当前课程知识点：概率论与数理统计 > 习题课三 > 统计量 > 统计量
这个题目考查卡方分布随机变量的构造
我们知道N个自由度的卡方分布
它等于N个相互独立的
标准正态分布的平方和
那这个问题具体的条件是X1到X5
是来自于期望为0
方差为4的正态总体的
简单随机样本
也就是X1到X5相互独立
而且它们都服从这个正态分布
那么Y的具体构造是这样三项的求和
那实际上我们就要确定参数
使得每一个求和项
都等于标准正态分布的平方
好 那么第一个我们来处理
X1减去二倍的X2
那么相互独立的正态分布随机变量
它们的加减关系仍然会得到正态分布
而且这样经过加减运算得到的正态分布
它的期望方差我们来计算一下
因为X1和X2的期望都是0
所以整个的期望是0
那么这个方差X1减去二倍的X2
因为这个独立性我们就得到
它等于X1的方差加上
四倍的X2的方差
那么X1 X2的方差都等于4
所以这个方差是20
好了 我们计算出来X1减
二倍的X2的期望和方差
那么我们就知道它一定是服从
参数为0 20的正态分布
那么三倍的X3减去四倍的X4类似
我们可以得到它的正态分布参数
那么X5就是服从这个总体分布
好了 我们把这三个正态分布随机变量
分别做标准化 做线性变换
减去期望除以标准差的
这样的线性变换
得到了三个标准正态分布
然后这三个标准正态分布的平方和
就服从参数为3的
也就是自由度为3的这个卡方分布
那么对应哪项的值就得到了
a等于二十分之一
b等于一百分之一 c等于四分之一
那这个自由度N等于3
好 这个题目我们就讲到这
这个题目是考查卡方分布的构造
以及参数的无偏估计的概念
那我们来看这个题目的具体条件
总体是服从期望为μ
方差是σ方的正态分布
那现在我们有一个样本
样本容量是2N
好 我们构造统计量Y
这个Y是
X2i减X2i-1的平方
平方和乘以一个参数C
我们来考查Y随机变量
当C取什么值的时候会服从卡方分布
这个时候这个σ方是已知的
好 那我们具体来看
我们假设这个X2i减X2i-1等于Yi
那我们知道这个
X2i和X2i-1都是正态分布
而且相互独立的
所以Yi一定也是服从正态分布
而且这个正态分布的参数呢
它的期望就是
X2i和X2i-1的期望差
这个方差就是
X2i和X2i-1的方差和
所以我们得到Yi就服从期望为0
方差为二倍的σ方的正态分布
好了 我们把Yi进行
标准正态分布这样一个线性变换
那我们就推出来Yi除以根号二倍的σ
就是服从标准正态分布的
好 它的平方和就服从
这个N个自由度的卡方分布
那我们对应这两个关系式就得到
这个C等于什么呢
等于二倍的σ方分之一
这个时候Y是服从
自由度为N的卡方分布
那我们下面考查C取什么值的时候
Y统计量是参数σ方的无偏估计
那所谓无偏估计就是这个统计量的期望
等于被估参数
好 那我们进行期望的计算
仍然我们这样来展开
实际上就等于计算什么呢
Yi平方的期望和
好 那么Yi平方它就等于
因为Yi平方减去Yi的期望和
等于什么呢 等于Yi的方差
这里Yi的期望等于0
所以Yi平方的期望
就等于Yi的方差
好 我们知道每一项都是二倍的σ方
好 那么C乘以这个二倍σ方
从i等于1到N求和
就得到这个式子
要使这个期望等于σ方
那我们就要求这个参数C
就要等于2N分之一
所以当C等于2N分之一的时候
这个Y就是参数参数σ方的无偏估计
X1 X2到Xn
是来自总体X的简单随机样本
总体X服从参数是1和P的二项分布
我们定义两个统计量
就是两个随机变量
X一把等于就是样本均值
T就等于N倍的X一把
乘以1减去X一把
好 那我们先计算求X一把的概率分布
然后第二问是证明
随机变量T的一个等价表达式
第三步要计算随机变量T的期望
首先我们来求这个X一把的概率分布
我们知道总体X服从参数是1和P的
二项分布
那实际上参数是1和P的二项分布
就是0 1分布
因为成功概率是P的
进行一次的成功次数
或者是0或者是1
好 那么X等于1的概率是P
等于0的概率是1-P
那么X1到Xn的求和
就表示这个成功概率是P的
独立的重复n次
那么的成功次数
所以它的求和是服从
参数是nP的二项分布
那XI的求和就等于n倍的X一把
所以我们得到了n倍的X一把
就服从参数是nP的二项分布
