当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第二周：条件概率和独立性 > 有关条件概率的三个重要计算公式 > 2.2 条件概率的三个重要计算公式
上一讲中我们引入了条件概率
有了这一概念
我们对事件的表达
就有了更丰富的工具
下面我们就希望能够
有效地计算条件概率
得到我们想要的概率结果
对于条件概率而言
主要有三个计算公式
分别是乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式
这三个计算公式的应用贯穿概率论的始终
是非常基本和重要的计算工具
下面我们看第一个乘法公式
乘法公式有两种形式
一种是两个事件的标准形式
另一种是其推广
对n个事件的一般形式
标准形式的乘法公式
即为条件概率定义的直接推论
我们看条件概率公式
B条件下A的概率等于P（AB）除以P(B)
两边同乘以P（B）
即得到积事件AB的概率
等于事件B的概率
乘以B条件下A的概率
这样一个乘法的展开形式
更一般地 n个事件同时发生的概率
也可以用一系列的
条件概率展开的形式表达
事件A1 A2直到An同时发生的概率
等于事件A1的概率
乘以事件A1条件下事件A2的概率
乘以事件A1 A2条件下事件A3的概率
一直连乘到事件A1到An-1同时发生条件下
事件An的概率
通过这样的连乘展开
可能得到多个事件
同时发生概率的更加有效的计算
对于一般形式的乘法公式
可用数学归纳法证明
假设k个事件的乘法公式成立
我们来推导k+1个事件的公式也成立
将事件A1 A2到Ak的积事件看做一个整体
则对这一积事件和事件Ak+1
使用标准的乘法公式
得到A1 A2到Ak+1同时发生的概率
等于A1 A2到Ak同时发生的概率
乘以A1 A2到Ak同时发生条件下
事件Ak+1发生的条件概率
再对A1 A2到Ak
同时发生的概率利用归纳假设
即得到k+1个事件的乘法公式
所以对一般的大于2的正整数n
乘法公式均成立
每一项利用条件概率的定义
写成两个概率相除的形式
然后分子、分母依次抵消
即得到结论
下面我们举1个使用乘法公式的计算实例
设箱子内有a个白球b个黑球
在其中不放回地连取3次
问前2次取到白球
而第3次取到黑球的概率
按照事件发生的过程
设定Ai为事件第i次取到白球
i分别等于1 2 3
则前2次取到白球
而第3次取到黑球
即为事件A1 A2和A3的补事件同时发生
这三次抽球的结果相互影响
所以直接计算比较困难
我们利用乘法公式展开计算
分别计算展开式中3个概率
A1概率即为a+b分之a
第一次抽到白球后
还剩a+b-1个球
其中a-1个白球
所以A1条件下A2的概率
即第1次抽到白球后
第2次仍抽到白球的概率为
a+b-1分之a-1
前两次抽到白球后
还剩a+b-2个球
而其中黑球数不变
仍然为b个
所以A1A2条件下A3补的概率
即前两次都抽到白球条件下
第3次抽到黑球的概率是
a+b-2分之b
同学们还可以思考
抽到3个均为白球
或抽到2黑1白
发生的概率分别是多少
乘法公式主要的功能的依次计算
下面我们学习另一个公式
全概率公式
简单而言全概率公式就是分情况讨论
设事件B1 B2 到Bn
是对样本空间Ω的一个分割
所谓分割即B1 B2
直到Bn这n个事件互不相容
且这个n个事件的并集即等于全集
如果对所有的i等于1 2 3到n
P（Bi）均大于0
则事件A概率等于
这n项概率乘积之和
我们先用图示进一步明确
对样本空间进行分割的含义
如图所示
即为将样本空间
分割为B1 B2 B3 B4 4个集合或4个事件
它们包含了样本空间的全部元素
同时它们之间无任何重叠
考虑样本空间中的事件A
则A的概率也可以分解为
分别处于B1 B2 B3 B4集合中概率的总和
即P（A）等于A与B1相交的概率
加上A与B2相交的概率等等4项
再分别对4个展开项使用乘法公式
即得到P（A）等于P（B1）乘以
B1条件下A的概率
一直加到P（B4）乘以B4条件下A的概率
这样A事件的概率
即分解为B1 B2 B3 B4等不同条件下
A的条件概率的总和
利用这样化整为零的形式
有可能使得一些难以直接处理的概率
通过对各个局部概率性质的充分了解
汇总得到
很多时候会给计算带来方便
现在我们回到全概率公式的一般形式
当样本空间被分为B1 B2 Bn等n部分的分割时
全概率公式为P（A）等于
每一个事件Bi的概率
乘以Bi条件下A的概率
从1到n求和
看2个全概率公式的应用实例
设甲箱中有a个白球 b个黑球
a b均大于0
乙箱中有c个白球 d个黑球
自甲箱中任取1球放入乙箱
然后再从乙箱中任取1球
求最后由乙箱取出的是白球的概率
由于最后乙箱中黑白球的个数
和第一步从甲箱中取球的结果有关
所以也不易直接求解
但是最后乙箱中黑白球的个数
无非只有两种可能
分情况讨论
即可使得问题变得清晰明了
按我们所关心的目标
和影响过程的核心因素设定事件
设事件A表示
最后由乙箱取出的是白球
事件W表示从甲箱取出白球
分情况计算事件A的概率
即按照W与W补分割样本空间
利用全概率公式展开
其中W与W补的概率
分别等于a+b分之a和a+b分之b
W条件下A的概率
即从甲箱抽到白球放入乙箱后
从乙箱抽到白球的概率
以及W补条件下A的概率
即从甲箱抽到黑球放入乙箱后
从乙箱抽到白球的概率
都容易计算
最终我们计算出事件A发生的概率
买彩票的问题
设n张彩票中有 一张奖券
人们排成一队购买彩票
求第k个人购到奖券的概率
对这一问题
通过一个直观的分析
即可得到结果
