当前课程知识点:概率论与数理统计 > 第八周:条件分布与条件期望 > 全期望公式(下) > 8.4 全期望公式(下)
继续考虑本周第2节课见过的
一个密度函数为阶梯形的随机变量
我们设定事件A为X落入区间[0,1]
事件B为X落入区间[1,2]
根据事件A,B
利用全期望公式
计算随机变量X的期望和方差
先计算事件A,B发生的概率
事件A的概率为密度函数
在0,1区间的积分等于3分之2
事件B的概率计算得
等于3分之1
然后计算事件A条件下
随机变量X的条件密度函数
得到当x大于0小于1时
条件密度函数等于1
其他情况下条件密度函数等于0
事件B条件下随机变量X的条件密度函数
当x大于1小于2时为1
其他时候等于0
计算事件A条件下
随机变量X的条件期望
等于x乘以条件密度函数
在0,1区间的积分 等于2分之1
事件B条件下
随机变量X的条件期望
等于x乘以条件密度函数
在1,2区间的积分 等于2分之3
同理 可计算事件A条件下
随机变量X方的条件期望
等于x方乘以条件密度函数
在0,1区间的积分 等于3分之1
事件B条件下
随机变量X方的条件期望
等于x平方乘以条件密度函数
在1,2区间的积分 等于3分之7
利用全期望公式计算X的期望
将X的期望分情况展开
等于事件A的发生概率
乘以事件A条件下X的条件期望
加上事件B的发生概率
乘以事件B条件下X的条件期望
等于6分之7
将X平方的期望分情况展开
等于事件A的发生概率
乘以事件A条件下X方的条件期望
加上事件B的发生概率
乘以事件B条件下X方的条件期望
等于3分之5
X的方差等于X平方的期望
减去X期望的平方
等于36分之11
再看一个连续型随机变量的例子
设(X,Y)为参数为0,0
sigma1方,sigma2方和pho的
二元正态分布随机变量
证明XY的期望等于
pho乘以sigma1乘以sigma2
利用全期望公式
XY的期望等于
X条件下XY的期望的期望
因为X是条件
所以XY中的X可以提出
等于X乘以X条件下
Y的期望的期望
下面计算X条件下Y的期望
首先计算X=x条件下
Y的密度函数
代入条件密度函数的计算公式
等于X的边缘密度函数fX(x)
分之联合密度函数f(x,y)
X的边缘分布是期望为0
方差为sigma1平方的正态分布
所以条件密度函数
等于这一用密度函数展开的算式
化简得到函数式
这一函数式为期望等于pho
乘以sigma1分之sigma2乘以x
方差等于sigma2平方乘以(1-pho方)的
正态分布随机变量的密度函数式
所以X=x条件下
Y的期望等于pho乘以
sigma1分之sigma2乘以x
X条件下Y的期望等于
pho乘以sigma1分之sigma2
乘以随机变量X
代入到全期望公式
XY的期望等于X乘以
X条件下Y的期望的期望
等于pho乘以sigma1分之sigma2
乘以X平方的期望
等于pho乘以sigma1分之sigma2
乘以sigma1的平方
等于pho sigma1 sigma2
最后看一个随机多个
独立随机变量和的期望的计算例子
假设某医生
每天门诊挂号的病人数为大N个
是随机的
服从参数为a的泊松分布随机变量
又假设每位病人门诊看病的时间
也为随机的
均服从参数为b的指数分布随机变量
且相互独立
这名医生总的门诊看病时间记为T
求随机变量T的期望和方差
设N位病人的看病时间
分别为随机变量X1,X2,直到XN
每一个Xk均服从参数为b的指数分布
且相互独立
总的门诊看病时间T
等于X1,X2,直到XN的求和
利用全期望公式T的期望
等于N条件下T的期望的期望
将T展开成X1,X2,到XN的求和
进而按照N的全部取值
再展开为大N等于小n的概率
乘以大N等于小n条件下X1,X2
到XN求和的条件期望
小n从1到无穷求和
等于N等于n的概率乘以X1,X2
到X小n求和的期望
小n从1到无穷求和
因为所有Xk均服从相同分布
所以X1,X2,到Xn求和的期望
可表示为n倍的X1的期望
将X1的期望提出
求和号内剩下n乘以N等于n的概率
求和就等于随机变量N的期望
所以得到T的期望等于X1的期望
乘以N的期望
下面计算T的方差
首先计算T平方的期望
仍然用全期望公式
T方的期望等于N条件下
T方的期望的期望
等于大N等于小n的概率
乘以大N等于小n条件下X1,X2
到XN求和的平方的条件期望
小n从1到无穷求和
就等于大N等于小n的概率
乘以X1,X2
到X小n求和的平方的期望
小n从1到无穷求和
将X1,X2,到Xn求和的平方
展开为X1方加到Xn方的求和
加上对所有1到n中间
不相等的i和j共n乘(n-1)个
Xi,Xj乘积的求和
因为所有Xk服从相同分布
所以X1方到Xn方求和的期望
就等于n倍的X1方的期望
且不同的Xi和Xj相互独立
Xi,Xj乘积的期望
就等于Xi的期望乘以Xj的期望
等于X1期望的平方
所以所有i,j不相等的
Xi、Xj乘积求和的期望
等于n乘(n-1)倍的X1期望的平方
求和号内公式进一步整理
得N=n的概率
乘以n倍的X1方的期望
减去n倍的X1期望的平方
再加上n方乘以X1期望的平方
将X1方的期望减去X1期望的平方提出
得到X1方的期望减去X1期望的平方
乘以n乘以N=n的概率
n从1到无穷求和
剩下的部分提出X1期望的平方
等于X1期望的平方
乘以n方乘以N=n的概率
n从1到无穷求和
所以T方的期望等于X1的方差
乘以N的期望加上X1期望的平方
乘以N方的期望
因为N服从参数为a的泊松分布
X1服从参数为b的指数分布
所以N的期望、方差均为a
N方的期望为a方加a
X1的期望为b分之1
