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8.4 全期望公式(下)

下一节:讲义

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8.4 全期望公式(下)课程教案、知识点、字幕

继续考虑本周第2节课见过的

一个密度函数为阶梯形的随机变量

我们设定事件A为X落入区间[0,1]

事件B为X落入区间[1,2]

根据事件A,B

利用全期望公式

计算随机变量X的期望和方差

先计算事件A,B发生的概率

事件A的概率为密度函数

在0,1区间的积分等于3分之2

事件B的概率计算得

等于3分之1

然后计算事件A条件下

随机变量X的条件密度函数

得到当x大于0小于1时

条件密度函数等于1

其他情况下条件密度函数等于0

事件B条件下随机变量X的条件密度函数

当x大于1小于2时为1

其他时候等于0

计算事件A条件下

随机变量X的条件期望

等于x乘以条件密度函数

在0,1区间的积分 等于2分之1

事件B条件下

随机变量X的条件期望

等于x乘以条件密度函数

在1,2区间的积分 等于2分之3

同理 可计算事件A条件下

随机变量X方的条件期望

等于x方乘以条件密度函数

在0,1区间的积分 等于3分之1

事件B条件下

随机变量X方的条件期望

等于x平方乘以条件密度函数

在1,2区间的积分 等于3分之7

利用全期望公式计算X的期望

将X的期望分情况展开

等于事件A的发生概率

乘以事件A条件下X的条件期望

加上事件B的发生概率

乘以事件B条件下X的条件期望

等于6分之7

将X平方的期望分情况展开

等于事件A的发生概率

乘以事件A条件下X方的条件期望

加上事件B的发生概率

乘以事件B条件下X方的条件期望

等于3分之5

X的方差等于X平方的期望

减去X期望的平方

等于36分之11

再看一个连续型随机变量的例子

设(X,Y)为参数为0,0

sigma1方,sigma2方和pho的

二元正态分布随机变量

证明XY的期望等于

pho乘以sigma1乘以sigma2

利用全期望公式

XY的期望等于

X条件下XY的期望的期望

因为X是条件

所以XY中的X可以提出

等于X乘以X条件下

Y的期望的期望

下面计算X条件下Y的期望

首先计算X=x条件下

Y的密度函数

代入条件密度函数的计算公式

等于X的边缘密度函数fX(x)

分之联合密度函数f(x,y)

