当前课程知识点：概率论与数理统计 > 习题课四 > 选择 > 选择
2016年的7月进行了
慕课CAP的第一次线下考试
那么今天我们就对
这次线下考试的概率论
与数理统计的这个试卷进行讲解和分析
那么概率论和数理统计这门课程
卷面满分是100分
分成三部分
第一部分是五道选择题
每道题4分 一共20分
第二部分是五道填空题
每个题也是4分 一共20分
然后还有几道是计算和证明这样的大题
那我们首先来看第一道的选择题
设ABC是3个两两独立的事件
那么在如下的ABCD四个条件
哪一个条件成立的时候
那么ABC三个事件是相互独立的
它互为充分必要条件
那我们知道 ABC三个事件相互独立
它的判断准则是两两独立
加上ABC这样一个概率式子是
同时成立
那么就能够保证事件ABC是相互独立
那么这个事件相互独立的概率意义
它的直观的概率意义就是
这个AB发生无论什么情况
那么对C的发生概率是不影响
比如说是这样的意思
以AB为条件
C的概率等于什么
就等于C的概率
那么当然如果变成这个A补B等等
AB的任意的事件的这样的
运算的一个结果的事件
那么在这样的条件下
C的概率仍然是它本身
这就是事件相互独立的
它的本身的这个概率意义
那么如果我们把这个C变成A
这个AB变成BC 结果是同样成立的
那么就是三个事件它们之间的发生
是互不影响的
概率是互不影响的
这就叫这三个事件是相互独立的
那么这个相互独立它的判断准则
就是刚才说的
是ABC两两独立
以及ABC它们的积事件能够展开成
ABC三个事件的概率的乘积
那下面我们就来验证一下
这四个条件哪一个能够和这个两两独立
组合成这个ABC相互独立的充分必要条件
那实际上我们只要验证这个ABC
就是这个的积事件是不是能展开
这一点就可以了
我们验证这一点就好了
我们两两独立已经成立了
那么现在第一个A
如果A与BC独立
那么根据这个事件独立性的判断准则
那么A和BC的积事件的概率
就等于A的概率乘以BC的发生概率
因为BC是独立的
所以就等于P（BC）就等于P（B）×P（C）
所以这个A条件就能够推出
这个P（ABC）=P（A）×P（B）×P（C）
好 所以这个题的答案就应该是A
那么我们作为这个题目的理解
当然如果对于选择题来说
我们选择A就已经答完了
对这个题目的理解
我们再看看BCD
BCD三个条件能够推出什么样的结果
好 我们来看B
AB与A并C独立
那我们仍然用这个事件
独立的这样的一个等价的关系
那么AB和A并C的积事件的概率等于
AB的概率乘以A并C的概率
那么因为AB和A并C的这个积事件
有分配律嘛
AB A就等于AB
那么ABC
那也就是ABC 所以AB并ABC
等于这两个事件概率的乘积
然后因为AB并ABC那就等于AB
因为ABC是包含于AB的
所以就推出了这样一条这个关系
那么这个P（AB）和P（AB）约掉
推出了什么
P（A并C）等于1
当然这个并不能决定
ABC是相互独立的
刚才这里面还用了一条就是
P（AB）不等于0
当然这个一般情况下 我们这个P（AB）
如果仅等于0成立的话
也不能推出ABC相互独立
所以这是B 不能推出ABC相互独立
再看C条件 AB与AC独立
那仍然用这个事件
相互独立的这样的一个判别的准则
我们来验证
那么AB交上AC等于什么
因为这两个事件相互独立
所以它等于什么
等于P（AB）乘以P（AC）
好 因为AB交AC 就等于ABC的交集
然后这个P（AB）和P（AC）我们分别展开
P（A）乘P（B）以及P（A）乘P（C）
那么就得到了这个式子
那么这个ABC的基事件的概率
等于ABC的概率乘积 再乘以
再乘以一个P（A）
那么显然也和这个
独立性这样的一个要求
是不一致的
好 所以这个不能够推出ABC独立
我们看最后一个条件
A并B 与AB独立
那么A并B交AB
就等于
这个A并B的概率乘以AB的概率
好 那我们再进一步展开
A并B和AB的
这个积事件的这样的一个交集
就等于P（AB）
好 那么它等于右边的这个概率
那么这个P（AB） P（AB）约掉了
推出P（A并B）等于1
当然了这个也不能够决定
