当前课程知识点：概率论与数理统计 > 习题课三 > 点估计 > 点估计
总体X服从两个参数的指数分布
参数λ就是通常意义下的
指数分布的参数
这个参数θ代表了一个平移的含义
好了 那我们这个X1到Xn是
总体X的一个简单随机样本
那计算参数λ和θ的矩估计量
以及当θ等于2的时候
参数λ的最大自然估计量
首先我们估计λ和θ矩估计量
那么两个参数的矩估计
就需要两个矩的关系
这里我们选取的是一阶原点矩
和二阶原点矩
那么利用样本均值和二阶样本原点矩
我们建立了这个矩估计的方程
下面我们来计算总体的一阶原点矩
和二阶原点矩的理论表达式
然后我们得到了用参数表达的
这两个矩的理论式子
就可以来通过解这个矩估计方程得到
这个相应的参数估计
首先我们来计算这个x的一阶原点矩
也就是X的期望
好 那么代入这个期望的表达式
这里这个指数部分
在积分的时候我们希望指数部分
尽可能的简单
所以我们这里做一个替换
x减θ等于t
做这样一个替换
好了得到了这个积分式
这个积分式利用它的概率意义
就很容易得到它的值
首先t乘以这个密度函数就是什么呢
就是参数是λ的指数分布的
随机变量期望
那这个θ是常数乘以这个密度函数
密度函数从0到正无穷积分是1
所以就等于这个参数θ
好了 我们算出了这个一阶原点矩
也就是说总体的期望
等于λ分之一加θ
下面我们算这个二阶原点矩
同样我们代入期望的积分式子
我们把这个指数部分做一个处理
让x减θ等于t
好了 那么这个
做了？？变换之后得到这样一个积分式子
这个积分我们仍然是用它的概率意义
来进行计算比较简便
那么这个t加θ方就分成了三项
第一项就是参数是λ
指数分布随机变量
平方的期望积分式
那么这个平方的期望就等于
方差加上期望的平方
所以等于λ方分之二
这就是期望的表达式 就是λ分之一
这部分就是
密度函数在0到正无穷积分就是1
所以得到这样一个结果
那为了后面的计算方便我们
把这个λ分之一加θ
做一个整体来表达
经过整理得到这样一个式子
好了 下面我们来求解这个矩估计的方程
好 那我们要用什么呢
要用这个统计量来解出这个参数
那么就得到这个相应参数的矩估计量
好 首先我们解出这个λ平方分之一
λ平方分之一 等于这个式子
当然这里面我们又多处理了一步
这两个等价的关系
当然如果不知道这个关系没关系
就直接写这个
这是完全正确的
好了 那这个统计量表达式相对复杂一点
我们把它记作S0方
好了 那我们就得到了这个λ的矩估计量
就是S0分之一
我们再利用这个关系式
因为这个λ已经知道了
来解出θ
好了 这个θ的这个矩估计量就是
X一把减去λ一尖分之一
等于X一把减S0
好了这是矩估计
下面我们来看最大自然估计
最大自然估计就是求这个自然函数的
最大值
那我们给定了一组观测值X1到Xn
那自然函数就是X1到Xn
它所发生的联合概率或者联合概率密度
好 那么对于连续性随机变量而言
就是联合概率密度
那么这个联合概率密度就是
每一个这个观测值的对应密度的乘积
现在我们就写出这个
在θ等于2的条件下
这个总体X的密度函数
写出来是这个
好了 那我们把这个密度函数
代入到这里边
就得到了后面的表达式
我们要计算
这个参数λ取什么值的时候呢
能够使自然函数达到最大值
当然乘积函数的极值
不是那么相对比较不太好算
所以这时候往往我们通过对数自然函数
因为取了对数之后
这个极值点是不变的
好了 所以我们对这个自然函数求对数
就得到了这样一个更简单的
这样的表达式
好了 我们求它这个λ取何值的时候
这个对数自然函数达到最大值
好 我们求对数自然函数关于λ的倒数
这是关于λ求倒 λ分针？
这部分关于λ求倒就是括号里的？等于0
我们解出了λ等于这个式子
这部分就是Xi是样本的观测值
那如果用随机变量表达的话
这个就是样本均值
所以我们得到了这个λ的最大自然估计
就是样本均值减二分之一
好 这是极大自然估计
那这个题我们就讲到这吧
总体X的密度函数
这里面给出这样的表达式
它包含θ和μ两个参数
那现在我们在这个样本容量
为n的这样一个样本条件下
对参数θ和μ
来求它们两个参数的极大自然估计量
首先我们写出这个自然函数
自然函数就是一组样本观测值
它们同时发生的联合概率
或者是联合密度
那么因为我们总体
是一个连续性随机变量
所以这个自然函数就是
这个样本观测值同时发生的
联合概率密度
就是密度函数
分别取值X1到Xn的乘积
好 那么这里这个参数μ
是大于X的
所以这里的这个参数μ
应该是大于等于所有的观测值
X1到Xn
那这个极大自然估计
就是要使得这个自然函数
达到最大的参数θ和μ
那么这个仍然我们用这个对数自然函数
来进行计算
因为乘积项的极值计算比较困难
那么通过这个对数计算
我们就把乘积转化为了求和
而且对数函数跟原函数的极值点是相同的
好 那我们整理出来这个对数自然函数
就是这样的形式
那两个参数
我们要求极值
就分别对θ和μ来求偏导
好 那这个对数自然函数关于μ的偏导是
负的θ分之n
这个数永远是小于0的
好 那么既然永远小于0
它就是关于μ的一个严格的递减函数
也就是μ越小
这个自然函数的值就越大
好 那么也就使得
自然函数达到最大的这个μ
就应该是μ可能最小的取值
因为这个μ大于所有的观测值
X1到Xn
所以μ它就一定是大于等于
X1到Xn的最大值的
所以这个μ的最小取值
就是X1到Xn的最大值
那我们再看
对数自然函数关于θ的偏导
我们算出来等于这样一个表达式
这个极值点就是让偏导等于0
我们就让这个式子偏导等于0
经过整理呢
得到这个θ解出来等于
这个μ减去X1到Xn的算数平均值
就等于这个X1到Xn的最大值
减去X1到Xn的算术平均
好 那我们就得到了这个μ和θ的
极大自然估计量
μ的极大自然估计量就是
X1到Xn的最大值
那么这个θ的极大自然估计
就是这个μ一尖减去
X1到Xn随机变量的算数平均
就等于这样的一个统计量
好了 这样的话我们就算出了这个参数μ
和θ的极大自然估计量
好了 这个题我们就讲到这
-随机试验与随机事件
-古典概型
--1.2 古典概型
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--第一周：事件间的关系与事件的运算
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--第一周：两个著名的例子
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--2.1 条件概率
--第二周：条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
--第二周：有关条件概率的三个重要计算公式
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--第二周：事件的独立性
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--2.4 应用实例
--第二周：应用实例
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-随机变量及分布函数
--第三周：随机变量及分布函数
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--4.2 泊松分布
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--4.4 正态分布
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--第五周：随机变量函数的分布
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-第七周：多维随机变量
-常见多维随机变量举例
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