X的边缘分布是期望为0

方差为sigma1平方的正态分布

所以条件密度函数

等于这一用密度函数展开的算式

化简得到函数式

这一函数式为期望等于pho

乘以sigma1分之sigma2乘以x

方差等于sigma2平方乘以(1-pho方)的

正态分布随机变量的密度函数式

所以X=x条件下

Y的期望等于pho乘以

sigma1分之sigma2乘以x

X条件下Y的期望等于

pho乘以sigma1分之sigma2

乘以随机变量X

代入到全期望公式

XY的期望等于X乘以

X条件下Y的期望的期望

等于pho乘以sigma1分之sigma2

乘以X平方的期望

等于pho乘以sigma1分之sigma2

乘以sigma1的平方

等于pho sigma1 sigma2

最后看一个随机多个

独立随机变量和的期望的计算例子

假设某医生

每天门诊挂号的病人数为大N个

是随机的

服从参数为a的泊松分布随机变量

又假设每位病人门诊看病的时间

也为随机的

均服从参数为b的指数分布随机变量

且相互独立

这名医生总的门诊看病时间记为T

求随机变量T的期望和方差

设N位病人的看病时间

分别为随机变量X1,X2,直到XN

每一个Xk均服从参数为b的指数分布

且相互独立

总的门诊看病时间T

等于X1,X2,直到XN的求和

利用全期望公式T的期望

等于N条件下T的期望的期望

将T展开成X1,X2,到XN的求和

进而按照N的全部取值

再展开为大N等于小n的概率

乘以大N等于小n条件下X1,X2

到XN求和的条件期望

小n从1到无穷求和

等于N等于n的概率乘以X1,X2

到X小n求和的期望

小n从1到无穷求和

因为所有Xk均服从相同分布

所以X1,X2,到Xn求和的期望

可表示为n倍的X1的期望

将X1的期望提出

求和号内剩下n乘以N等于n的概率

求和就等于随机变量N的期望

所以得到T的期望等于X1的期望

乘以N的期望

下面计算T的方差

首先计算T平方的期望

仍然用全期望公式

T方的期望等于N条件下

T方的期望的期望

等于大N等于小n的概率

乘以大N等于小n条件下X1,X2

到XN求和的平方的条件期望

小n从1到无穷求和

就等于大N等于小n的概率

乘以X1,X2

到X小n求和的平方的期望

小n从1到无穷求和

将X1,X2,到Xn求和的平方

展开为X1方加到Xn方的求和

加上对所有1到n中间

不相等的i和j共n乘(n-1)个

Xi,Xj乘积的求和

因为所有Xk服从相同分布

所以X1方到Xn方求和的期望

就等于n倍的X1方的期望

且不同的Xi和Xj相互独立

Xi,Xj乘积的期望

就等于Xi的期望乘以Xj的期望

等于X1期望的平方

所以所有i,j不相等的

Xi、Xj乘积求和的期望

等于n乘(n-1)倍的X1期望的平方

求和号内公式进一步整理

得N=n的概率

乘以n倍的X1方的期望

减去n倍的X1期望的平方

再加上n方乘以X1期望的平方

将X1方的期望减去X1期望的平方提出

得到X1方的期望减去X1期望的平方

乘以n乘以N=n的概率

n从1到无穷求和

剩下的部分提出X1期望的平方

等于X1期望的平方

乘以n方乘以N=n的概率

n从1到无穷求和

所以T方的期望等于X1的方差

乘以N的期望加上X1期望的平方

乘以N方的期望

因为N服从参数为a的泊松分布

X1服从参数为b的指数分布

所以N的期望、方差均为a

N方的期望为a方加a

X1的期望为b分之1

X1的方差为b方分之1

代入这些值

得到T的期望为b分之a

方差为b方分之2a

概率论与数理统计课程列表:

第一周:随机事件及其概率运算

-随机试验与随机事件

--1.1 随机试验与随机事件

-古典概型

--1.2 古典概型

--第一周:古典概型

-事件间的关系与事件的运算

--1.3 事件间的关系与事件的运算

--第一周:事件间的关系与事件的运算

-两个著名的例子

--1.4 两个著名的例子

--第一周:两个著名的例子

-讲义

第二周:条件概率和独立性

-条件概率

--2.1 条件概率

--第二周:条件概率

-有关条件概率的三个重要计算公式

--2.2 条件概率的三个重要计算公式

--第二周:有关条件概率的三个重要计算公式

-事件的独立性

--2.3 事件的独立性

--第二周:事件的独立性

-应用实例

--2.4 应用实例

--第二周:应用实例

-网球比赛胜率的计算

--Video

-讲义

第三周:随机变量

-随机变量及分布函数

--3.1.随机变量及分布函数

--第三周:随机变量及分布函数

-离散型与连续型随机变量

--3.2 离散型随机变量

--第三周:离散型与连续型随机变量

-分布函数的性质与特殊的例子

--3.3 分布函数的性质与特殊的例子

--第三周:分布函数的性质与特殊的例子

-概率论所需微积分要点回顾

--3.4 概率论所需微积分要点回顾

--第三周:概率论所需微积分要点回顾

-讲义

第四周:常见随机变量

-二项分布与负二项分布

--4.1 二项分布与负二项分布

--第四周:二项分布与负二项分布

-泊松分布

--4.2 泊松分布

--第四周:泊松分布

-几何分布与指数分布

--4.3 几何分布与指数分布

--第四周:几何分布与指数分布

-正态分布

--4.4 正态分布

--第四周:正态分布

-讲义

第五周:随机变量函数的分布及随机变量的数字特征

-随机变量函数的分布

--5.1 随机变量函数的分布

--第五周:随机变量函数的分布

-随机变量的数学期望

--5.2 随机变量的数学期望

--第五周:随机变量的数学期望

-随机变量的方差

--5.3 随机变量的方差

--第五周:随机变量的方差

-原点矩与中心矩

--5.4 原点矩与中心矩

--第五周:原点矩与中心矩

-期望和方差的一些补充性质

--5.5 期望和方差的一些补充性质

--第五周:期望和方差的一些补充性质

-讲义

第六周:常见随机变量的期望方差和应用实例

-二项分布与泊松分布的期望与方差

--6.1二项分布与泊松分布的期望与方差

--第六周:二项分布与泊松分布的期望与方差

-几何分布的期望与方差

--6.2 几何分布的期望与方差

--第六周:几何分布的期望与方差

-均匀、指数和正态分布的期望与方差

--6.3 均匀、指数和正态分布的期望与方差

--第六周:均匀、指数和正态分布的期望与方差

-随机变量数学期望的应用实例

--6.4 随机变量数学期望的应用实例

--第六周:随机变量数学期望的应用实例

-快速排序算法的平均计算量分析

--Video

-讲义

第七周:多维随机变量,独立性

-多维随机变量

--7.1. 多维随机变量

-第七周:多维随机变量

-常见多维随机变量举例

--7.2. 常见多维随机变量举例

--第七周:常见多维随机变量举例

-随机变量的独立性

--7.3 随机变量的独立性

--第七周:随机变量的独立性

-独立随机变量期望和方差的性质

--7.4 独立随机变量期望和方差的性质

--第七周:独立随机变量期望和方差的性质

-讲义

第八周:条件分布与条件期望

-条件分布

--8.1条件分布

--第八周:条件分布

-条件期望

--8.2 条件期望

--第八周:条件期望

-全期望公式(上)

