15.1 区间估计的基本思想在线视频

上一周我们学习了参数的点估计

点估计是用一个点

也就是一个特定的取值来估计未知参数

这一周我们学习参数的区间估计

顾名思义

区间估计就是用一个区间来估计未知参数

例如

估计一个人的年龄

我们猜测某个人的年龄是42岁

这个使用的就是点估计的方式

但此人恰好就是42岁吗

当然有这种可能

但是也有相当的可能不是

而且

我们在猜测的时候也并非

就是认定这个人恰好就是42岁

我们心里真正想的往往是这个人

大概在42岁左右

我们不说这个人大约42岁

而是换一种猜测的说法

说这个人在40至45岁之间

这也是一种很自然的估计方法

这就是区间估计的方式

再比如

估计一个人的身高在1米75至1米80之间

估计产品的合格率在0.95至0.98之间等等

区间估计考虑到了估计的误差

多少给人们更大的信任感

区间估计的理论就是用明确的

概率语言刻画这种信任感

并给出得到区间估计的具体方法

在正式引入区间估计的概率形式之前

我们先看一个区间估计的例子

设X1、X2、X3、X4是来自于期望为mu

方差为1的正态总体的样本

样本均值X一拔是参数mu的一个点估计

X一拔减1

到X一拔加1这个区间

就可以作为参数mu的一个区间估计

因为X一拔是随机变量

所以X一拔减1

到X一拔加1这个区间是一个随机区间

计算X一拔等于mu的概率

和mu属于随机区间X一拔减1

到X一拔加1的概率

希望能够用这个例子表现出

点估计和区间估计的区别和联系

在计算之前

我们先考虑一下这个题的条件

这个题的条件是正态总体的期望未知

方差已知

现实中有没有这样的情况呢

实际上

这种情况是经常遇到的

比如

我们用天平测量

估计一个物体的质量

这个物体的质量是某一个常数

但是是未知的

考虑到测量误差通常服从

期望为0的正态分布

那么

测量值就服从以物体真实质量

为期望的正态分布

方差呢

往往由天平本身的精度

和测量员的经验决定

使用一台精密的天平

由经验丰富的测量员来测量

那测量值的波动就会比较小

也就是测量值的方差比较小

而一台简易的天平

测量值的波动就会比较大

也就是测量值的方差较大

天平的精度和测量员的经验是比较确定的

某一个测量员用同一台天平测量

所得结果的方差一般来说也是比较固定的

而被测物体是经常变化的

这样就出现了题目中给出的期望未知

方差已知的这样的情况

而期望已知

方差未知的情形

在现实中很少出现

所以虽然形式上也可以给出

总体分布服从期望已知

方差未知的正态分布

但是没有多少实际意义

我们考虑问题的时候还是要考虑问题的实际意义

当然

更多的时候是期望和方差都未知的情况

这时两个参数都要估计

下面我们回到这个例题的求解

因为样本容量是4

所以样本均值X一拔服从期望为mu

方差4分之1的正态分布

X一拔减mu除以2分之1

服从期望为0

方差为1的标准正态分布

连续型分布的随机变量

在任何一点取值的概率为0

所以X一拔减mu恰好等于0的概率为0

也就是点估计完完全全没有任何偏差地

估计出正确结果的概率

永远是0

接下来计算mu属于随机区间X一拔减1

到X一拔加1的概率

就是mu小于等于X一拔加1

大于等于X一拔减1的概率

等价地表示为X一拔小于等于mu加1

大于等于mu减1的概率

这样表示更加自然

因为我们更习惯于计算

一个随机变量属于某个区间的概率

而不是一个常数属于某个随机区间的概率

每一项都减去mu

等于X一拔减mu小于等于1

大于等于负1的概率

等于2倍的X一拔减mu小于等于2

大于等于负2的概率

中间的随机变量是标准正态分布

所以概率等于标准正态分布的分布函数

在2和负2两点的取值差

经过查表

得到概率等于0.9544

设I（X1、X2到Xn）是一个随机区间

这个随机区间由样本完全确定

而且对于属于参数空间的被估参数theta

