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8.2 条件期望在线视频

8.2 条件期望

下一节:8.3 全期望公式(上)

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8.2 条件期望课程教案、知识点、字幕

有了条件分布的概念

就可以定义条件期望

考虑Y=y条件下

随机变量X的期望

当(X,Y)为离散型随机变量时

条件期望等于xi

乘以Y条件下X=xi的概率

对所有i求和

当(X,Y)为连续型随机变量时

条件期望等于xi乘以

Y条件下X=xi的密度概率

对x从负无穷到正无穷积分

假设我们独立地抛掷

两枚均匀的六面色子

令X表示第一枚色子抛出的点数

Y表示第二枚色子掷出的点数

Z表示两枚色子的点数和

求X=2条件下Z的期望

以及Z=5条件下X的期望

X=2条件下Z的期望

因为X=2时

当Y分别从1取到6时

Z分别等于3 4 5 6 7 8

所以条件期望等于

k乘以X=2条件下

Z=k的概率

k从3到8求和

等于k乘以6分之1对k从3到8求和

等于2分之11

Z=5条件下X的期望

当Z=5时

X有1 2 3 4等4个取值的可能

所以条件期望等于

k乘以Z=5条件下X=k的概率

k从1到4求和

按照条件概率公式展开

等于k乘以Z=5的概率分之X=k

Z=5的概率

每一个X=k Z=5的概率

等于X=k的概率

乘以Y=5-k的概率

等于36分之1

而Z=5的概率等于36分之4

最终计算得到条件期望等于2分之5

考虑随机变量X

其密度函数为阶梯形函数

当x大于0小于1时

密度函数等于3分之2

当x大于1小于2时

密度函数等于3分之1

当x为其他值时

密度函数等于0

设事件A为随机变量X落入[1,2]区间

求事件A条件下随机变量X的条件期望

先计算A条件下X的条件密度

当x小于1或x大于等于2时

事件A不发生

所以条件密度等于0

当x大于1小于2时

事件A发生

其发生概率等于随机变量取值在

大于等于1小于2区间的概率

等于3分之1

此时 即x大于等于1小于2时

A条件下 X的条件密度等于

密度函数除以事件A的概率 等于1

事件A条件下X的条件期望

等于x乘以条件密度函数

从负无穷到正无穷积分

而条件密度函数只有在[1,2]区间非零

所以等于x乘以条件密度函数

在[1,2]区间的积分

等于2分之3

X Y为两个随机变量

表达式Y条件下X的条件期望

也表示一个随机变量

以Y为离散型随机变量的情形进行说明

随机变量Y有y1 y2 直到yn等等取值

则E(X|Y)表示取值为

Y=y1条件下X的期望

Y=y2条件下X的期望

直到Y=yn条件下X的期望等等

而对应概率为Y=y1的概率

Y=y2的概率

直到Y=yn的概率等等

这样的离散型随机变量

这里强调的是E(X|Y)

不是一个实数值

而是一个取值依赖于Y的随机变量

也可以这样理解

E(X|Y)是随机变量Y的一个函数

具体的映射关系就是

g(yn)等于Y=yn条件下X的期望

仍然考虑上一节投掷两枚色子的例子

独立地抛掷两枚均匀的六面色子

令X表示第一枚色子抛出的点数

Y表示第二枚色子掷出的点数

Z表示两枚色子的点数和

求X条件下Z的期望

对所有X可能的取值

k等于1 2 3 4 5 6

计算X等于k条件下Z的条件期望

得到条件期望等于k加2分之7

所以E(Z|X)为离散随机变量

取值为1+2分之7 2+2分之7

直至6+2分之7

6个取值对应的概率均为6分之1

也可以直接将E(Z|X)表示为

X的函数的形式

因为Z=X+Y

所以X条件下

Z的取值可能是X+1 X+2

直到X+6 6种可能

所以该期望等于

X+k乘以

X条件下Z等于 X+k的概率

k从1到6求和

而每个X条件下

Z等于X+k的概率均为6分之1

所以等于X+k乘以6分之1

k从1到6求和

等于X加2分之7

再举一个例子

设随机变量X服从

参数为p的几何分布

随机变量Y依赖于X

当X=1时 Y=1

当X大于1时 Y等于0

求条件期望E(X|Y)