我们假想一种买彩票的过程
假设每个人买完彩票后都不离开
也不查看结果
而是n张彩票都卖完后
n个人同时打开
这一假想过程
并不影响每个人的中奖可能
而n个人一起同时打开彩票时
奖券落在每个位置的机会均等
所以每个人的中奖概率都是相同的
均为1/n
这样我们就得到了答案
但是现在我们不仅仅满足于得到得数
而是希望通过事件表达
运用标准的概率计算工具
得到对这一问题的分析和理解
而这种分析和理解往往是更深刻的
其方法是更有可能推广而适用于更多问题的
我们分析
问题的困难在于不确定性
第k个人的结果受到前k-1个人的影响
前面的人越多
感觉这种不确定性就越强
那么我们就试图逐步减少不确定性
首先尝试将
第一个人可能的结果看清楚
这样排在第k位的人
就相当于往前移动了一步
问题就可能变得更清晰
第一个人有两种可能
中奖或者不中奖
我们根据这两种情况利用全概率公式
将所求概率分解为两部分
然后再往下推断第2个人的情况等等
这样不断进行
下面设定事件
因为随着前面人的离开
队伍的长度和开始
排在第k位的人的位置都在发生变化
所以我们用两个参数表示事件
设Ak(n)为事件 n个人买彩票
第k个人中奖
这样A1(n)即为事件 n个人买彩票
第1个人中奖
按照第一个人中奖与不中奖
分情况讨论
即按照A1(n)和A1(n)补
分割得到全概率展开
其中A1(n)条件下Ak(n)的概率
表示第1个人中奖条件下
第k个人中奖的概率
当k>1时 显然为0
所以第一次全概率展开的两项
只剩下1项需要计算
而A1(n)补条件下Ak(n)的概率
即为第1个人没有中奖
第k个人中奖的概率
这时第1个人未中奖离开了队伍
排队的人变为n-1个
且之前排在第k位的人
位置变成了第k-1位
所以A1(n)补条件下Ak(n)的概率
即等于A
k-1 (n-1)的概率
依此方法逐次分析
即得到概率为1/n的结果
这种方法也常常称为首部分析法
也可以借助乘法公式计算买彩票问题的概率
设事件Ai表示第i个人中奖
则所求概率即为事件Ak的概率
而事件Ak发生的前提是事件A1 A2
直到Ak-1均未发生
所以事件Ak的概率等于
事件A1补 A2补直到Ak-1补
与Ak同时发生的概率
利用乘法公式展开
我们同样得到了概率1/n的结果
同学们可以进一步思考
如果n张彩票中有m张中奖券
那么第k个人买到奖券的概率是多少
第三个公式是贝叶斯公式
也称为逆概率公式
B1 B2 到Bn是样本空间的一个分割
事件A概率大于0
则事件A条件下事件Bi的概率
可用一系列事件B1到Bn条件下
A的概率和B1到Bn的概率表达
这一公式中的事件A
往往发生在事件B1到Bn之后
B1 B2到Bn是原因A是结果
贝叶斯公式的功能
是在特定结果发生条件下
反推某个原因的可能性
所以也称为逆概率公式
贝叶斯公式的证明非常简单
就是利用条件概率的定义
然后分子分母
分别使用乘法公式和全概率公式
即得到贝叶斯公式
下面看两个应用贝叶斯公式的实例
某考生回答一道有4个选项的选择题
会答的概率是p
不会答时则在4个答案中任选1个
这样这位考生对不会答的题目
也有1/4的可能性做对答案
如果看到这位考生答对了一道题
我们想知道他是真的会答还是蒙出来的
就是要求该考生
回答正确时他确实会答的概率
用事件的语言表达我们所关心的问题
设事件A表示答对 B表示会答
则该考生回答正确时
他确实会答的概率
即为A条件下B的概率
利用贝叶斯公式
将所求概率转化为更容易知道的
学生会答与不会答条件下答对的概率
其中P（B）为会答的概率等于p
会答时答对的概率为1
即B条件下A的概率为1
B补的概率为1-p
B补条件下A的概率
即为不会答时答对的概率
为1/4
计算得到所求概率为1加3p分之4p
当p=0.8时
该条件概率为0.94
当p=0.4时
该条件概率为0.73
当p=0.2时
该条件概率为0.5
一地区某疾病的发病率是0.0004
现有一种化验方法
对真正患病的人
其化验结果99%呈阳性
对未患病者
化验结果99.9%呈阴性
那么从化验结果出发
人们主要关心两方面的情况
一个是如果检查结果呈阳性
是否真的患病
另一个是如果检查结果呈阴性
是否就可以放心地认为自己没有病
设事件A表示 化验呈阳性
B表示 患病
利用贝叶斯公式
分别计算出检查结果呈阳性
但实际上没有患病的概率为0.716
检查结果呈阴性
但事实上是患了病的概率为
4乘10的-6次方
这个结果说明
如果检查结果为阳性
也不用特别紧张
此时只有30%的患病可能
如果不放心可以再做一次检查
得到更多的判断依据
如果检验结果为阴性
则基本可以判断自己没有患病
正确地使用三个公式
要把握好乘法公式和贝叶斯公式中
包含的时间因素
乘法公式按照时间的顺序过程展开
A1首先发生
然后依次是A2 A3到An
贝叶斯公式是逆概率公式
它将结果为条件的概率转化为
以原因为条件的概率计算
而全概率公式是分情况讨论
而且必须考虑到所有可能
不能有遗漏
所以要求对样本空间进行分割
-随机试验与随机事件
-古典概型
--1.2 古典概型
--第一周：古典概型
-事件间的关系与事件的运算
--第一周：事件间的关系与事件的运算
-两个著名的例子
--第一周：两个著名的例子
-讲义
-条件概率
--2.1 条件概率
--第二周：条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
--第二周：有关条件概率的三个重要计算公式
-事件的独立性
--第二周：事件的独立性
-应用实例
--2.4 应用实例
--第二周：应用实例
