的含义就是
成功概率是p的这个伯努利实验
独立的重复3次
它做这个成功的次数
当然这个可能是0，1，2，3，3种情况
3种可能性
不同的分布率就是二项分布
那我们要求什么
我们要求这个X加Y等于3条件下
X等于1的这个概率
那首先我们来计算这个X加Y的分布
对于这个相互独立的
而且这个参数
这个p相同的这个二项分布
它具有一个可加性
也就是如果X服从
(n1,p)为参数的二项分布
Y服从什么
(n2,p)为参数二项分布
那么这个X加Y
当X、Y独立的时候
X加Y服从于什么分布
服从(n1+n2,p)这样参数的二项分布
这就是所谓的什么 二项分布
相互独立的 而且这个参数p相同的
这个二项分布的这个可加性
那这二项分布的可加性这样也很好理解
因为什么 我们假设这样的事件
X1是出现的概率P=1
概率1-P=0
那实际上如果X123都服从这样的分布
那么X就等于什么
这个01 3个01随机变量
我们把这个改成XK 对不对
那么3个x1 x2 x3相加
3个0-1随机变量相加就是这个X
那么Y也是类似的 我们定义Y
Yk跟这个是同分布的 是不是
Yk也是0-1分布
那么这个Y等于y1+y2+y3
当然一直可以加到什么
一般性的问题而言
我们不一定是三项了 是不是
我们一直加到什么 Xn1
那这个Y我们就一直加到这个
Y的n2 是吧
那么这个X1到Xn1 Y1到Yn2
都是什么 相互独立的0-1随机变量
那么X加Y就等于
这个n1加n2个0-1随机变量相加
当然了它们也是相当于伯努利试验
以概率p成功的这样的伯努利试验
重复n1加n2次
所以这个二项分布的可加性
也是有很直观的这样的含义的
好了 那么具体我们来做这个条件概率
那么X加Y等于3条件下
X等于1的概率
那就是我们条件概率的这个计算公式
这个定义
它的条件的含义就是
以X加Y等于3 作为全集
它的概率作为分母
然后分子就是X等于1
X加Y等于3的概率
那么这个就等价于X等于1
X加Y等于3就等价于
X等于1 Y等于2
利用X、Y相互独立的性质
就得到了这个
X等于1 Y等于2同时发生的概率
等于X等于1的概率
乘以Y等于2的概率
然后我们分别代入X加Y
和X以及Y的这个分布率
那么就得到了这样的这个式子
然后经过化减 1-p约掉 p也约掉了
经过化减得到这样的式子
最后我们可以算出来
这个解答答案就是9/20
这个题目就是二项分布的
这样一个可加性的一个问题
当然这里面我们希望大家能够
更扎实的理解
这个二项分布它的概念
尤其是用0-1随机变量求和的观念
来理解二项分布
这样一种理解的方式
我想也是对二项分布更好的一种理解
好了 那么这个题目我们就讲到这儿
第五个填空是这样一个
正态随机变量构造的问题
也就是说通过正态随机变量
那么构造出一个新的分布
我们来考察它服从什么样的分布
具体而言是X1到Xn
是来自于以μ为期望
以σ方为方差的
这样的正态总体的一个样本
就是简单随机样本
也就是X1到Xn
独立同分布的都服从于什么
以μ期望以σ方为方差的正态分布
好 那么X一拔是样本均值
样本均值是n分之X1加一直加到Xn
这是这个样本均值
然后我们
引入一个S1方啊，等于什么
Xk减μ的平方 K等于1到n的求和除以n
然后我们来求什么
求X一拔减μ除以S1 除以根号n
这样一个构造出的新的随机变量
它的服从的分布
那这个S1方很像是什么
很像是这个S方的定义
这个S方的定义是什么
n减1分之一 k等于1到n
Xk减去X一拔的平方和
好 这是所谓的样本方差
这是一个统计量
所以统计量是什么
就是由样本构造出来的函数
这是统计量
由样本一定的运算得到的函数
那当然也定义了一个新的随机变量
它就是什么 叫做统计量
那么样本均值 样本方差都是统计量
统计量是可观测的
通过观测值可以得到的这样的量
但大家注意S1方它并不是一个统计量
它这里面包含的什么
包含着μ这样一个总体参数
它并不是可观测
μ是客观存在的
但是我们并不知道它是多少
我们也通过测量去近似得到这个μ
那么X1到Xk这是我们观测出来的
所以这是统计量
包含了总体参数的这个量
它就不是统计量了
所以S1方 大家注意
这是容易混淆的地方
这个题目的一个小的陷井