--8.3 全期望公式(上)

--第八周:全期望公式(上)

-全期望公式(下)

--8.4 全期望公式(下)

--第八周:全期望公式(下)

-讲义

第九周 协方差与相关系数

-随机变量函数的期望

--9.1. 随机变量函数的期望

--第九周:随机变量函数的期望

-协方差

--9.2 协方差

--第九周:协方差

-相关系数

-- 9.3 相关系数

--第九周:相关系数

-相关与独立

--9.4 相关与独立

--第九周:相关与独立

-讲义

第十周 独立随机变量和的分布与顺序统计量

-独立随机变量和的分布

--10.1. 独立随机变量和的分布

--第十周:独立随机变量和的分布

-独立正态分布和的分布

--10.2 独立正态分布和的分布

--第十周:独立正态分布和的分布

-最大值、最小值分布

--10.3 最大值、最小值分布

--第十周:最大值、最小值分布

-顺序统计量

--10.4 顺序统计量

--第十周:顺序统计量

-讲义

第十一周 正态分布专题

-正态分布的相关与独立

--11.1 正态分布的相关与独立

--第十一周:正态分布的相关与独立

-边缘密度均为正态,联合分布不是二元正态的例子

--11.2 边缘密度均为正态,联合分布不是二元正态的例子

--第十一周:边缘密度均为正态,联合分布不是二元正态的例子

-二项分布的正态近似

--11.3 二项分布的正态近似

--第十一周:二项分布的正态近似

-正态近似计算实例

--11.4 正态近似计算实例

--第十一周:正态近似计算实例

-讲义

第十二周 大数定律和中心极限定理

-大数定律

--12.1大数定律

--第十二周:大数定律

-中心极限定理

--12.2 中心极限定理

--第十二周:中心极限定理

-蒙特卡洛(Monte Carlo)算法

--12.3 蒙特卡洛(Monte Carlo)算法

-伪随机数和随机模拟

--12.4 伪随机数和随机模拟

-讲义

第十三周 统计学基本概念

-统计学实例

--13.1 统计学实例

-总体与样本

--13.2.总体与样本

-常用统计量

--13.3 常用统计量

--第十三周:常用统计量

-三种重要的统计分布和分位数

--13.4 三种重要的统计分布和分位数

--第十三周:三种重要的统计分布和分位数

-讲义

第十四周 参数点估计

-参数的矩估计

--14.1参数的矩估计法

--第十四周:参数的矩估计

-参数的极大似然估计

--14.2参数的极大似然估计法

--第十四周:参数的极大似然估计

-参数点估计的无偏性和有效性

--14.3 参数点估计的无偏性和有效性

--第十四周:参数点估计的无偏性和有效性

-参数点估计应用实例

--14.4 参数点估计应用实例

--第十四周:参数点估计应用实例

-讲义

第十五周 参数的区间估计

-区间估计的基本思想

--15.1 区间估计的基本思想

--第十五周:区间估计的基本思想

-区间估计的构造方法

--15.2 区间估计的构造方法

--第十五周:区间估计的构造方法

-两个正态总体的区间估计

--15.3 两个正态总体的区间估计

--第十五周:两个正态总体的区间估计

-大样本置信区间

--15.4 大样本置信区间

--第十五周:大样本置信区间

-讲义

第十六周 假设检验

-假设检验问题的提示和标准步骤

--16.1假设检验问题的提示和标准步骤

--第十六周:假设检验问题的提示和标准步骤

-假设检验问题的两类错误和P值

--16.2假设检验问题的两类错误和P值

--第十六周:假设检验问题的两类错误和P值

-单个正态总体参数的假设检验

--16.3 单个正态总体参数的假设检验

--第十六周:单个正态总体参数的假设检验

-拟合优度检验

--16.4拟合优度检验

--第十六周:拟合优度检验

-讲义

应用实例

-利用条件概率计算网球比赛胜率

--利用条件概率计算网球比赛胜率

-利用期望的计算性质分析快速排序算法的平均计算量

--利用期望的计算性质分析快速排序算法的平均计算量

-讲义

习题课一

-事件

--事件

-分布函数

--分布函数

-正态

--正态

-指数与二项

--指数与二项

习题课二

-随机变量函数的分布

--随机变量函数的分布

-指数分布期望

--指数分布期望

-切比雪夫不等式

--切比雪夫

-二元离散

--二元离散

-协方差

--协方差

-二元特征

--二元特征

习题课三

-统计量

--统计量

-无偏估计

--无偏估计

-点估计

--点估计

-假设检验

--假设检验

习题课四

-选择

--选择

-填空

--填空

-大题

--大题

8.4 全期望公式(下)笔记与讨论

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