参数theta属于随机区间的概率

也就是能够包含参数theta的

随机区间出现的概率大于等于1减alpha

就称这样定义的随机区间是参数theta的一个

置信水平为1减alpha的区间估计

其中alpha大于0小于1

置信水平可以取到的最大值称为置信系数

例15.1.1中

随机区间X一拔减1

到X一拔加1包含

未知参数mu的概率是0.9544

显然参数mu属于

这一随机区间的概率大于0.8

所以根据置信水平的定义

也可以说随机区间X一拔减1

到X一拔加1是参数mu的一个

置信水平为0.8的置信区间

当然同样可以说这个随机区间

是参数mu的一个置信水平为0.7的置信区间

但通常人们是不这样说的

因为置信水平的概念

本身是为了表示区间估计的可信程度的

因此我们希望尽可能充分地描述出

给定随机区间

对参数进行估计的可信度

也就是希望得到置信水平可能达到的最大值

在这个例子里

随机区间X一拔减1

到X一拔加1的置信水平

最大可以达到0.9544

也就是这个区间是参数mu的

置信系数为0.9544的区间估计

在实际应用中

人们不会故意将用作区间估计的随机区间的

可信度有所保留

总是尽可能得到它的置信系数的水平

用来表达这个随机区间的可靠度

所以

实际应用中所说置信水平

大多数时候指的就是置信系数

既然是这样

那为什么不用一个概念

而是提出置信系数和置信水平这两个概念呢

因为在有些情况下

被估参数属于随机区间的概率不容易计算

这时候无法知道置信系数

退而求其次

只能尽可能得到这一概率的下界估计

证明被估参数属于随机区间的概率

一定不小于某个值

这个值就是所得到的置信水平

相比于置信系数

置信水平是一个刻画用作区间估计的

随机区间的可信度的一个更宽泛的概念

参数的区间估计有三种形式

设被估参数theta属于区间I的概率

大于等于1减alpha

其中区间I由随机变量X1、X2和Xn决定

当随机区间I等于theta1一尖（X1、X2、Xn）

到theta2一尖（X1、X2、Xn）的闭区间时

因为随机区间有上下界

称这一随机区间为参数theta的

置信水平为1减alpha的双侧置信区间

当随机区间I等于theta L一尖（X1、X2、Xn）

到正无穷时

因为随机区间只有下界

没有上界

称随机区间I为参数theta的

置信水平为1减alpha的单侧置信区间

或上侧置信区间

theta L一尖为参数theta的

置信水平为1减alpha的置信下限

当随机区间I

等于负无穷到theta U一尖（X1、X2、Xn）时

因为随机区间只有上界

没有下界

同样称随机区间I为参数theta的

置信水平为1减alpha的单侧置信区间

theta U一尖为参数theta的

置信水平为1减alpha的置信上限

继续看例15.1.1

进一步理解估计区间的概率意义

事实上

未知参数本身是确定的值

不带有随机性

估计的随机性是由区间引入的

一个置信水平1减alpha的区间估计

其含义是

所得到的随机区间

至少以概率1减alpha覆盖被估的参数

在例15.1.1中

置信水平的含义是

实际抽取样本容量为4的样本

得到一次区间估计

将这样的估计重复足够多次

那么至少1减alpha比例的估计区间

包含真实的mu值

这里置信系数是0.9544

即将这一估计方法实际重复足够多次之后

大约95.44%的估计区间会包含真实的mu值

图15.1是设定参数mu等于2

将区间估计重复100次的模拟结果

其中100个估计区间中有6个区间没有包含2

即参数的实际取值

94%的区间成功的包含了真实值mu等于2

继续模拟

将区间估计重复10000次

结果442次估计区间没有包含mu的真实值2

这时成功包含被估参数mu等于2的

区间百分比达到95.58%

当然

这些都是概率意义上的结果

具体的每一次实际估计

我们不会确切的知道估计区间是否包含未知参数