ABC是相互独立的
所以这就是我们对四个这样选项的
一个分析
那么这个题目我们就讲到这儿
已知随机变量X
服从参数是a,a平方的正态分布
也就是期望为a
方差为a平方的正态分布
那么随机变量Y
是aX加b
就是X通过一个线型变换
得到一个新的随机变量
那么如果Y服从标准正态分布
我们来确定a和b的取值
这里面有两个未知的参数是a和b
所以我们需要列出两个关系式
然后通过两个关系式求解出
a和b的具体的取值
那么现在我们知道这个Y是服从
0为期望1为方差的这样的正态分布
所以我们就可以通过
这个Y的期望和方差
然后来列出关系式解出参数a和b
根据期望的线性型
那么aX加b的期望就等于
a乘以X的期望加常数b
好那我们知道X的期望是a
所以这个等式就等于a平方加b
Y的期望等于a平方加b
那我们又已知
Y是服从标准正态分布的
所以a平方加b我们就知道它等于0
这样的话我们就得到了一个等式关系
另外我们来计算这个Y的方差
Y的方差等于aX加b的方差
因为方差是刻画随机变量分散程度的
这样一个数字特征
那么这个随机变量平移一个单位
如果是随即变量 加上任意的常数C
那它的方差是不变的
就是这样的关系式
所以这个aX加b的方差就等于
a乘以X的方差
因为方差的定义它是有平方的
就是X这个方差它定义的是
这个X减去E(X)偏离程度
平方偏离程度的期望
所以这就是它的平方
那么常数加个平方倍
所以aX的方差等于a平方X的方差
X的方差等于a平方
所以这个式子就等于a的四次方
我们又知道
这个Y的方差等于1
所以a的四次方等于1
这样的话我们就列出了
这个两个式子
有Y服从于0,1为参数的正态分布
我们就列出了两个式子
因为a的四次方等于1
所以a的平方也等于1
a平方等于1b就等于负1
a平方等于1所以a是等于正负1
因此这个a就是满足a的绝对值等于1
所以这里面满足条件的
就是b等于负1a等于正1
那这个是符合条件的
所以我们就选B
当然另外一个解就是a等于负1
b等于负1
那么也是满足条件
不过我们这个选项里只有一项满足
好 这个题目是一个数字特征
这样的一个练习
而且我们也要这个得明确
有几个未知量
我们就列几个关系式
这样来求解相应的未知量
而且这个题目涉及到了期望的线性型
和这个方差的这样的线性组合aX加b
这样的线性组合之后的这个方差的
这个计算式
好 所以这个题目我们就讲到这
已知某电子元器件的寿命是服从
期望为一千小时的指数分布
那么假设这个随机变量的寿命
这个元器件的寿命是随机变量X
它服从什么
某一个参数的指数分布
因为指数分布的期望等于λ分之一
所以λ就等于，这个问题的
λ等于一千分之一
好 那么这个（问题）问的是什么呢
若这个元器件使用了一千个小时之后
还能够继续使用一千小时的概率
那么也就是说什么
这是一个条件概率
在什么条件下
在这个随机变量X
已经使用了一千个小时
也就是X是大于一千
那么还能够继续使用一千小时
那也就是这个寿命要超过两千小时了
那也就是这个在X大于一千的条件下
这个X大于一千加一千大于两千的
你要算这个概率
那么这个条件概率的计算
就用到了这个指数分布的
一个非常重要的特性
就是指数分布的无计性
那所谓这个一个随机变量
它具有无记忆性
指的是什么
就是这个随机变量
在取值大于t的这样一个条件下
那么又经过了这样一个
X的这么多取值的增长
那它的概率就等于
相当于把t之前的都忘掉了
那么等于什么
X大于c的概率
这叫无记忆性
就是从t又增长了s之后
那么在X大于t的条件下
那么就等于X大于s的概率
这是所谓的无记忆性
那么利用这个无记忆性的话
那这个概率
这个X大于一千条件下
X大于两千的概率就等于
X大于一千的概率
好 那我们知道根据分布函数的定义
那么这个X大于一千的概率
就等于1减去X小于等于一千的概率
那么X小于等于一千
就是这个随机变量X
在一千这点取值的这个分布函数值
我们知道这个指数分布
参数为λ的这个指数分布
它的这个分布函数有这样的一个性质
1减去1的负λx
这是什么 当X大于0的时候
这是指数分布的这个分布函数
所以我们代入这个λ是一千分之一