好 那么这个取值有n+1个可能性
K可能等于0 1 2一直到n
那么nx等于k的概率
我们利用nX一把
等于K的概率
利用二项分布的分布率就得到这个值
那么等价的
X一把等于n分之Xk的概率是相同的
那这个k取值是0到n的时候
这就是包含了X一把
所有可能的取值
所以这个就是X一把的分布列
好 那我们下面再证明
随机变量T的等价表达式
我们来把这个式子做展开
乘积项 完全平方项做展开
展开成这三项
那我们观察到
这个Xi它是服从总体分布的
它是0 1分布
所以Xi的取值是0和1
那么它的平方还是0和1
所以Xi的平方就等于Xi
好 我们把这个关系
代入到这个式子里面去
就得到了Xi减X一把的
这个平方和就等于这三项
好 那么Xi的求和就是n倍的X一把
第二项是我们把这个X一把提出来了
提出来以后后面这项是Xi的求和
这项还是nX一把
最后这一项是n倍的
这个是倍的X一把的平方 那么照写
那经过整理就得到这个式子等于
n倍的X一把呢倍的X一把平方
这个提出来就得到了T的
这是T的定义式
我们证明了这个式子
就是随机变量T的等价表达式
然后我们来计算随机变量T的期望
期望我们利用这个式子来计算
因为X一把的期望跟X一把平方的期望
所以我们就得到了这个式子
那这个呢 我们还是展开
X一把
我们把EX一把的平方
表示成方差和这个期望平方的求和
这个X一把的期望等于X的期望
那么X一把的方差呢
就等于n分之x的方差
因为这个X一把的方差
等于n分之X1加到Xn的方差
这个方差下面是n平方
上面是N倍的x的方差
这就得到了n分之x的方差
那这个X的一把的期望
跟x的期望相同的关于这个式子
好了我们知道这个X的期望是P
那么x的方差是p乘n减p
这个是p平方
所以经过整理就得到了T的期望
等于n减1乘以p乘1减p
那我们观察到实际上这个
通过刚才这个等价表达式
我们看它实际上和这个
样本方差的定义很像
这个式子除以n-1就是样本方差
那么我们知道样本方差的期望
一定是总体方差
利用这个关系式我们也可以计算出
T的期望
好 那我们利用这个式子就是把T
表达成了n-1倍的样本方差
好 那么这个T的期望就等于N-1倍的
样本方差的期望
样本方差的期望就等于总体方差
总体方差是p乘1减p
所以我们同样得到了n减1乘以
p乘1减p这个结果
好了这个题目我们就讲到这
-随机试验与随机事件
-古典概型
--1.2 古典概型
--第一周：古典概型
-事件间的关系与事件的运算
--第一周：事件间的关系与事件的运算
-两个著名的例子
--第一周：两个著名的例子
-讲义
-条件概率
--2.1 条件概率
--第二周：条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
--第二周：有关条件概率的三个重要计算公式
-事件的独立性
--第二周：事件的独立性
-应用实例
--2.4 应用实例
--第二周：应用实例
-网球比赛胜率的计算
--Video
-讲义
-随机变量及分布函数
--第三周：随机变量及分布函数
-离散型与连续型随机变量
--第三周：离散型与连续型随机变量
-分布函数的性质与特殊的例子
--第三周：分布函数的性质与特殊的例子
-概率论所需微积分要点回顾
--第三周：概率论所需微积分要点回顾
-讲义
-二项分布与负二项分布
--第四周：二项分布与负二项分布
-泊松分布
--4.2 泊松分布
--第四周：泊松分布
-几何分布与指数分布
--第四周：几何分布与指数分布
-正态分布
--4.4 正态分布
--第四周：正态分布
-讲义
-随机变量函数的分布
--第五周：随机变量函数的分布
-随机变量的数学期望
--第五周：随机变量的数学期望
-随机变量的方差
--第五周：随机变量的方差
-原点矩与中心矩
--第五周：原点矩与中心矩
-期望和方差的一些补充性质
--第五周：期望和方差的一些补充性质
-讲义
-二项分布与泊松分布的期望与方差
--第六周：二项分布与泊松分布的期望与方差
-几何分布的期望与方差
--第六周：几何分布的期望与方差
-均匀、指数和正态分布的期望与方差
--第六周：均匀、指数和正态分布的期望与方差
-随机变量数学期望的应用实例
--第六周：随机变量数学期望的应用实例