X1的方差为b方分之1
代入这些值
得到T的期望为b分之a
方差为b方分之2a
-随机试验与随机事件
-古典概型
--1.2 古典概型
--第一周:古典概型
-事件间的关系与事件的运算
--第一周:事件间的关系与事件的运算
-两个著名的例子
--第一周:两个著名的例子
-讲义
-条件概率
--2.1 条件概率
--第二周:条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
--第二周:有关条件概率的三个重要计算公式
-事件的独立性
--第二周:事件的独立性
-应用实例
--2.4 应用实例
--第二周:应用实例
-网球比赛胜率的计算
--Video
-讲义
-随机变量及分布函数
--第三周:随机变量及分布函数
-离散型与连续型随机变量
--第三周:离散型与连续型随机变量
-分布函数的性质与特殊的例子
--第三周:分布函数的性质与特殊的例子
-概率论所需微积分要点回顾
--第三周:概率论所需微积分要点回顾
-讲义
-二项分布与负二项分布
--第四周:二项分布与负二项分布
-泊松分布
--4.2 泊松分布
--第四周:泊松分布
-几何分布与指数分布
--第四周:几何分布与指数分布
-正态分布
--4.4 正态分布
--第四周:正态分布
-讲义
-随机变量函数的分布
--第五周:随机变量函数的分布
-随机变量的数学期望
--第五周:随机变量的数学期望
-随机变量的方差
--第五周:随机变量的方差
-原点矩与中心矩
--第五周:原点矩与中心矩
-期望和方差的一些补充性质
--第五周:期望和方差的一些补充性质
-讲义
-二项分布与泊松分布的期望与方差
--第六周:二项分布与泊松分布的期望与方差
-几何分布的期望与方差
--第六周:几何分布的期望与方差
-均匀、指数和正态分布的期望与方差
--第六周:均匀、指数和正态分布的期望与方差
-随机变量数学期望的应用实例
--第六周:随机变量数学期望的应用实例
-快速排序算法的平均计算量分析
--Video
-讲义
-多维随机变量
-第七周:多维随机变量
-常见多维随机变量举例
--第七周:常见多维随机变量举例
-随机变量的独立性
--第七周:随机变量的独立性
-独立随机变量期望和方差的性质
--第七周:独立随机变量期望和方差的性质
-讲义
-条件分布
--8.1条件分布
--第八周:条件分布
-条件期望
--8.2 条件期望
--第八周:条件期望
-全期望公式(上)
--第八周:全期望公式(上)
-全期望公式(下)
--第八周:全期望公式(下)
-讲义
-随机变量函数的期望
--第九周:随机变量函数的期望
-协方差
--9.2 协方差
--第九周:协方差
-相关系数
-- 9.3 相关系数
--第九周:相关系数
-相关与独立
--第九周:相关与独立
-讲义
-独立随机变量和的分布
--第十周:独立随机变量和的分布
-独立正态分布和的分布
--第十周:独立正态分布和的分布
-最大值、最小值分布
--第十周:最大值、最小值分布
-顺序统计量
--第十周:顺序统计量
-讲义
-正态分布的相关与独立
--第十一周:正态分布的相关与独立
-边缘密度均为正态,联合分布不是二元正态的例子
--第十一周:边缘密度均为正态,联合分布不是二元正态的例子
-二项分布的正态近似
--第十一周:二项分布的正态近似
-正态近似计算实例
--第十一周:正态近似计算实例
-讲义
-大数定律
--12.1大数定律
--第十二周:大数定律
-中心极限定理
--第十二周:中心极限定理
-蒙特卡洛(Monte Carlo)算法
-伪随机数和随机模拟
-讲义
-统计学实例
-总体与样本
-常用统计量
--第十三周:常用统计量
-三种重要的统计分布和分位数
--第十三周:三种重要的统计分布和分位数
-讲义
-参数的矩估计
--第十四周:参数的矩估计
-参数的极大似然估计
--第十四周:参数的极大似然估计
-参数点估计的无偏性和有效性
--第十四周:参数点估计的无偏性和有效性
-参数点估计应用实例
--第十四周:参数点估计应用实例
-讲义
-区间估计的基本思想
--第十五周:区间估计的基本思想
-区间估计的构造方法
--第十五周:区间估计的构造方法
-两个正态总体的区间估计
--第十五周:两个正态总体的区间估计
-大样本置信区间
--第十五周:大样本置信区间
-讲义
-假设检验问题的提示和标准步骤
--第十六周:假设检验问题的提示和标准步骤
-假设检验问题的两类错误和P值
--第十六周:假设检验问题的两类错误和P值
-单个正态总体参数的假设检验
--第十六周:单个正态总体参数的假设检验
-拟合优度检验
--第十六周:拟合优度检验
-讲义
-利用条件概率计算网球比赛胜率
-利用期望的计算性质分析快速排序算法的平均计算量
-讲义
-事件
--事件
-分布函数
--分布函数
-正态
--正态
-指数与二项
--指数与二项
-随机变量函数的分布
-指数分布期望
--指数分布期望
-切比雪夫不等式
--切比雪夫
-二元离散
--二元离散
-协方差
--协方差
-二元特征
--二元特征
-统计量
--统计量
-无偏估计
--无偏估计
-点估计
--点估计
-假设检验
--假设检验
-选择
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-填空
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-大题
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