当前课程知识点：概率论与数理统计 > 习题课一 > 事件 > 事件
这个题目考查事件AB相互独立
与这样一个条件概率事之间的关系
那么从AB独立很显然可以推出
这个条件概率关系
那么B条件下A的概率
和B补条件下A的概率
都等于A的概率
因为这就是AB事件相互独立的概率意义
AB事件相互独立的概率意义
就是A发生与否不影响B发生的概率
以及B发生与否也不影响A的发生概率
那么这样一个概率意义下的关系
如何通过可计算的方式来验证呢
那么就是要验证AB积事件的概率
是否等于事件A和事件B概率的乘积
如果这个式子相等
AB事件就是相互独立的
如果这个式子不等
AB事件就是不独立的
所以我们下面来验证
从这个条件式子是否可以推出
AB的积事件的概率等于
A的概率乘以B的概率
那么通过条件概率式的定义
得到这个式子
那进一步推导 主要是这里
AB补的概率
等于Pa的概率减去Pab的概率
因为Pa的概率可以拆分成
AB和AB补的概率和
这样的话我们进一步推导
中间约掉了这一项
就得到了Pab等于Pa乘Pb
那么就验证了AB独立
与这个条件概率式
这样一个等式的关系是充分必要条件
它们是互为充分必要条件的
这个题目考查ABC
三个事件相互独立的充分必要条件
我们知道ABC三个事件相互独立的
充分必要条件是
ABC三事件两两独立
再加另外一个条件
Pabc等于Pa乘Pb乘Pc
好 那么这个ABC事件两两独立
以及这样一个概率式成立
就和什么呢
ABC三事件相互独立
是互为充分必要条件的
所以我们这个题目就是要验证
ABCD四个选项
哪一个能够推出Pabc
等于Pa乘Pb乘Pc这个关系
首先看A选项
如果A与BC独立
那么显然可以推出
Pabc等于Pa乘以Pbc
因为ABC事件两两独立
所以Pbc就等于Pb乘Pc
就推出了这个式子
所以说条件A就是
ABC相互独立的充分必要条件
如果作为一个选择题我们选A 就选完了
但是现在我们来做练习
所以我们再看一看BCD三个条件
分别能够推出什么结果
那么首先看这个
AB与A并C独立
那么仍然我们利用这个事件独立的
这个概率的拆分式就得到
AB和A并C它们积事件的概率就等于
Pab乘Pa并C
那前面这个式子
这个AB和A并C的积事件
我们可以把这个AB和A的积事件
再并上AB和C的积事件
所以这个式子它就等于
Paba并什么呢 ABC
就等于什么
就等于AB并上ABC
同时因为AB事件包含ABC
所以这俩事件的并集的概率
就等于Pab
好 那我们右边写 这个Pab约掉
就得到了什么
A并C的概率一定等于1
这个当然它和Pabc
是否等于Pa乘Pb乘Pc
没有必然的联系
所以这个B条件
它不能够决定ABC相互独立
那么选项C条件是AB与AC独立
这样的话我们进行推导
就得到了Pabc等于
Pa的平方乘以Pb Pc
那么这里只有Pa等于1的时候
这个Pabc才会等于
后面这三个事件的概率乘积
当Pa小于1的时候
这就是严格的小于号
所以当然从C条件
就不能够推出ABC相互独立
D条件是A并B与AB独立
A并B与AB独立
就推出了这样的概率式子
那么其中AB事件是包含于A并B的
所以它们积事件的概率就等于Pab
那我们同样约掉Pab
这个D条件推出了
A并B的概率一定是1
同样它不能够决定ABC是相互独立的
这个题目考查事件的表达
以及事件的概率计算
首先我们把这个事件A发生 B不发生
与事件A不发生B发生
用这个事件语言表达出来
那么也就是A发生 B不发生是AB补
A不发生 B发生是A补B
这两个概率相等
因为A和B是相互独立的
所以A和B补以及A补和B
也是相互独立的
那么我们就可以利用这个概率展开式
进一步B补的概率等于1-B的概率
A补的概率等于1-A的概率
这样展开计算
Pab Pa Pb约掉了
得到了Pa等于Pb
我们再利用
A和B都不发生的概率为九分之一
就是A补 B补的积事件的概率
等于九分之一
仍然利用独立性把这两个概率展开
那就得到了
通过Pa等于Pb 以及这样两个表达式
得到了Pa补等于三分之一
所以Pa等于三分之二
另外我们还可以利用事件A的
这样一个展开关系
那么A就等于AB并上AB补
而且AB和AB补的交集为空
那么这样的话Pa就等于
Pab加上Pab补
然后我们进一步展开计算
Pab加Pa补b
这里利用了Pab补等于
Pa补b的关系
那么后面这个式子恰好就等于Pb
这样的话我们就推出了Pa等于Pb
也就是Pa补等于Pb补
同样我们利用这个展开式又得到了
Pa等于三分之二
好 这个题就讲到这
-随机试验与随机事件
-古典概型
--1.2 古典概型
--第一周：古典概型
-事件间的关系与事件的运算
--第一周：事件间的关系与事件的运算
-两个著名的例子
--第一周：两个著名的例子
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-条件概率
--2.1 条件概率
--第二周：条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
--第二周：有关条件概率的三个重要计算公式
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--第二周：事件的独立性
-应用实例
--2.4 应用实例
--第二周：应用实例
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-随机变量及分布函数
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--第三周：离散型与连续型随机变量
-分布函数的性质与特殊的例子
--第三周：分布函数的性质与特殊的例子
-概率论所需微积分要点回顾
--第三周：概率论所需微积分要点回顾
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--4.2 泊松分布
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-几何分布与指数分布
--第四周：几何分布与指数分布
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--4.4 正态分布
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--第五周：随机变量函数的分布
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-期望和方差的一些补充性质
--第五周：期望和方差的一些补充性质
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-均匀、指数和正态分布的期望与方差
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-第七周：多维随机变量
-常见多维随机变量举例
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