-快速排序算法的平均计算量分析
--Video
-讲义
-多维随机变量
-第七周：多维随机变量
-常见多维随机变量举例
--第七周：常见多维随机变量举例
-随机变量的独立性
--第七周：随机变量的独立性
-独立随机变量期望和方差的性质
--第七周：独立随机变量期望和方差的性质
-讲义
-条件分布
--8.1条件分布
--第八周：条件分布
-条件期望
--8.2 条件期望
--第八周：条件期望
-全期望公式（上）
--第八周：全期望公式（上）
-全期望公式（下）
--第八周：全期望公式（下）
-讲义
-随机变量函数的期望
--第九周：随机变量函数的期望
-协方差
--9.2 协方差
--第九周：协方差
-相关系数
-- 9.3 相关系数
--第九周：相关系数
-相关与独立
--第九周：相关与独立
-讲义
-独立随机变量和的分布
--第十周：独立随机变量和的分布
-独立正态分布和的分布
--第十周：独立正态分布和的分布
-最大值、最小值分布
--第十周：最大值、最小值分布
-顺序统计量
--第十周：顺序统计量
-讲义
-正态分布的相关与独立
--第十一周：正态分布的相关与独立
-边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
--第十一周：边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
-二项分布的正态近似
--第十一周：二项分布的正态近似
-正态近似计算实例
--第十一周：正态近似计算实例
-讲义
-大数定律
--12.1大数定律
--第十二周：大数定律
-中心极限定理
--第十二周：中心极限定理
-蒙特卡洛（Monte Carlo）算法
-伪随机数和随机模拟
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-统计学实例
-总体与样本
-常用统计量
--第十三周：常用统计量
-三种重要的统计分布和分位数
--第十三周：三种重要的统计分布和分位数
-讲义
-参数的矩估计
--第十四周：参数的矩估计
-参数的极大似然估计
--第十四周：参数的极大似然估计
-参数点估计的无偏性和有效性
--第十四周：参数点估计的无偏性和有效性
-参数点估计应用实例
--第十四周：参数点估计应用实例
-讲义
-区间估计的基本思想
--第十五周：区间估计的基本思想
-区间估计的构造方法
--第十五周：区间估计的构造方法
-两个正态总体的区间估计
--第十五周：两个正态总体的区间估计
-大样本置信区间
--第十五周：大样本置信区间
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-假设检验问题的提示和标准步骤
--第十六周：假设检验问题的提示和标准步骤
-假设检验问题的两类错误和P值
--第十六周：假设检验问题的两类错误和P值
-单个正态总体参数的假设检验
--第十六周：单个正态总体参数的假设检验
-拟合优度检验
--第十六周：拟合优度检验
-讲义
-利用条件概率计算网球比赛胜率
-利用期望的计算性质分析快速排序算法的平均计算量
-讲义
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--正态
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-随机变量函数的分布
-指数分布期望
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-切比雪夫不等式
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-二元离散
--二元离散
-协方差
--协方差
-二元特征
--二元特征
-统计量
--统计量
-无偏估计
--无偏估计
-点估计
--点估计
-假设检验
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-大题
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