分别计算随机变量Y等于1

和Y=0条件下X的期望

因为Y=1时

X等于1为常数

所以Y=1条件下

X的期望等于1

Y等于0条件下X的期望

即为X大于1条件下X的期望

此时X的取值为

大于等于2的所有正整数

条件期望为k乘以

X大于1条件下X=k的概率

k从2到无穷求和

因为几何分布的无记忆性

X大于1的条件相当于

浪费了一次伯努利试验

所以X大于1条件下

X等于k的概率即为

X等于k-1的概率

再将k拆分为k-1加1

用i替换k-1

得到两部分求和分别为

i乘以X等于i的概率

i从1到无穷求和

以及几何分布所有取值的概率求和

前一部分求和为X的期望

后一部分求和等于1

所以得到Y=0条件下

X的期望等于1加p分之1

因为Y=0 Y=1的概率

分别为1-p和p

所以Y条件下X的期望为

取值为1+p分之1和1

概率分别为1-p和p的

离散分布随机变量

概率论与数理统计课程列表:

第一周:随机事件及其概率运算

-随机试验与随机事件

--1.1 随机试验与随机事件

-古典概型

--1.2 古典概型

--第一周:古典概型

-事件间的关系与事件的运算

--1.3 事件间的关系与事件的运算

--第一周:事件间的关系与事件的运算

-两个著名的例子

--1.4 两个著名的例子

--第一周:两个著名的例子

-讲义

第二周:条件概率和独立性

-条件概率

--2.1 条件概率

--第二周:条件概率

-有关条件概率的三个重要计算公式

--2.2 条件概率的三个重要计算公式

--第二周:有关条件概率的三个重要计算公式

-事件的独立性

--2.3 事件的独立性

--第二周:事件的独立性

-应用实例

--2.4 应用实例

--第二周:应用实例

-网球比赛胜率的计算

--Video

-讲义

第三周:随机变量

-随机变量及分布函数

--3.1.随机变量及分布函数

--第三周:随机变量及分布函数

-离散型与连续型随机变量

--3.2 离散型随机变量

--第三周:离散型与连续型随机变量

-分布函数的性质与特殊的例子

--3.3 分布函数的性质与特殊的例子

--第三周:分布函数的性质与特殊的例子

-概率论所需微积分要点回顾

--3.4 概率论所需微积分要点回顾

--第三周:概率论所需微积分要点回顾

-讲义

第四周:常见随机变量

-二项分布与负二项分布

--4.1 二项分布与负二项分布

--第四周:二项分布与负二项分布

-泊松分布

--4.2 泊松分布

--第四周:泊松分布

-几何分布与指数分布

--4.3 几何分布与指数分布

--第四周:几何分布与指数分布

-正态分布

--4.4 正态分布

--第四周:正态分布

-讲义

第五周:随机变量函数的分布及随机变量的数字特征

-随机变量函数的分布

--5.1 随机变量函数的分布

--第五周:随机变量函数的分布

-随机变量的数学期望

--5.2 随机变量的数学期望

--第五周:随机变量的数学期望

-随机变量的方差

--5.3 随机变量的方差

--第五周:随机变量的方差

-原点矩与中心矩

--5.4 原点矩与中心矩

--第五周:原点矩与中心矩

-期望和方差的一些补充性质

--5.5 期望和方差的一些补充性质

--第五周:期望和方差的一些补充性质

-讲义

第六周:常见随机变量的期望方差和应用实例

-二项分布与泊松分布的期望与方差

--6.1二项分布与泊松分布的期望与方差

--第六周:二项分布与泊松分布的期望与方差

-几何分布的期望与方差

--6.2 几何分布的期望与方差

--第六周:几何分布的期望与方差

-均匀、指数和正态分布的期望与方差

--6.3 均匀、指数和正态分布的期望与方差

--第六周:均匀、指数和正态分布的期望与方差

-随机变量数学期望的应用实例

--6.4 随机变量数学期望的应用实例

--第六周:随机变量数学期望的应用实例

-快速排序算法的平均计算量分析

--Video

-讲义

第七周:多维随机变量,独立性

-多维随机变量

--7.1. 多维随机变量

-第七周:多维随机变量

-常见多维随机变量举例

--7.2. 常见多维随机变量举例

--第七周:常见多维随机变量举例

-随机变量的独立性

--7.3 随机变量的独立性

--第七周:随机变量的独立性

-独立随机变量期望和方差的性质

--7.4 独立随机变量期望和方差的性质

--第七周:独立随机变量期望和方差的性质

-讲义

第八周:条件分布与条件期望

-条件分布

--8.1条件分布

--第八周:条件分布

-条件期望

--8.2 条件期望

--第八周:条件期望

-全期望公式(上)

--8.3 全期望公式(上)

--第八周:全期望公式(上)

-全期望公式(下)

--8.4 全期望公式(下)

