当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第九周 协方差与相关系数 > 随机变量函数的期望 > 9.1. 随机变量函数的期望
设X等于X1 X2
直至Xn是一个n维随机变量
Z为X1 X2 到Xn的n元函数
则Z也是随机变量
Z的期望就等于g
在所有可能点上的取值
和相应点取值概率
或密度的加权平均
具体而言
在离散情形
Z的期望就等于对随机变量
所有可能的取值（x1,x2到xn）
g(x1,x2到xn)乘以X1等于x1
X2等于x2
直至Xn等于xn的联合概率的求和
在连续情形
Z的期望就等于g(x1,x2到xn)
与(x1,x2到xn)点密度函数的乘积
在整个n维实数空间上的积分
Z的方差仍然等于Z平方的期望
减去Z期望的平方
而Z平方的期望
就按照期望的定义计算即可
下面我们计算一个
多元随机变量函数的期望的实例
仍然考虑我们之前计算过的一个
二元随机变量
从1 2 3 4中
等可能地随机取1个数
即为随机变量X
再从1 2 直到X中
等可能地随机取一个数 记为Y
计算X+2Y的期望和方差
先写出二元随机变量（X,Y）的联合分布列
对（X,Y）每一对可能的取值（xi，yk）
计算函数g（xi，yk）
等于xi+2倍的yk的值
然后乘以X=xi Y=yk的联合概率
加权求和
分X等于1 2 3 4这4种情况求和
得到X加2Y的期望等于6
再计算X加2Y的平方的期望
也就是对（X,Y）
每一对可能的取值（xi，yk）
计算函数g（xi，yk）
等于（xi+2倍的yk）的平方值
然后乘以X=xi Y=yk的联合概率
加权求和
等于i从1到4求和
每一个求和项为4i分之1
乘以（xi加2倍的yk）的平方
k从1到i求和
等于6分之259
最后计算X+2Y的方差
等于X+2Y的平方的期望
减去X+2Y期望的平方
等于6分之43
也可以利用随机变量求和的期望
等于期望的求和
来计算X+2Y的期望
先给出(X,Y)的边缘分布列
分别计算
X的期望等于2分之5
Y的期望4分之7
得到X加2Y的期望等于6
随机变量求和的期望
等于期望的求和
对所有随机变量都是成立的
不要求独立性等 条件
而随机变量求和的方差
只有当求和项的各随机变量
相互独立时
才等于随机变量方差的求和
而本例中的X和Y并不独立
所以X加2Y的方差
不能直接展开为X的方差加2Y的方差
X加2Y的方差的还要通过
X加2Y的平方期望
或其他适当的方法计算
下面验证“随机变量和的期望
等于期望的求和这一结论
之前我们已多次使用过这一结论
现在我们在离散情形下给出证明
随机变量X1加X2的期望
等于对X1 X2
所有可能的取值i与j
计算i加j乘以X1等于i
X2等于j的联合概率
对i和j双重求和
将i和j拆分求和
前1个求和项提出i
剩下部分为固定i
对所有可能的j
将X1等于i
X2等于j的联合概率求和
就等于X1等于i的概率
后1个求和项提出j
剩下部分为固定j
对所有可能的i
将X1等于i
X2等于j的联合概率求和
就等于X2等于j的概率
所以求和式等于i乘以X1
等于i的概率对所有i求和
加上j乘以X2
等于j的概率对所有j求和
等于X1的期望加X2的期望
两项求和的公式
可以直接推广到多项求和的情况
设（X1，X2，到Xn）为n维随机变量
则X1，X2直到Xn求和的期望
就等于X1的期望 X2的期望
直到Xn的期望求和
这一结论对所有
存在期望的随机变量都成立
而当随机变量（X1，X2到Xn）相互独立时
还有更多的关系式成立
此时 X1，X2直到Xn乘积的期望
等于X1,X2直到Xn各自期望的乘积
还有 X1，X2直到Xn求和的方差
等于X1,X2直到Xn方差的求和
再看一个连续型的例子
在长度为a的线段上
随机任取两点
求这两个点的距离的期望和方差
设两个点到线段一个固定端点的距离
分别为随机变X与Y
则随机变量(X,Y)为
X取值0到a
Y取值0到a
所围成正方形区域上的均匀分布
其联合密度函数为
正方形区域内等于a方分之1
其他地方等于0
计算X减Y绝对值函数的期望
等于x-y的绝对值
乘以密度函数a方分之1
在(0,a)乘（0,a）围成正方形区域的积分
利用对称性
等于2倍的x-y乘以a方分之1
在x=y以下的三角形区域
也就是X大于等于Y的区域上的积分
等于3分之a
再计算
X-Y的绝对值的平方的期望
也就是计算x-y的平方
乘以a方分之1
在正方形区域上积分
等于6分之a平方
计算得X-Y的绝对值的方差
等于18分之a方
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