当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第八周：条件分布与条件期望 > 条件分布 > 8.1条件分布
考虑二元离散型随机变量（X,Y）
X=xi Y=yj的概率记为pij
随机变量Y=yj的概率
等于固定j
i取遍所有可能的值
对pij求和
记为p点j
对一切使得p点j大于0的yj
Y=yj条件下
X=xi的概率
等于Y=yj的概率分之X=xi
Y=yj的概率
等于p点j分之pij
将此概率分布称为
Y=yj条件下X的分布列
相应的
可定义在Y=yj条件下
X的分布函数F
就是yj条件下
F在x点取值
等于取遍所有小于等于x的xi
对Y=yj条件下X=xi的概率求和
看一个离散型条件分布的例子
设二元离散型随机变量(X,Y)
（X,Y）的联合分布列为
X=i和Y=j的概率
等于i阶乘分之lamda1的i次幂
乘以j阶乘分之lamda2的j次幂
乘以e的负（lamda1加lamda2）次幂
i j取遍所有非负整数
求X+Y等于n条件下X的分布
先计算X+Y等于n的概率
n为任意非负整数
则X+Y等于n的概率
为k取遍0到n的所有整数
对X=k Y=n-k的概率求和
按照X=k Y=n-k的联合分布列
写出求和项
将e的负（lamda1加lamda2）次幂提出
并将求和号内每项乘以n阶乘
求和号外除以n阶乘
则求和号内恰为lamda1加lamda2的
n次幂的展开式
整理各项的顺序得X+Y=n的概率
等于n阶乘分之lamda1加lamda2的n次幂
乘以e的负（lamda1加lamda2）次幂
这就是参数为lamda1加lamda2的
泊松分布分布列
再计算
X+Y等于n条件下
X=k的条件概率
其中k是大于等于0
小于等于n的整数
按条件概率展开
等于X+Y=n的概率
分之X=k Y=n-k的概率
代入（X,Y）的联合分布列
和X+Y的分布列
再整理得Cnk乘以lamda1
加lamda2的n次幂分之lamda1的k次幂
乘以lamda2的n-k次幂
等于Cnk乘以lamda1
加lamda2分之lamda1的k次幂
乘以1减去lamda1
加lamda2分之lamda1的n-k次幂
这就是参数为n
lamda1加lamda2分之lamda1的
二项分布的分布列
实际上
如果我们更充分地利用
已有的概率分布和独立性的知识
可以观察到
本题中的二元离散型随机变量
X和Y的边缘分布均服从泊松分布
X服从参数为lamda1的泊松分布
Y服从参数为lamda2的泊松分布
且X Y相互独立
上一周我们曾经介绍过
相互独立的泊松分布随机变量
具有可加性
即可知道X+Y服从参数为
lamda1加lamda2的泊松分布分布列
二元连续型随机变量（X,Y）的
联合密度函数为f(x,y)
对一切使Y的边缘密度函数
fY(y)大于0的y
给定随机变量Y=y条件下
X的条件分布函数定义如下
Y=y条件下
X小于等于小x的概率
因为Y=y的概率为0
不能直接做分母
所以在处理上先令随机变量Y
取值在y到y加h的范围内
求得条件概率
然后再令h趋于0
下面具体的概率计算推导
用到了二重积分
同学们可略过
直接得到结论
为固定y的取值fY(y)分之f(u,y)
对u从负无穷到x积分
给定随机变量Y=y条件下
X的条件密度函数
为条件分布函数对x求导
等于fY(y)分之f(x,y)
设（X,Y）服从
单位圆x平方加y平方
小于等于1内的均匀分布
求Y=y条件下X的条件密度函数
（X,Y）的联合概率密度函数f(x,y)
在单位圆内等于pi分之1
其他区域等于0
Y的边缘密度函数
等于固定y的值
将联合密度函数f(x,y)
对x从负无穷到正无穷积分
因为只有y大于等于-1
小于等于1时
联合密度函数f(x,y)的取值
可能不为0
而当y大于等于-1
小于等于1时
对固定的y
只有当x大于等于负的根号1减y方
小于等于根号1减y方时
密度函数f(x,y)非零
所以当y大于等于-1
小于等于1时
积分等于pi分之2
乘以根号1减去y方
y为其他值时
Y的边缘密度函数fY(y)等于0
所以Y=y条件下X的条件密度函数
只有在y的绝对值小于1
x的绝对值
小于根号1减去y方时为非零
等于2倍的根号（1减去y方）分之1
首先将（X,Y）的联合密度函数
f(x,y)表示为
Y的边缘密度
乘以Y=y条件下
X的条件密度的形式
两边对于y从负无穷到正无穷积分
得到X的边缘密度函数
等于Y的边缘密度
乘以Y=y条件下X的条件密度
对y从负无穷到正无穷积分
这一公式可以理解为
将X在某一个固定点x的密度
分解为Y的所有取值可能条件下
x的密度用y出现的密度加权求和
一定程度上
是有限或可列多种情况下的
分情况讨论
到不可数种情况的推广形式
因此称为连续型随机变量场合下的
全概率公式
Y=y条件下X的条件密度的定义式中
将fY(y)用全概率形式的积分式展开
f(x,y)也展开成X=x条件下
Y的密度函数乘以X的边缘密度
公式中将Y条件下
X的密度函数表达为
X条件下Y的条件概率
交换了条件与目标的顺序
称为连续场合下的贝叶斯公式
-随机试验与随机事件
-古典概型
--1.2 古典概型
--第一周：古典概型