--第八周:全期望公式(下)

-讲义

第九周 协方差与相关系数

-随机变量函数的期望

--9.1. 随机变量函数的期望

--第九周:随机变量函数的期望

-协方差

--9.2 协方差

--第九周:协方差

-相关系数

-- 9.3 相关系数

--第九周:相关系数

-相关与独立

--9.4 相关与独立

--第九周:相关与独立

-讲义

第十周 独立随机变量和的分布与顺序统计量

-独立随机变量和的分布

--10.1. 独立随机变量和的分布

--第十周:独立随机变量和的分布

-独立正态分布和的分布

--10.2 独立正态分布和的分布

--第十周:独立正态分布和的分布

-最大值、最小值分布

--10.3 最大值、最小值分布

--第十周:最大值、最小值分布

-顺序统计量

--10.4 顺序统计量

--第十周:顺序统计量

-讲义

第十一周 正态分布专题

-正态分布的相关与独立

--11.1 正态分布的相关与独立

--第十一周:正态分布的相关与独立

-边缘密度均为正态,联合分布不是二元正态的例子

--11.2 边缘密度均为正态,联合分布不是二元正态的例子

--第十一周:边缘密度均为正态,联合分布不是二元正态的例子

-二项分布的正态近似

--11.3 二项分布的正态近似

--第十一周:二项分布的正态近似

-正态近似计算实例

--11.4 正态近似计算实例

--第十一周:正态近似计算实例

-讲义

第十二周 大数定律和中心极限定理

-大数定律

--12.1大数定律

--第十二周:大数定律

-中心极限定理

--12.2 中心极限定理

--第十二周:中心极限定理

-蒙特卡洛(Monte Carlo)算法

--12.3 蒙特卡洛(Monte Carlo)算法

-伪随机数和随机模拟

--12.4 伪随机数和随机模拟

-讲义

第十三周 统计学基本概念

-统计学实例

--13.1 统计学实例

-总体与样本

--13.2.总体与样本

-常用统计量

--13.3 常用统计量

--第十三周:常用统计量

-三种重要的统计分布和分位数

--13.4 三种重要的统计分布和分位数

--第十三周:三种重要的统计分布和分位数

-讲义

第十四周 参数点估计

-参数的矩估计

--14.1参数的矩估计法

--第十四周:参数的矩估计

-参数的极大似然估计

--14.2参数的极大似然估计法

--第十四周:参数的极大似然估计

-参数点估计的无偏性和有效性

--14.3 参数点估计的无偏性和有效性

--第十四周:参数点估计的无偏性和有效性

-参数点估计应用实例

--14.4 参数点估计应用实例

--第十四周:参数点估计应用实例

-讲义

第十五周 参数的区间估计

-区间估计的基本思想

--15.1 区间估计的基本思想

--第十五周:区间估计的基本思想

-区间估计的构造方法

--15.2 区间估计的构造方法

--第十五周:区间估计的构造方法

-两个正态总体的区间估计

--15.3 两个正态总体的区间估计

--第十五周:两个正态总体的区间估计

-大样本置信区间

--15.4 大样本置信区间

--第十五周:大样本置信区间

-讲义

第十六周 假设检验

-假设检验问题的提示和标准步骤

--16.1假设检验问题的提示和标准步骤

--第十六周:假设检验问题的提示和标准步骤

-假设检验问题的两类错误和P值

--16.2假设检验问题的两类错误和P值

--第十六周:假设检验问题的两类错误和P值

-单个正态总体参数的假设检验

--16.3 单个正态总体参数的假设检验

--第十六周:单个正态总体参数的假设检验

-拟合优度检验

--16.4拟合优度检验

--第十六周:拟合优度检验

-讲义

应用实例

-利用条件概率计算网球比赛胜率

--利用条件概率计算网球比赛胜率

-利用期望的计算性质分析快速排序算法的平均计算量

--利用期望的计算性质分析快速排序算法的平均计算量

-讲义

习题课一

-事件

--事件

-分布函数

--分布函数

-正态

--正态

-指数与二项

--指数与二项

习题课二

-随机变量函数的分布

--随机变量函数的分布

-指数分布期望

--指数分布期望

-切比雪夫不等式

--切比雪夫

-二元离散

--二元离散

-协方差

--协方差

-二元特征

--二元特征

习题课三

-统计量

--统计量

-无偏估计

--无偏估计

-点估计

--点估计

-假设检验

--假设检验

习题课四

-选择

--选择

-填空

--填空

-大题

--大题

8.2 条件期望笔记与讨论

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