当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第七周：多维随机变量，独立性 > 多维随机变量 > 7.1. 多维随机变量
在同一个随机试验中
往往同时涉及多个随机变量
例如考察某地区
中学生的身体素质情况
随机地选取一名学生
观察学生的身高X
体重Y和肺活量Z等指标
随机变量X Y Z来自同一样本空间
它们的取值可能相互影响
像这样同时考虑的多个随机变量
称为多元随机变量
一般地 如果X1（ω） X2（ω）
以及Xn（ω）是定义在
同一样本空间Ω上的n个随机变量
则称X（ω）等于(X1（ω） X2（ω）
直至Xn（ω）)为n维随机变量
或随机向量
对于n维随机变量
也可以定义分布函数
对任意n个实数
x1 x2 直至xn
事件X1小于等于小x1
X2小于等于小x2
Xn小于等于小xn同时发生的概率
定义的函数F（x1 x2 直到 Xn）
称为n维随机变量X的联合分布函数
下面我们主要讨论二维随机变量的性质
大多数二维随机变量的结果
都很容易推广到n维的情况
可以验证二维随机变量
（X Y）的分布函数
具有如下性质
第1 单调性
分布函数F(x y)分别相对于
x和y是单调不减的
固定y 当x1小于x2时
有F（x1 y）小于等于F（x2 y）
固定x 则当y1小于y2时
有F（x y1）小于等于F（x y2）
第2是有界性
对任意x y
F(x y)大于等于0小于等于1
且x趋于负无穷
或y趋于负无穷时F(x y)等于0
当x y同时趋于正无穷时
F(x y)等于1
第3是右连续性
即固定y
F(x y)相对于x是右连续的
固定x F(x y)相对于y是右连续的
这3条性质 一元随机变量也具备
第4条非负性的性质
是多元随机变量特有的
对任意a小于b c小于d
随机变量(X Y)
在X大于a 小于b
Y大于c 小于d
所围成矩形区域内的概率大于等于0
并等于F(b d)减F(a d)减 F(b c)加 F(a c)
如图所示
(X Y)落在矩形阴影部分内的概率
可由分布函数
在矩形的4个顶点的取值表示
仅仅满足前3条性质
并不足以表明二元函数
是某个二维随机变量的分布函数
下面看一个反例
考虑二元函数G(x y)
当x+y小于0时G(x y)等于0
当x+y大于等于0时
G(x y)等于1
容易验证函数G(x y)
满足二维联合分布函数的前3个性质
单调 有界 右连续
如图所示
考虑(1 1) (1 -1) (-1 1)和(-1 -1)四个点
可验证g(1 1)-g(1 -1)-g(-1 1)+g(-1 -1)
等于-1 小于0
所以G(x y)不满足非负性
不能作为二元随机变量的联合分布函数
若二元随机变量(X Y)
只取至多可列个数对(xi yj)时
称(X Y)为二维离散型随机变量
pij等于X=xiY=yj的概率
称pij为二元随机变量(X Y)的联合分布列
如图所示
其中pij大于等于0
对所有pij求和 等于1
（X Y）为二元离散型随机变量
其中X和Y各自的分布称为边缘分布
X取值分别为x1 x2 … xn…的分布列
称为X的边缘分布列
其中X=xi的概率等于
固定X=xi
Y取遍所有可能的取值
（X Y）的联合概率的总和
Y取值分别为y1 y2 … yn …的分布列
称为Y的边缘分布列
其中Y=yj的概率
等于固定Y=yj
X取遍所有可能的取值
（X Y）的联合概率的总和
例如 从1 2 3 4中
等可能地随机取一个数记为X
再从1到X中
等可能地随机取一个数记为Y
写出二元随机变量(X Y)的联合分布列
并计算X=Y的概率
(X Y)的联合分布列如图所示
X等于1 2 3 4的概率均为1/4
当X=1时 Y只可能取值为1
所以X=1 Y=1的概率为1/4
而（X=1 Y=2） （X=1 Y=3）
