当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第三周：随机变量 > 离散型与连续型随机变量 > 3.2 离散型随机变量
在处理实际概率问题的时候
为了便于使用
人们按照随机变量
所具有的不同共性特征
将随机变量进行分类
针对不同随机变量的特点
总结出更适合
分析与计算的表达形式
最经常使用的是
是离散型与连续型这两种随机变量
如果随机变量X
所有可能的取值
是有限或可列多个
则称为离散型随机变量
其分布可表示为如下表列的形式
其中p_i等于随机变量取值为xi的概率
这里列出了随机变量
每个可能的取值对应的概率
使用起来往往比
直接使用分布函数更方便
这种表达方式称为
离散分布的分布列
这里所有的pi均大于等于0
而且全部pi求和等于1
随机变量X的分布函数
也可以通过分布列得到
即F(x)等于
对所有满足小于等于x的
xi的概率求和
离散型随机变量的分布函数为阶梯形函数
这里补充说明一下什么是“可列”
可列也称“可数”
是指某种无穷集合元素的个数
如果一个包含无穷个元素的集合
它的所有元素都可以用自然数进行编号
用a1 a2 a3的方式完全罗列出来
则称这个集合的元素个数
是可列多个或可数多个
例如 所有正的偶数构成的集合
将集合元素按照从小到大的顺序排列
则其第n个元素即为2n
一直罗列下去
就可以表达出所有元素
还可以证明有理数集合的元素也是可数的
即可以设定一个规则
给每一个有理数赋予一个特定编号
一个一个数下去
就能够数完全体有理数
但并不是所有无穷集合都是可数的
实数集合
即使是限定在(0,1）区间上
其元素的个数也是不可数的
无法给出一种编号规则
遍历该集合所有的元素
这些证明无法在这里展开
希望同学们对可列
或可数的概念有一个感性的了解就好了
19世纪末
德国数学家康托尔开创了集合论
并引入“可数”这个概念
康托尔开创的理论
是自古希腊时代的二千多年以来
人类认识史上
第一次给无穷建立起抽象的
形式符号系统和确定的运算
它从本质上揭示了无穷的特性
这些理论的应用渗透到数学的各个分支
成为实变函数论 代数拓扑
群论和泛函分析等等理论的基础
最简单的离散分布是两点分布
即随机变量只有两个可能的取值
a0和a1
取到a0和a1的概率分别为p,q
并满足p+q=1
最常用的两点分布是0-1分布
即取值为0,1的两点分布
这个分布也称为伯努利分布
当x小于0是分布函数等于0
x大于等于1是分布函数等于1
x大于等于0小于1时分布函数等于p
已知某个随机变量X的分布函数为F(x)
如果存在非负函数f(x)
使得对任意实数x
该非负函数从-∞到x的积分均
等于分布函数在x点的取值
则称X为连续型随机变量
f(x)称为随机变量X的概率密度函数
简称密度函数
显然对任意连续型随机变量X
其密度函数一定满足从-∞到+∞的积分等于1
反之，给定一个非负函数f(x)
如果该函数从-∞到+∞的积分等于1
则由该函数从-∞到x积分定义的F(x)
是一连续型的分布函数
连续型随机变量的分布函数
一定是R上的连续函数
但分布函数在R上连续的随机变量
不一定都是连续型的随机变量
连续型随机变量最重要的特征
就是它具有密度函数
在a,b区间上等可能取值的随机变量
称为a,b区间上的均匀分布
均匀分布在 a,b区间上的
等可能性决定它的密度函数
在a,b区间上必为常数
而密度函数围成的面积为1
所以均匀分布的密度函数f(x)在a,b区间上
等于（b-a）分之1
其他地方为0
由密度函数可计算出
分布函数F(x)在x小于a时为0
在a到b区间内从0线性增长到1
当x超过b时 F(x)等于1
(显示图)其密度函数和分布函数如图所示
均匀分布含两个参数a,b
当它们确定时
这个分布就完全决定了
密度函数等于pi分之1
乘以1加x方分之1的
随机变量称为柯西分布
这里的柯西就是用
以命名柯西不等式的柯西
柯西是数学史上最高产的数学家之一
用柯西的名字命名
还有柯西中值定理等
显然这个密度函数
在整个实数域上都大于等于0
我们再验证
这个函数从-∞到+∞的积分为1
计算过程利用了基本的积分公式
1加x方分之1的积分为arctan x
利用了基本的积分公式
1加x方分之1的积分为arctan x
x趋于无穷时arctanx等于pi/2
x趋于负无穷时arctanx等于-pi/2
所以积分值为1
某电子元件的寿命X的密度函数为f(x)
计算其寿命不超过1500小时的概率
即计算事件｛随机变量x小于等于1500}的概率
对密度函数从-∞到1500积分
因为X小于等于1000时密度函数为0
所以等于计算
函数x方分之1000在1000到1500区间上的积分
算出x方分之1000的原函数为负x分之1000
得到概率为1/3
有一只元件已经使用1500小时
求该元件能够再继续使用500小时的概率
这是一个典型的条件概率计算
写出条件概率表达式
X大于等于1500条件下
X大于等于2000的概率
利用条件概率的定义展开
分母为事件X大于等于1500的概率
等于1减去X小于等于1500的概率
分子为X大于等于1500
和X大于等于2000的积事件
大于等于2000包含于大于等于1500
所以积事件就等于X大于等于2000
因为X小于等于1500的概率为1/3
所以分母部分等于2/3
分子部分对密度函数从2000到正无穷积分
等于1/2 算得计算结果为3/4
-随机试验与随机事件
-古典概型
--1.2 古典概型
--第一周：古典概型
-事件间的关系与事件的运算
