当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第四周：常见随机变量 > 几何分布与指数分布 > 4.3 几何分布与指数分布
独立地重复参数为p的伯努利试验
若记X为首次出现“成功”时
所需的试验次数
则X是一个离散型随机变量
全部可能的取值为1 2 3直至无穷
注意到意味着
前k-1次试验“失败”而第k次试验“成功”
由于试验的独立性
且每次试验“成功”的概率为p
所以对任意正整数k
X=k的概率等于
（1-p）的(k-1)次方乘以p
以此规律定义几何分布
若随机变量X的分布律为X=k的概率
等于（1-p）的(k-1)次方乘以p
其中k可以取遍1 2 3
直至无穷的所有正整数值
p大于0小于1
则称X服从参数为p的几何分布
几何分布缩写为Ge
父亲要孩子们去后院整理杂物
于是他的3个孩子就用每人同时抛一个硬币
来决定谁去整理
具体的规定是
谁抛出的面
与另外两人的不同谁就得去整理
若三人抛出的面相同则需重抛
直到选出为止
硬币出现正面的概率为p
出反面为q
第（1）问要求他们抛了不到n轮
就能选出人选的概率
首先计算
在给定的一轮中
能选出一人的概率
此时对应的投掷结果
为2正1反或1正2反
三个人投硬币相当于一个硬币投三次
则投出正面的次数
服从参数为(3,p)的二项分布
2正1反或1正2反
分别对应了参数为(3,p)的二项分布随机变量
取值为2和1的情形
所以在给定的一轮中
能选出人选的概率为
C32p方q加C32p q方加等于3pq
在一轮中选出人的概率是3pq
则选出人选所需要抛掷的轮数
服从参数为3pq的几何分布
用X表示这个随机变量
则抛了不到 n轮
就能选出人选的概率
即为随机变量x小于n的概率
等于1减随机变量大于等于n的概率
而x大于等于n的概率
相当于前n-1次都为成功
所以等于(1-3pq)的n-1次方
所以X 第二问求当p=1/2时 最少要抛多少轮 才能以0.95以上的概率可以选出人来 即求最小的n 使得X小于等于n的概率大于0.95 X小于等于n的概率等于1减去X大于n的概率 而X大于n等价于前n次都没有选出 所以X大于n的概率等于(1-3pq)的n次方 将p=q=1/2带入 得到X大于n的概率等于(1/4)的n次方 所以X小于等于n的概率 等于1减去(1/4)的n次方 此式大于等于0.95 解出n大于等于2.16 所以 当p=1/2时 最少要抛3轮 才能以0.95以上的概率可以选出人选 几何分布具有一个特殊的性质 被称为无记忆性 用概率语言表达 就是若随机变量X服从几何分布 则对任意正整数s和t X大于s条件下X大于s+t的概率 等于X大于t的概率 首先给出一个几何分布的计算性质 对任意的正整数j 参数为p的几何分布随机变量x 大于j的概率等于q的j次幂 其中q=1-p 过程中用到q大于0小于1的性质 所以1加q加q方一直加到q的无穷次幂 极限为1-q分之1 按照条件概率的定义展开 X大于s+t和X大于s的积事件的概率 除以X大于s的概率 事件X大于s+t包含于事件X大于s X大于s+t与X大于s积事件的概率 就等于X大于s+t的概率 X大于s+t的概率除以X大于s的概率 等于q的s+t次幂除以q的s次幂 等于q的t次幂 就等于几何分布随机变量大于t的概率 我们举一个例子说明几何分布的无记忆性 假设甲、乙两同学参加射击训练 每一轮射击两人同时发枪 假设两人每次射击命中的概率都是1/4 并且假设两人射击命中与否 是互不影响、相互独立的 则甲、乙两人 射中一次所需的射击次数均服从几何分布 如果刚刚结束的一轮射击甲命中 而乙已经连续8轮没有射中了 则在下一轮射击中 甲、乙命中的概率仍然相同 或更一般地描述 若在之后的k轮两人都没有命中 则在第k+1轮两人命中的概率仍然相同 这种条件概率大小与之前发生情况无关的性质 就是几何分布的无记忆性 密度函数在x小于等于0时为0 x大于0时等于λ乘e的负λx次方的 