-事件间的关系与事件的运算
--第一周：事件间的关系与事件的运算
-两个著名的例子
--第一周：两个著名的例子
-讲义
-条件概率
--2.1 条件概率
--第二周：条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
--第二周：有关条件概率的三个重要计算公式
-事件的独立性
--第二周：事件的独立性
-应用实例
--2.4 应用实例
--第二周：应用实例
-网球比赛胜率的计算
--Video
-讲义
-随机变量及分布函数
--第三周：随机变量及分布函数
-离散型与连续型随机变量
--第三周：离散型与连续型随机变量
-分布函数的性质与特殊的例子
--第三周：分布函数的性质与特殊的例子
-概率论所需微积分要点回顾
--第三周：概率论所需微积分要点回顾
-讲义
-二项分布与负二项分布
--第四周：二项分布与负二项分布
-泊松分布
--4.2 泊松分布
--第四周：泊松分布
-几何分布与指数分布
--第四周：几何分布与指数分布
-正态分布
--4.4 正态分布
--第四周：正态分布
-讲义
-随机变量函数的分布
--第五周：随机变量函数的分布
-随机变量的数学期望
--第五周：随机变量的数学期望
-随机变量的方差
--第五周：随机变量的方差
-原点矩与中心矩
--第五周：原点矩与中心矩
-期望和方差的一些补充性质
--第五周：期望和方差的一些补充性质
-讲义
-二项分布与泊松分布的期望与方差
--第六周：二项分布与泊松分布的期望与方差
-几何分布的期望与方差
--第六周：几何分布的期望与方差
-均匀、指数和正态分布的期望与方差
--第六周：均匀、指数和正态分布的期望与方差
-随机变量数学期望的应用实例
--第六周：随机变量数学期望的应用实例
-快速排序算法的平均计算量分析
--Video
-讲义
-多维随机变量
-第七周：多维随机变量
-常见多维随机变量举例
--第七周：常见多维随机变量举例
-随机变量的独立性
--第七周：随机变量的独立性
-独立随机变量期望和方差的性质
--第七周：独立随机变量期望和方差的性质
-讲义
-条件分布
--8.1条件分布
--第八周：条件分布
-条件期望
--8.2 条件期望
--第八周：条件期望
-全期望公式（上）
--第八周：全期望公式（上）
-全期望公式（下）
--第八周：全期望公式（下）
-讲义
-随机变量函数的期望
--第九周：随机变量函数的期望
-协方差
--9.2 协方差
--第九周：协方差
-相关系数
-- 9.3 相关系数
--第九周：相关系数
-相关与独立
--第九周：相关与独立
-讲义
-独立随机变量和的分布
--第十周：独立随机变量和的分布
-独立正态分布和的分布
--第十周：独立正态分布和的分布
-最大值、最小值分布
--第十周：最大值、最小值分布
-顺序统计量
--第十周：顺序统计量
-讲义
-正态分布的相关与独立
--第十一周：正态分布的相关与独立
-边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
--第十一周：边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
-二项分布的正态近似
--第十一周：二项分布的正态近似
-正态近似计算实例
--第十一周：正态近似计算实例
-讲义
-大数定律
--12.1大数定律
--第十二周：大数定律
-中心极限定理
--第十二周：中心极限定理
-蒙特卡洛（Monte Carlo）算法
-伪随机数和随机模拟
-讲义
-统计学实例
-总体与样本
-常用统计量
--第十三周：常用统计量
-三种重要的统计分布和分位数
--第十三周：三种重要的统计分布和分位数
-讲义
-参数的矩估计
--第十四周：参数的矩估计
-参数的极大似然估计
--第十四周：参数的极大似然估计
-参数点估计的无偏性和有效性
--第十四周：参数点估计的无偏性和有效性
-参数点估计应用实例
--第十四周：参数点估计应用实例
-讲义
-区间估计的基本思想
--第十五周：区间估计的基本思想
-区间估计的构造方法
--第十五周：区间估计的构造方法
-两个正态总体的区间估计
--第十五周：两个正态总体的区间估计
-大样本置信区间
--第十五周：大样本置信区间
-讲义
-假设检验问题的提示和标准步骤
--第十六周：假设检验问题的提示和标准步骤
-假设检验问题的两类错误和P值
--第十六周：假设检验问题的两类错误和P值
-单个正态总体参数的假设检验
--第十六周：单个正态总体参数的假设检验
-拟合优度检验
--第十六周：拟合优度检验
-讲义
-利用条件概率计算网球比赛胜率
-利用期望的计算性质分析快速排序算法的平均计算量
-讲义
-事件
--事件
-分布函数
--分布函数
-正态
--正态
-指数与二项
--指数与二项
-随机变量函数的分布
-指数分布期望
--指数分布期望
-切比雪夫不等式
--切比雪夫
-二元离散
--二元离散
-协方差
--协方差
-二元特征
--二元特征
-统计量
--统计量
-无偏估计
--无偏估计
-点估计
--点估计
-假设检验
--假设检验
-选择
--选择
-填空
--填空
-大题
--大题