我们看看大家能不能区分出来
这个样本方差
和我们这样定义出来的这么一个量
我们就是不能够想当然
一定要从什么
这个随机变量的构造本身
来推导它的性质
好 那现在我们来看一看这个
我们就是首先看S1方的这个分布
X1方 Xk因为是什么
Xk是服从这个以μ为期望
以σ方为方差的这样的正态分布
所以这个Xk就可以通过这样的标准化
Xk减μ除以σ就等于什么
标准正态分布
这个什么 这样来写
这个k等于1到n
这个XK减μ除以σ的平方
它又构成了一个什么
构成了一个n个自由度的卡方分布
因为它是n个标准正态分布
而且是相互独立的
标准正态分布的这样的一个平方的求和
但是这个S1方它不是这样的
S1方它等于什么
它等于这个n分之这个的求和
我们把这个σ给它补上
σ约掉了 所以这个S1方是这个
所以这个S1方它除掉
它除去这一部分 得到的是什么
就是n个自由度的卡方分布
所以这个S1方它除以
S1方除以什么
n分之σ方
它这个是服从n个自由度的卡方分布
所以就是这个式子
n S1方除以σ方是服从什么
n个自由度的卡方分布
好 这个分子的S1 我们就
这个分布就讨论清楚了
下面看这个什么 就是S1相关的分布
就是这个是S1相关的分布
n和σ方面都是这个常数
好 那么我们看分子
X一拔相关的这个分布
那么我们知道这个X一拔样本均值
X一拔样本均值服从什么
服从以μ为期望
以n分之σ方为方差的正态分布
所以这个X一拔减σ标准化
X一拔减μ除以σ 除以根号n
就得到了标准正态分布
好 我们知道这一个
标准正态分布除以什么
除以 这个是n个自由度的这个卡方分布
再除以它的自由度 开方
就构造出了一个什么
n个自由度的T分布
好 那么这个该约的互相都约掉
这个式子化简出来就是这个式子
就是X一拔减μ 除以S1 再除以根号n
所以这个分布是一个
它是n个自由度的t分布
好 这儿漏了一个平方
好 所以这个题目它就是一个
就是标准正态分布的一个构造
这样的一个问题
那我们知道
这个正态总体是最常见的
所以很多这个常用统计量
是通过正态总体构造出来的
比如说卡方 t分布 F分布
就是这个最常用的
用正态随机变量构造出来的这个分布
那这个
我们这个问题也是这样的一个构造
但这个构造一定要注意
这个S1方这样一个
它是有一点点小的陷井 是吧
我们要把它表示成
我们要它实际服从什么分布
我们就做这样的分析
-随机试验与随机事件
-古典概型
--1.2 古典概型
--第一周：古典概型
-事件间的关系与事件的运算
--第一周：事件间的关系与事件的运算
-两个著名的例子
--第一周：两个著名的例子
-讲义
-条件概率
--2.1 条件概率
--第二周：条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
--第二周：有关条件概率的三个重要计算公式
-事件的独立性
--第二周：事件的独立性
-应用实例
--2.4 应用实例
--第二周：应用实例
-网球比赛胜率的计算
--Video
-讲义
-随机变量及分布函数
--第三周：随机变量及分布函数
-离散型与连续型随机变量
--第三周：离散型与连续型随机变量
-分布函数的性质与特殊的例子
--第三周：分布函数的性质与特殊的例子
-概率论所需微积分要点回顾
--第三周：概率论所需微积分要点回顾
-讲义
-二项分布与负二项分布
--第四周：二项分布与负二项分布
-泊松分布
--4.2 泊松分布
--第四周：泊松分布
-几何分布与指数分布
--第四周：几何分布与指数分布
-正态分布
--4.4 正态分布
--第四周：正态分布
-讲义
-随机变量函数的分布
--第五周：随机变量函数的分布
-随机变量的数学期望
--第五周：随机变量的数学期望
-随机变量的方差
--第五周：随机变量的方差
-原点矩与中心矩
--第五周：原点矩与中心矩
-期望和方差的一些补充性质
--第五周：期望和方差的一些补充性质
-讲义
-二项分布与泊松分布的期望与方差
--第六周：二项分布与泊松分布的期望与方差
-几何分布的期望与方差
--第六周：几何分布的期望与方差
-均匀、指数和正态分布的期望与方差
--第六周：均匀、指数和正态分布的期望与方差