X等于一千代入就得到了
这个是e的负1次幂
所以这个什么呢
这个问题的解答就是D
继续使用的寿命是e分之一这样的概率
这个题目关键是考察了
这个指数分布的无记忆性
也就是一个随机变量它具有无记忆性
是什么含义
它的概率意义就是这样的
就是在这个X大于t的条件下
那么又经历了s这样的增长
那么这个概率就等于增长的这部分s
X大于s的概率
那么具有这个无记忆性的随机变量
还有一种叫做几何分布
几何分布也是具有无记忆性的
那么一共所有的随机变量里面
只有两个随机变量是具有无记忆性的
因为我们可以从
这个无记忆性的这样一个
概率意义的表达式我们可以反推
对于连续型的随机变量
如果具有无记忆性
那么一定它是服从指数分布的
那么这个如果是离散型的随机变量
它如果具有无记忆性的话
我们也可以反推回去
那么这样的随机变量一定就是几何分布
这是关于无记忆性的一个应用的
这样一个习题
好 那这个题目我们就讲到这儿
对于正态 总体
以μ为期望 δ方为方差的这样正态总体
那对这个均值这个参数μ
做置信度为95%的这样的区间估计
那么所得到的这个置信区间
它的具体含义是什么
这样的ABCD四个选项
所以我们一般对这个期望
因为这个X的期望等于μ
我们这期望做这个区间估计
那么往往是用什么
这X一拔
用这个样本均值
X一拔等于n分之一X1加到Xn
那么这个样本容量n的这样一个样本
我们取它的均值
就是所谓的叫做样本均值
样本均值是期望的一个
一种近似
那么这个区间估计
我们一般来说指的什么
就是X一拔减去一个常数
X一拔加上一个常数
这个区间我们作为什么
这个估计区间
那么我们要使得什么
使得这个参数μ
属于这个区间的这个概率
大于某个值
比如说这个是大于等于95%
这样的置信度
这是这个置信度
那我们要找到这样一个区间
这个区间包含参数μ的概率
大于等于95%
大于等于这个置信度
那这里面的实际含义就是这个
μ是个定值
μ是一个固定的常数
那么这个X一拔减C
X一拔加C
这个区间是随机的
这个随机性是体现在这个地方的
这个区间是随机的
所以说这个什么
我们说这个μ
μ属于X一拔减C到是X一拔加C
那相当于什么
这个是μ小于X一拔加C
大于X一拔减C
所以我们最后推出来这个X一拔
对于随机变量而言它是小于等于这个
μ加C大于等于这个μ减C
这个随机变量处在这个区间的概率
要大于等于这个置信度
这样其实就转化为什么
我们所习惯的
一个随机变量处在
某个区间范围内的概率
这样一个不等式
所以这个是区间估计的它的实际含义
所以说这个95%的置信区间
就是这样一个随机区间
包含参数μ的概率
至少是达到了这个置信度的水平
所以这个题目答案是选择C
这个区间指的是以95%的概率包含μ
但是这里面我们要注意的是
什么是不变的量
什么是常数什么是随机的
这样用概率意义来表达的
所以这个μ是常数X一拔是随机变量
那么这个最终我们计算还是转化为什么
这个随机变量处于某个区间
处于某个确定区间的这样一个概率
这是便于计算的
这个是它的实际的置信度的这个
它的含义
所以这个是关于置信度以及置信区间
这个区间估计的基本概念的这样一个
考察的是这样的基本概念
好 那这个题目我们就讲到这儿
这个是一个假设检验的题目
我们来考察的是假设检验中的
第一类错误的这样的概率计算
那么首先看这个题目
设X1到X100是来自于期望为μ
方差为2的平方
这样的正态总体的简单随机样本
那么原假设是μ等于0
备择假设是μ不等于0
那么这个假设检验的拒绝域
选的是这个X一拔大于0.4
也就是说这里我们选择什么呢
选择X一拔
就是样本均值作为这个总体期望μ的
这样一个检验统计量
这个时候这个备择假设
在这样一个拒绝域的提法之下
应该写成是μ大于0
这样出题才更加的严谨
这个稍稍有点小的瑕疵这个问题
为什么呢 我们来解释一下
什么是拒绝域
拒绝域就是在这个原假设成立的条件下
那么这个检验统计量的取值呢
比较异常的范围
那么这个再原假设μ等于0这个条件下
那么这个X一拔应该服从什么分布
服从的是以μ为期望
以一百分之二的平方为方差的正态分布
一百分之二的平方就等于
