当前课程知识点:概率论与数理统计 > 第八周:条件分布与条件期望 > 条件期望 > 8.2 条件期望
有了条件分布的概念
就可以定义条件期望
考虑Y=y条件下
随机变量X的期望
当(X,Y)为离散型随机变量时
条件期望等于xi
乘以Y条件下X=xi的概率
对所有i求和
当(X,Y)为连续型随机变量时
条件期望等于xi乘以
Y条件下X=xi的密度概率
对x从负无穷到正无穷积分
假设我们独立地抛掷
两枚均匀的六面色子
令X表示第一枚色子抛出的点数
Y表示第二枚色子掷出的点数
Z表示两枚色子的点数和
求X=2条件下Z的期望
以及Z=5条件下X的期望
X=2条件下Z的期望
因为X=2时
当Y分别从1取到6时
Z分别等于3 4 5 6 7 8
所以条件期望等于
k乘以X=2条件下
Z=k的概率
k从3到8求和
等于k乘以6分之1对k从3到8求和
等于2分之11
Z=5条件下X的期望
当Z=5时
X有1 2 3 4等4个取值的可能
所以条件期望等于
k乘以Z=5条件下X=k的概率
k从1到4求和
按照条件概率公式展开
等于k乘以Z=5的概率分之X=k
Z=5的概率
每一个X=k Z=5的概率
等于X=k的概率
乘以Y=5-k的概率
等于36分之1
而Z=5的概率等于36分之4
最终计算得到条件期望等于2分之5
考虑随机变量X
其密度函数为阶梯形函数
当x大于0小于1时
密度函数等于3分之2
当x大于1小于2时
密度函数等于3分之1
当x为其他值时
密度函数等于0
设事件A为随机变量X落入[1,2]区间
求事件A条件下随机变量X的条件期望
先计算A条件下X的条件密度
当x小于1或x大于等于2时
事件A不发生
所以条件密度等于0
当x大于1小于2时
事件A发生
其发生概率等于随机变量取值在
大于等于1小于2区间的概率
等于3分之1
此时 即x大于等于1小于2时
A条件下 X的条件密度等于
密度函数除以事件A的概率 等于1
事件A条件下X的条件期望
等于x乘以条件密度函数
从负无穷到正无穷积分
而条件密度函数只有在[1,2]区间非零
所以等于x乘以条件密度函数
在[1,2]区间的积分
等于2分之3
X Y为两个随机变量
表达式Y条件下X的条件期望
也表示一个随机变量
以Y为离散型随机变量的情形进行说明
随机变量Y有y1 y2 直到yn等等取值
则E(X|Y)表示取值为
Y=y1条件下X的期望
Y=y2条件下X的期望
直到Y=yn条件下X的期望等等
而对应概率为Y=y1的概率
Y=y2的概率
直到Y=yn的概率等等
这样的离散型随机变量
这里强调的是E(X|Y)
不是一个实数值
而是一个取值依赖于Y的随机变量
也可以这样理解
E(X|Y)是随机变量Y的一个函数
具体的映射关系就是
g(yn)等于Y=yn条件下X的期望
仍然考虑上一节投掷两枚色子的例子
独立地抛掷两枚均匀的六面色子
令X表示第一枚色子抛出的点数
Y表示第二枚色子掷出的点数
Z表示两枚色子的点数和
求X条件下Z的期望
对所有X可能的取值
k等于1 2 3 4 5 6
计算X等于k条件下Z的条件期望
得到条件期望等于k加2分之7
所以E(Z|X)为离散随机变量
取值为1+2分之7 2+2分之7
直至6+2分之7
6个取值对应的概率均为6分之1
也可以直接将E(Z|X)表示为
X的函数的形式
因为Z=X+Y
所以X条件下
Z的取值可能是X+1 X+2
直到X+6 6种可能
所以该期望等于
X+k乘以
X条件下Z等于 X+k的概率
k从1到6求和
而每个X条件下
Z等于X+k的概率均为6分之1
所以等于X+k乘以6分之1
k从1到6求和
等于X加2分之7
再举一个例子
设随机变量X服从
参数为p的几何分布
随机变量Y依赖于X
当X=1时 Y=1
当X大于1时 Y等于0
求条件期望E(X|Y)
分别计算随机变量Y等于1
和Y=0条件下X的期望
因为Y=1时
X等于1为常数
所以Y=1条件下
X的期望等于1
Y等于0条件下X的期望
即为X大于1条件下X的期望
此时X的取值为
大于等于2的所有正整数
条件期望为k乘以
X大于1条件下X=k的概率
k从2到无穷求和
因为几何分布的无记忆性
X大于1的条件相当于
浪费了一次伯努利试验
所以X大于1条件下
X等于k的概率即为
X等于k-1的概率
再将k拆分为k-1加1
用i替换k-1
得到两部分求和分别为
i乘以X等于i的概率
i从1到无穷求和
以及几何分布所有取值的概率求和
前一部分求和为X的期望
后一部分求和等于1
所以得到Y=0条件下
X的期望等于1加p分之1
因为Y=0 Y=1的概率
分别为1-p和p
所以Y条件下X的期望为
取值为1+p分之1和1
概率分别为1-p和p的
离散分布随机变量
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-古典概型
--1.2 古典概型
--第一周:古典概型
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--第一周:事件间的关系与事件的运算
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--第一周:两个著名的例子
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--2.1 条件概率
--第二周:条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
--第二周:有关条件概率的三个重要计算公式
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--第二周:事件的独立性
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--2.4 应用实例
--第二周:应用实例
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--第四周:二项分布与负二项分布
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--4.2 泊松分布
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--4.4 正态分布
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