-随机变量数学期望的应用实例
--第六周：随机变量数学期望的应用实例
-快速排序算法的平均计算量分析
--Video
-讲义
-多维随机变量
-第七周：多维随机变量
-常见多维随机变量举例
--第七周：常见多维随机变量举例
-随机变量的独立性
--第七周：随机变量的独立性
-独立随机变量期望和方差的性质
--第七周：独立随机变量期望和方差的性质
-讲义
-条件分布
--8.1条件分布
--第八周：条件分布
-条件期望
--8.2 条件期望
--第八周：条件期望
-全期望公式（上）
--第八周：全期望公式（上）
-全期望公式（下）
--第八周：全期望公式（下）
-讲义
-随机变量函数的期望
--第九周：随机变量函数的期望
-协方差
--9.2 协方差
--第九周：协方差
-相关系数
-- 9.3 相关系数
--第九周：相关系数
-相关与独立
--第九周：相关与独立
-讲义
-独立随机变量和的分布
--第十周：独立随机变量和的分布
-独立正态分布和的分布
--第十周：独立正态分布和的分布
-最大值、最小值分布
--第十周：最大值、最小值分布
-顺序统计量
--第十周：顺序统计量
-讲义
-正态分布的相关与独立
--第十一周：正态分布的相关与独立
-边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
--第十一周：边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
-二项分布的正态近似
--第十一周：二项分布的正态近似
-正态近似计算实例
--第十一周：正态近似计算实例
-讲义
-大数定律
--12.1大数定律
--第十二周：大数定律
-中心极限定理
--第十二周：中心极限定理
-蒙特卡洛（Monte Carlo）算法
-伪随机数和随机模拟
-讲义
-统计学实例
-总体与样本
-常用统计量
--第十三周：常用统计量
-三种重要的统计分布和分位数
--第十三周：三种重要的统计分布和分位数
-讲义
-参数的矩估计
--第十四周：参数的矩估计
-参数的极大似然估计
--第十四周：参数的极大似然估计
-参数点估计的无偏性和有效性
--第十四周：参数点估计的无偏性和有效性
-参数点估计应用实例
--第十四周：参数点估计应用实例
-讲义
-区间估计的基本思想
--第十五周：区间估计的基本思想
-区间估计的构造方法
--第十五周：区间估计的构造方法
-两个正态总体的区间估计
--第十五周：两个正态总体的区间估计
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--第十五周：大样本置信区间
-讲义
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--第十六周：假设检验问题的提示和标准步骤
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--第十六周：假设检验问题的两类错误和P值
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--第十六周：单个正态总体参数的假设检验
-拟合优度检验
--第十六周：拟合优度检验
-讲义
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-利用期望的计算性质分析快速排序算法的平均计算量
-讲义
-事件
--事件
-分布函数
--分布函数
-正态
--正态
-指数与二项
--指数与二项
-随机变量函数的分布
-指数分布期望
--指数分布期望
-切比雪夫不等式
--切比雪夫
-二元离散
--二元离散
-协方差
--协方差
-二元特征
--二元特征
-统计量
--统计量
-无偏估计
--无偏估计
-点估计
--点估计
-假设检验
--假设检验
-选择
--选择
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-大题
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