随机变量 称为参数是λ的指数分布随机变量 其中λ要求大于0 指数分布的缩写表达为Exp 指数分布的密度函数如图所示 是在x大于0区域的单调递减函数 其分布函数在x小于等于0时为0 在x大于0时为1减去e的负λx次方 当x大于0时 对密度函数从负无穷到x积分 密度函数f(t)当t小于0时等于零 所以f（t）从负无穷到x积分 等于λ乘e的负λt次方从0到x积分 利用换元法 得到积分等于1-e的负λx次方 得到参数为λ的 指数分布随机变量的分布函数 这里给出的指数分布实例 表明了指数分布的产生机理 假设一种电子元件的寿命X随机变量 对已使用了t小时的元件 在以后Δt小时内失效的概率为 λΔt 加 Δt的高阶无穷小量 其中λ为不依赖于t的常数 称为元件的失效率 求该电子元件寿命的分布函数 将题设条件用概率事件的语言写出 即为X大于t条件下 X小于等于t加Δt 的条件概率为 λΔt 加 Δt的高阶无穷小量 引入函数f(t)表示X大于t的概率 则f(t加Δt)等于随机变量X大于t加Δt的概率 因为X大于t加Δt包含于X大于t 所以X大于t加Δt的概率 等于X大于t加Δt和X大于t积事件的概率 利用乘法公式展开 等于X大于t的概率 乘以X大于t条件下 X大于t加Δt的概率 将X大于t条件下 X大于t加Δt的概率 转换为1减去X大于t条件下 X小于等于t加Δt的概率 根据题设条件 等于f(t)乘以1减去λΔt 加 Δt的高阶无穷小量 其中高阶无穷小量不是一个数 而是代表Δt趋于0时 比Δt趋于0更快的一个量 所以计算过程中这个量的符号不变 利用乘法公式展开 推出f(t+Δt) 与f(t)的关系式 令Δt趋于0 得到一个关于f(t)的微分方程 虽然这个微分方程结构很简单 但它的求解也超出了本课程的基本要求 关于微分方程求解 在微积分的后续课里会有系统的介绍 我们这里只关心前面的概率推导过程 和最后的结论 根据f(x)的定义 f(0)表示X大于0的概率 显然等于1 有了f(0)等于1的条件 微分方程的解就唯一确定了 f(t)等于e的负λt次方 再写出分布函数的概率定义 利用f(t)的结果 得到分布函数为1减去e的负λx次方 所以随机变量X为参数λ的指数分布 刚才的例子假设 随机变量X在大于t条件下 X小于等于t加Δt 的条件概率 为λΔt 加 Δt的高阶无穷小量 与t的无关 这就是概率上所指的无记忆性 可以验证 指数分布 也满足无记忆性的条件概率关系 而且指数分布是唯一具有 无记忆性的连续型分布 同时几何分布是唯一具有 无记忆性的离散型分布
-随机试验与随机事件
-古典概型
--1.2 古典概型
--第一周：古典概型
-事件间的关系与事件的运算
--第一周：事件间的关系与事件的运算
-两个著名的例子
--第一周：两个著名的例子
-讲义
-条件概率
--2.1 条件概率
--第二周：条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
--第二周：有关条件概率的三个重要计算公式
-事件的独立性
--第二周：事件的独立性
-应用实例
--2.4 应用实例
--第二周：应用实例
-网球比赛胜率的计算
--Video
-讲义
-随机变量及分布函数
--第三周：随机变量及分布函数
-离散型与连续型随机变量
--第三周：离散型与连续型随机变量
-分布函数的性质与特殊的例子
--第三周：分布函数的性质与特殊的例子
-概率论所需微积分要点回顾
--第三周：概率论所需微积分要点回顾
-讲义
-二项分布与负二项分布
--第四周：二项分布与负二项分布
-泊松分布
--4.2 泊松分布
--第四周：泊松分布
-几何分布与指数分布
--第四周：几何分布与指数分布
-正态分布
--4.4 正态分布
--第四周：正态分布
-讲义
-随机变量函数的分布
--第五周：随机变量函数的分布
-随机变量的数学期望
--第五周：随机变量的数学期望
-随机变量的方差