和（X=1 Y=4）的联合概率均为0
当X=2时 Y等可能地取值1和2
这两个可能平分了X=2的概率
所以（X=2 Y=1）
和（X=2 Y=2）的联合概率均为1/8
当X=3时
Y等于1 2 3平分了X=3的概率1/4
所以（X=3 Y=1）（X=3 Y=2）
和（X=3 Y=3）的联合概率均为1/12
最后X=4时
（X=4 Y=1） （X=4 Y=2）
（X=4 Y=3）
和（X=4 Y=4）的联合概率均为1/16
统一地可以将(X Y)的联合分布列表达为
当1小于等于j小于等于i小于等于4时
（X=i Y=j）的联合概率为4i分之1
其余情况（X=i Y=j）的联合概率为0
X=Y的概率等于（X=1 Y=1）的概率
加（X=2 Y=2）的概率
加（X=3 Y=3）的概率
加（X=4 Y=4）的概率
等于25/48
现在考虑(X Y)的边缘分布列
X的边缘分布列
为X=1 2 3 4的概率均为1/4
Y的边缘分布列
为联合分布列每一列联合概率的求和
Y=1的概率等于X分别等于1 2 3 4时
Y=1的联合概率求和
等于联合分布列的第1列各概率的求和
等于25/48
同理计算Y=2的概率
为联合分布列第2列的各概率和等于13/48
Y=3的概率为7/48
Y=4的概率为1/16
如图所示
X和Y的的边缘分布列
分别等于联合分布列的各个行和和列和
设(X Y)为二元随机变量
X和Y的取值均为1和2
(X Y)的联合分布列为X=1
Y=1的概率等于4/9
X=1 Y=2的概率等于2/9
X=2 Y=1的概率等于2/9
X=2 Y=2的概率等于1/9
设随机变量U等于X Y的最大值
V等于X Y的最小值
求（U V）的联合分布列
并求随机变量U V的期望和方差
首先写出(X Y)的联合分布列
根据(X Y)的联合分布列
计算（U V）的联合分布列
当X=1 Y=1时 U=1 V=1
所以（U=1 V=1）的概率为4/9
当X=1 Y=2,以及X=2 Y=1时 U=2 V=1
所以 U=2 V=1的概率为X=1
Y=2的概率加X=2 Y=1的概率
等于4/9 X=2 Y=2时 U=2 V=2
所以 U=2 V=2的概率为1/9
U是X Y的最大值 V是X Y最小值
U不可能小于V
所以U=1 V=2的概率等于0
得到U V的完整的联合分布列
现在计算随机变量U V的期望和方差
根据（U V）的联合分布列
分别得到U和V的边缘分布列
U服从取值1 2
概率分别为4/9 5/9的离散分布
V服从取值1 2
概率分别为8/9 1/9的离散分布
计算得 U的期望等于14/9
U平方的期望等于24/9
所以U的方差等于20/81
V的期望等于10/9
V平方的期望等于12/9
V的方差等于8/81
二维连续型的随机变量
其概率计算常常用到多重积分
我们这里并不要求多重积分
所以这一部分呢
我们只要稍稍了解一下就可以了
若存在二元非负函数f(x y)
使得二维随机变量(X Y)的联合分布函数F(x y)
可以表示为u从负无穷到x
v从负无穷到y
函数f（u v）的积分
则称(X Y)为二维连续型随机变量
小f(x y)称为
二维随机变量(X Y)的联合密度函数
联合密度函数也等于
联合分布函数F(x y)
分别对x y求偏导得到的导函数
偏导数就是固定一个变量
对另一个变量求导
例如F(x y)关于x的偏导数
就是把y看做常数
函数F(x y)关于x的导数
对密度函数f(x y)
关于y从负无穷到正无穷积分
得到X的密度函数
称为X的边缘密度函数
X的边缘分布函数
FX(x)等于y趋于无穷
联合分布函数F(x y)的极限
等于X的联合密度函数
从负无穷到x的积分
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