--第一周：事件间的关系与事件的运算
-两个著名的例子
--第一周：两个著名的例子
-讲义
-条件概率
--2.1 条件概率
--第二周：条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
--第二周：有关条件概率的三个重要计算公式
-事件的独立性
--第二周：事件的独立性
-应用实例
--2.4 应用实例
--第二周：应用实例
-网球比赛胜率的计算
--Video
-讲义
-随机变量及分布函数
--第三周：随机变量及分布函数
-离散型与连续型随机变量
--第三周：离散型与连续型随机变量
-分布函数的性质与特殊的例子
--第三周：分布函数的性质与特殊的例子
-概率论所需微积分要点回顾
--第三周：概率论所需微积分要点回顾
-讲义
-二项分布与负二项分布
--第四周：二项分布与负二项分布
-泊松分布
--4.2 泊松分布
--第四周：泊松分布
-几何分布与指数分布
--第四周：几何分布与指数分布
-正态分布
--4.4 正态分布
--第四周：正态分布
-讲义
-随机变量函数的分布
--第五周：随机变量函数的分布
-随机变量的数学期望
--第五周：随机变量的数学期望
-随机变量的方差
--第五周：随机变量的方差
-原点矩与中心矩
--第五周：原点矩与中心矩
-期望和方差的一些补充性质
--第五周：期望和方差的一些补充性质
-讲义
-二项分布与泊松分布的期望与方差
--第六周：二项分布与泊松分布的期望与方差
-几何分布的期望与方差
--第六周：几何分布的期望与方差
-均匀、指数和正态分布的期望与方差
--第六周：均匀、指数和正态分布的期望与方差
-随机变量数学期望的应用实例
--第六周：随机变量数学期望的应用实例
-快速排序算法的平均计算量分析
--Video
-讲义
-多维随机变量
-第七周：多维随机变量
-常见多维随机变量举例
--第七周：常见多维随机变量举例
-随机变量的独立性
--第七周：随机变量的独立性
-独立随机变量期望和方差的性质
--第七周：独立随机变量期望和方差的性质
-讲义
-条件分布
--8.1条件分布
--第八周：条件分布
-条件期望
--8.2 条件期望
--第八周：条件期望
-全期望公式（上）
--第八周：全期望公式（上）
-全期望公式（下）
--第八周：全期望公式（下）
-讲义
-随机变量函数的期望
--第九周：随机变量函数的期望
-协方差
--9.2 协方差
--第九周：协方差
-相关系数
-- 9.3 相关系数
--第九周：相关系数
-相关与独立
--第九周：相关与独立
-讲义
-独立随机变量和的分布
--第十周：独立随机变量和的分布
-独立正态分布和的分布
--第十周：独立正态分布和的分布
-最大值、最小值分布
--第十周：最大值、最小值分布
-顺序统计量
--第十周：顺序统计量
-讲义
-正态分布的相关与独立
--第十一周：正态分布的相关与独立
-边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
--第十一周：边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
-二项分布的正态近似
--第十一周：二项分布的正态近似
-正态近似计算实例
--第十一周：正态近似计算实例
-讲义
-大数定律
--12.1大数定律
--第十二周：大数定律
-中心极限定理
--第十二周：中心极限定理
-蒙特卡洛（Monte Carlo）算法
-伪随机数和随机模拟
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-统计学实例
-总体与样本
-常用统计量
--第十三周：常用统计量
-三种重要的统计分布和分位数
--第十三周：三种重要的统计分布和分位数
-讲义
-参数的矩估计
--第十四周：参数的矩估计
-参数的极大似然估计
--第十四周：参数的极大似然估计
-参数点估计的无偏性和有效性
--第十四周：参数点估计的无偏性和有效性
-参数点估计应用实例
--第十四周：参数点估计应用实例
-讲义
-区间估计的基本思想
--第十五周：区间估计的基本思想
-区间估计的构造方法
--第十五周：区间估计的构造方法
-两个正态总体的区间估计
--第十五周：两个正态总体的区间估计
-大样本置信区间
--第十五周：大样本置信区间
-讲义
-假设检验问题的提示和标准步骤
--第十六周：假设检验问题的提示和标准步骤
-假设检验问题的两类错误和P值
--第十六周：假设检验问题的两类错误和P值
-单个正态总体参数的假设检验
--第十六周：单个正态总体参数的假设检验
-拟合优度检验
--第十六周：拟合优度检验
-讲义
-利用条件概率计算网球比赛胜率
-利用期望的计算性质分析快速排序算法的平均计算量
-讲义
-事件
--事件
-分布函数
--分布函数
-正态
--正态
-指数与二项
--指数与二项
-随机变量函数的分布
-指数分布期望
--指数分布期望
-切比雪夫不等式
--切比雪夫
-二元离散
--二元离散
-协方差
--协方差
-二元特征
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-无偏估计
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-点估计
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