--第五周：随机变量的方差
-原点矩与中心矩
--第五周：原点矩与中心矩
-期望和方差的一些补充性质
--第五周：期望和方差的一些补充性质
-讲义
-二项分布与泊松分布的期望与方差
--第六周：二项分布与泊松分布的期望与方差
-几何分布的期望与方差
--第六周：几何分布的期望与方差
-均匀、指数和正态分布的期望与方差
--第六周：均匀、指数和正态分布的期望与方差
-随机变量数学期望的应用实例
--第六周：随机变量数学期望的应用实例
-快速排序算法的平均计算量分析
--Video
-讲义
-多维随机变量
-第七周：多维随机变量
-常见多维随机变量举例
--第七周：常见多维随机变量举例
-随机变量的独立性
--第七周：随机变量的独立性
-独立随机变量期望和方差的性质
--第七周：独立随机变量期望和方差的性质
-讲义
-条件分布
--8.1条件分布
--第八周：条件分布
-条件期望
--8.2 条件期望
--第八周：条件期望
-全期望公式（上）
--第八周：全期望公式（上）
-全期望公式（下）
--第八周：全期望公式（下）
-讲义
-随机变量函数的期望
--第九周：随机变量函数的期望
-协方差
--9.2 协方差
--第九周：协方差
-相关系数
-- 9.3 相关系数
--第九周：相关系数
-相关与独立
--第九周：相关与独立
-讲义
-独立随机变量和的分布
--第十周：独立随机变量和的分布
-独立正态分布和的分布
--第十周：独立正态分布和的分布
-最大值、最小值分布
--第十周：最大值、最小值分布
-顺序统计量
--第十周：顺序统计量
-讲义
-正态分布的相关与独立
--第十一周：正态分布的相关与独立
-边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
--第十一周：边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
-二项分布的正态近似
--第十一周：二项分布的正态近似
-正态近似计算实例
--第十一周：正态近似计算实例
-讲义
-大数定律
--12.1大数定律
--第十二周：大数定律
-中心极限定理
--第十二周：中心极限定理
-蒙特卡洛（Monte Carlo）算法
-伪随机数和随机模拟
-讲义
-统计学实例
-总体与样本
-常用统计量
--第十三周：常用统计量
-三种重要的统计分布和分位数
--第十三周：三种重要的统计分布和分位数
-讲义
-参数的矩估计
--第十四周：参数的矩估计
-参数的极大似然估计
--第十四周：参数的极大似然估计
-参数点估计的无偏性和有效性
--第十四周：参数点估计的无偏性和有效性
-参数点估计应用实例
--第十四周：参数点估计应用实例
-讲义
-区间估计的基本思想
--第十五周：区间估计的基本思想
-区间估计的构造方法
--第十五周：区间估计的构造方法
-两个正态总体的区间估计
--第十五周：两个正态总体的区间估计
-大样本置信区间
--第十五周：大样本置信区间
-讲义
-假设检验问题的提示和标准步骤
--第十六周：假设检验问题的提示和标准步骤
-假设检验问题的两类错误和P值
--第十六周：假设检验问题的两类错误和P值
-单个正态总体参数的假设检验
--第十六周：单个正态总体参数的假设检验
-拟合优度检验
--第十六周：拟合优度检验
-讲义
-利用条件概率计算网球比赛胜率
-利用期望的计算性质分析快速排序算法的平均计算量
-讲义
-事件
--事件
-分布函数
--分布函数
-正态
--正态
-指数与二项
--指数与二项
-随机变量函数的分布
-指数分布期望
--指数分布期望
-切比雪夫不等式
--切比雪夫
-二元离散
--二元离散
-协方差
--协方差
-二元特征
--二元特征
-统计量
--统计量
-无偏估计
--无偏估计
-点估计
--点估计
-假设检验
--假设检验
-选择
--选择
-填空
--填空
-大题
--大题
