当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第十周 独立随机变量和的分布与顺序统计量 > 独立随机变量和的分布 > 10.1. 独立随机变量和的分布
回顾一下 第7周第3讲的最后
我们曾经介绍过泊松分布
和二项分布的可加性
随机变量X1 X2 直到Xm
分别服从参数为lamda1 lamda2
直至lamda m的泊松分布
且相互独立
则X1加X2一直加到Xm
服从参数为lamda1加lamda2
一直加到lamda m的泊松分布
若X1 X2 直到Xm
分别服从参数为n1, p，n2，p,等等
直到nm，p的二项分布
且相互独立
则X1加X2一直加到Xm
服从参数为n1加n2
一直加到nm和p的二项分布
本节我们更一般地考虑
独立随机变量和的分布
并引入卷积公式
下一周课我们要介绍
大数定律和中心极限定理等
概率论的极限理论
在极限理论的研究中
经常需要考虑独立随机变量和的分布问题
本节中
我们主要讨论
两个独立随机变量的和的分布问题
假设X和Y均为离散型随机变量
且相互独立
X,Y的分布列已知
则Z=X+Y仍然为离散型随机变量
其值域为X，Y值域内的点xi和yj求和
所有可能的结果构成的集合
对Z的值域内的任意点zk
Z等于zk的概率等于
X加Y等于zk的概率
等于xi取遍X所有可能的取值
X等于xi和Y等于
zk减去xi的联合概率的求和
因为X Y相互独立
所以联合概率可以展开
就等于X等于xi的概率
乘以Y等于zk减去xi的概率
对X所有可能的取值xi求和
其中可能存在Y等于zk
减去xi的概率为0的情况
求和时一定要仔细处理
也可以交换X和Y的位置
得到Z等于zk的概率
等于X等于zk减yj的概率
乘以Y等于yj的概率
对Y所有可能的取值yj求和
看一个独立的离散型随机变量求和的例子
两位射手各向自己的靶子独立射击
直到自己第一次命中时
停止射击
假设两位射手每次命中概率
分别为p1和p2
求两射手均停止射击时
他们脱靶总数
也就是未命中的总数的分布
记X1和X2分别为
两位射手首次命中
自己的靶子时射击的次数
则X1和X2均服从几何分布
几何分布的参数分别为p1和p2
而且，X1和X2相互独立
记X为两射手都停止射击时
他们脱靶的次数
则第一人脱靶次数为X1减1
第二人脱靶次数为X2减1
他们脱靶的总数等于
X1加X2减2
所以对全体非负整数n
X等于n的概率
就等于X1加X2
等于n加2的概率
X1可能的取值为1到n+1
所以X1加X2
等于n加2的概率等于
k从1取到n+1
对X1等于k
X2等于n加2减k的联合概率求和
因为X1,Y2独立
所以每个联合概率
可以拆开为X1等于k的概率
乘以X2等于n加2减k的概率
等于q1的k-1次方乘以p1
再乘以q2的n加1减k次方乘以p2
其中q1等于1减去p1
q2等于1减去p2
提出p1,p2和q2的n次方
剩下一个公比为q2分之q1的
等比数列的求和
得到 当p1不等于p2时
X等于n的概率
等于p1减p2分之p1乘p2
乘以1减去p2的n+1次方
减去1减去p1的n+1次方
当p1等于p2时
X等于n的概率等于
n+1乘以p1平方乘以1-p1的n次方
连续情形的独立随机变量求和的概率计算
在实际中应用更为广泛
一般我们称之为
独立随机变量和的卷积公式
设X，Y为相互独立的随机变量
它们的密度函数分别为fX(x)和fY(y)
则Z等于X加Y仍为连续型随机变量
其概率密度函数等于fX(x)乘以fY(z-x)
从负无穷到正无穷对x积分
或者等于fX(z-y)乘以fY(y)
从负无穷到正无穷对y积分
这两种形式
对x和y是对称的
这一公式的证明需要二重积分
这里略去
本课程中我们就不加证明地使用这一公式
这里我们给出一个
利用卷积公式计算概率密度的例子
设随机变量X1，X2直到Xn独立同分布
且每一个Xk
服从参数为lamda的指数分布
记Sn等于X1到Xn的求和
求Sn的概率分布
先考虑两个随机变量的情况
计算S2等于X1加X2的分布
当z小于0时
S2的密度函数在z点的取值为0
当z大于等于0时
利用卷积公式
S2的密度函数
在z点的取值为fX1(x)
乘以fX2（z-x）
从负无穷到正无穷对x积分
代入指数分布的密度函数
等于lamda乘以
e的负lamda x次幂
乘以lamda
乘以e的负lamda乘(z减x)次幂
从0到z对x积分
被积函数与x无关
积分等于lamda平方
乘以z乘以e的负lamda z次幂
再计算S3等于S2加X3的分布
当z小于0时
S3的密度函数在z点的取值为0
当z大于等于0时
对S2和X3再使用卷积公式
得到S3的密度函数
在z点的取值为1/2
乘以lamda立方
乘以z平方
乘以e的负lamda z次幂
最后 可以归纳证明
Sn的概率密度函数
在z小于0是为0
在z大于等于0时
等于（n-1）的阶乘分之lamda的n方
乘以z的n-1次方
乘以e的负lamda z次幂
直接用卷积公式
来计算多个独立随机变量的和的分布
往往是非常繁琐的
数学家引入了
矩母函数和特征函数等工具
简化计算
而理解和应用这些工具
还需要多元积分
复变函数等更多的数学知识
-随机试验与随机事件
-古典概型
--1.2 古典概型
--第一周：古典概型
-事件间的关系与事件的运算
--第一周：事件间的关系与事件的运算
-两个著名的例子
--第一周：两个著名的例子
-讲义
-条件概率
--2.1 条件概率
--第二周：条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
--第二周：有关条件概率的三个重要计算公式
-事件的独立性
--第二周：事件的独立性
-应用实例
--2.4 应用实例
--第二周：应用实例
-网球比赛胜率的计算
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-讲义
-随机变量及分布函数
--第三周：随机变量及分布函数
-离散型与连续型随机变量
--第三周：离散型与连续型随机变量
-分布函数的性质与特殊的例子
--第三周：分布函数的性质与特殊的例子
-概率论所需微积分要点回顾
--第三周：概率论所需微积分要点回顾
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-二项分布与负二项分布
--第四周：二项分布与负二项分布
-泊松分布
--4.2 泊松分布
--第四周：泊松分布
-几何分布与指数分布
--第四周：几何分布与指数分布
-正态分布
--4.4 正态分布
--第四周：正态分布
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-随机变量函数的分布
--第五周：随机变量函数的分布
-随机变量的数学期望
--第五周：随机变量的数学期望
-随机变量的方差
--第五周：随机变量的方差
-原点矩与中心矩
--第五周：原点矩与中心矩
-期望和方差的一些补充性质
--第五周：期望和方差的一些补充性质
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-二项分布与泊松分布的期望与方差
--第六周：二项分布与泊松分布的期望与方差
-几何分布的期望与方差
--第六周：几何分布的期望与方差
-均匀、指数和正态分布的期望与方差
--第六周：均匀、指数和正态分布的期望与方差
-随机变量数学期望的应用实例
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-快速排序算法的平均计算量分析
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-多维随机变量
-第七周：多维随机变量
-常见多维随机变量举例
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--第七周：随机变量的独立性
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--8.1条件分布
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--9.2 协方差
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-- 9.3 相关系数
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--第十一周：边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
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