-网球比赛胜率的计算
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-讲义
-随机变量及分布函数
--第三周：随机变量及分布函数
-离散型与连续型随机变量
--第三周：离散型与连续型随机变量
-分布函数的性质与特殊的例子
--第三周：分布函数的性质与特殊的例子
-概率论所需微积分要点回顾
--第三周：概率论所需微积分要点回顾
-讲义
-二项分布与负二项分布
--第四周：二项分布与负二项分布
-泊松分布
--4.2 泊松分布
--第四周：泊松分布
-几何分布与指数分布
--第四周：几何分布与指数分布
-正态分布
--4.4 正态分布
--第四周：正态分布
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--第五周：随机变量函数的分布
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--第五周：随机变量的数学期望
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--第五周：原点矩与中心矩
-期望和方差的一些补充性质
--第五周：期望和方差的一些补充性质
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-二项分布与泊松分布的期望与方差
--第六周：二项分布与泊松分布的期望与方差
-几何分布的期望与方差
--第六周：几何分布的期望与方差
-均匀、指数和正态分布的期望与方差
--第六周：均匀、指数和正态分布的期望与方差
-随机变量数学期望的应用实例
--第六周：随机变量数学期望的应用实例
-快速排序算法的平均计算量分析
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-多维随机变量
-第七周：多维随机变量
-常见多维随机变量举例
--第七周：常见多维随机变量举例
-随机变量的独立性
--第七周：随机变量的独立性
-独立随机变量期望和方差的性质
--第七周：独立随机变量期望和方差的性质
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--8.1条件分布
--第八周：条件分布
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--8.2 条件期望
--第八周：条件期望
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--第八周：全期望公式（上）
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--第八周：全期望公式（下）
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--第九周：随机变量函数的期望
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--9.2 协方差
--第九周：协方差
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-- 9.3 相关系数
--第九周：相关系数
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--第九周：相关与独立
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--第十周：独立随机变量和的分布
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--第十周：独立正态分布和的分布
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--第十周：最大值、最小值分布
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--第十周：顺序统计量
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--第十一周：边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
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--12.1大数定律
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--第十三周：三种重要的统计分布和分位数
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--第十四周：参数的极大似然估计
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--第十四周：参数点估计的无偏性和有效性
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--第十四周：参数点估计应用实例
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-点估计
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