以五分之一为方差这样的正态分布
那么这个假设检验就是看检验统计量
是否落在正常范围之内
这个X一拔作为检验统计量
我们给出了它的分布了
这个X一拔是以0为期望
五分之一的平方为方差
这样的正态分布
这是在原点上下
X一拔应该服从的这个正常的分布
那么它这个正常分布下
哪一部分的取值是异常的
这个异常的部分
是由什么呢
是由这个备择假设给出的
那么当H1是μ大于0的时候
也就是说μ越大越异常
所以就意味着什么呢
X一拔越大越异常
那么X一拔大于0.4的时候这是拒绝域
所以说在这个拒绝域
是这个X一拔大于0.4的时候
应该是这样的一个设置
若果说这个备择假设是H1
H1比上μ不等于0
那也就是说不等于0的话偏大偏小
都是不正常的
都是异常的
所以说这个X一拔
还是服从这个分布以0为期望
以五分之一的平方为方差的正态分布
那么这是个I后拒绝域应该怎么选
应该选偏大的时候异常
偏小的时候也异常
这个是对应于什么呢
这样一个μ不等于0情况下的
这个拒绝域的形式
应该是双侧的拒绝域
那如果拒绝域是单侧的话
这个备择假设的提法μ大于0是异常的
μ不会小于0这个情况
好这个是问题如果μ可以小于0的话
那么这个μ不等于0是备择假设的话
那就应该是双侧的拒绝域
既然这个拒绝域这样来提了
所以一定反推
这个备择假设应该是这么提法
才是比较严谨的
好了那我们来看一看
这个所谓的第一个错误是什么
第一个错误就是当原假设成立的时候
这个什么呢
这个检验统计量恰好就落在了这个
异常的范围
因为原假设成立的时候
这个检验统计量也有一个很小的概率
会落在拒绝域内
这是没有办法避免的
所以这个第一类错误
这样也是这个假设检验中
这个不可避免的一类错误
但是也是人们希望控制的一类错误
所以人们就这个希望
这个第一类错误尽可能的小
我们要主动的控制
所以也通常把犯第一类错误的概率
也称为显著性水平
这个α实际上就是这个假设检验的
显著性水平
那我们来看看具体这个题目的解答
那么原假设成立就是μ等于0
那在原假设成立的情况下
拒绝了原假设
那就是什么
在原假设成立的条件下
这个检验统计量X一拔是大于0.4的
落入到了什么
落入到了这个拒绝域内
好了 那我们算这个概率
因为这个X一拔在这个μ等于0的条件下
是服从这个分布的
所以也就是X一拔
大于0.4这样一个分布
大于0.4的概率
那么首先把X一拔标准化
变成标准正态分布
也就是X一拔减0除以标准差
这是标准正态分布
大于等于什么 大于等于是0.4减去0
再除以什么
再除以1/5这就是2
标准正态分布随机变量
取值大于2的概率
也就是1减去
这个标准正态分布的分布函数
在2这个点的取值
那根据标准正态分布的对称性
这个值就等于Phi(-2)
所以我们对应答案就是这个B
好 所以这个就是关于这个假设检验
这个第一类错误的这样一个题目
好 我们就讲到这儿
-随机试验与随机事件
-古典概型
--1.2 古典概型
--第一周：古典概型
-事件间的关系与事件的运算
--第一周：事件间的关系与事件的运算
-两个著名的例子
--第一周：两个著名的例子
-讲义
-条件概率
--2.1 条件概率
--第二周：条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
--第二周：有关条件概率的三个重要计算公式
-事件的独立性
--第二周：事件的独立性
-应用实例
--2.4 应用实例
--第二周：应用实例
-网球比赛胜率的计算
--Video
-讲义
-随机变量及分布函数
--第三周：随机变量及分布函数
-离散型与连续型随机变量
--第三周：离散型与连续型随机变量
-分布函数的性质与特殊的例子
--第三周：分布函数的性质与特殊的例子
-概率论所需微积分要点回顾
--第三周：概率论所需微积分要点回顾
-讲义
-二项分布与负二项分布
--第四周：二项分布与负二项分布
-泊松分布
--4.2 泊松分布
--第四周：泊松分布
-几何分布与指数分布
--第四周：几何分布与指数分布
-正态分布
--4.4 正态分布
--第四周：正态分布
-讲义
-随机变量函数的分布
--第五周：随机变量函数的分布
-随机变量的数学期望
--第五周：随机变量的数学期望
-随机变量的方差
--第五周：随机变量的方差
-原点矩与中心矩
--第五周：原点矩与中心矩
-期望和方差的一些补充性质
--第五周：期望和方差的一些补充性质
-讲义
-二项分布与泊松分布的期望与方差
--第六周：二项分布与泊松分布的期望与方差
-几何分布的期望与方差
--第六周：几何分布的期望与方差
-均匀、指数和正态分布的期望与方差
--第六周：均匀、指数和正态分布的期望与方差
-随机变量数学期望的应用实例
--第六周：随机变量数学期望的应用实例
-快速排序算法的平均计算量分析
--Video
-讲义
-多维随机变量
-第七周：多维随机变量
-常见多维随机变量举例
--第七周：常见多维随机变量举例
-随机变量的独立性
--第七周：随机变量的独立性
-独立随机变量期望和方差的性质
--第七周：独立随机变量期望和方差的性质
-讲义
-条件分布
--8.1条件分布
--第八周：条件分布
-条件期望
--8.2 条件期望
--第八周：条件期望
-全期望公式（上）
--第八周：全期望公式（上）
-全期望公式（下）
--第八周：全期望公式（下）
-讲义
-随机变量函数的期望
--第九周：随机变量函数的期望
-协方差
--9.2 协方差
--第九周：协方差
-相关系数
-- 9.3 相关系数
--第九周：相关系数
-相关与独立
--第九周：相关与独立
-讲义
-独立随机变量和的分布
--第十周：独立随机变量和的分布
-独立正态分布和的分布
--第十周：独立正态分布和的分布
-最大值、最小值分布
--第十周：最大值、最小值分布
-顺序统计量
--第十周：顺序统计量
-讲义
-正态分布的相关与独立
--第十一周：正态分布的相关与独立
-边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
--第十一周：边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
-二项分布的正态近似
--第十一周：二项分布的正态近似
-正态近似计算实例
--第十一周：正态近似计算实例
-讲义
-大数定律
--12.1大数定律
--第十二周：大数定律
-中心极限定理
--第十二周：中心极限定理
-蒙特卡洛（Monte Carlo）算法
-伪随机数和随机模拟
-讲义
-统计学实例
-总体与样本
-常用统计量
--第十三周：常用统计量
-三种重要的统计分布和分位数
--第十三周：三种重要的统计分布和分位数
-讲义
-参数的矩估计
--第十四周：参数的矩估计
-参数的极大似然估计
--第十四周：参数的极大似然估计
-参数点估计的无偏性和有效性
--第十四周：参数点估计的无偏性和有效性
-参数点估计应用实例
--第十四周：参数点估计应用实例
-讲义
-区间估计的基本思想
--第十五周：区间估计的基本思想
-区间估计的构造方法
--第十五周：区间估计的构造方法
-两个正态总体的区间估计
--第十五周：两个正态总体的区间估计
-大样本置信区间
--第十五周：大样本置信区间
-讲义
-假设检验问题的提示和标准步骤
--第十六周：假设检验问题的提示和标准步骤
-假设检验问题的两类错误和P值
--第十六周：假设检验问题的两类错误和P值
-单个正态总体参数的假设检验
--第十六周：单个正态总体参数的假设检验
-拟合优度检验
--第十六周：拟合优度检验
-讲义
-利用条件概率计算网球比赛胜率
-利用期望的计算性质分析快速排序算法的平均计算量
-讲义
-事件
--事件
-分布函数
--分布函数
-正态
--正态
-指数与二项
--指数与二项
-随机变量函数的分布
-指数分布期望
--指数分布期望
-切比雪夫不等式
--切比雪夫
-二元离散
--二元离散
-协方差
--协方差
-二元特征
--二元特征
-统计量
--统计量
-无偏估计
--无偏估计
-点估计
--点估计
-假设检验
--假设检验
-选择
--选择
-填空
--填空
-大题
--大题
