大题在线视频

下面我们来看第三大题

有一个商店出售某种商品

那这个商品是甲乙丙三个厂家生产的

这三个厂家的产品

各自占总量的1/4 1/2和1/4

而且甲乙丙三个厂家

它所生产的这个产品的

一等品率也是已知的

甲一等品率是90%

乙和丙也分别是80%和70%的一等品率

那现在我们要求

在这个商店购买了一件商品

随机购买一件商品

它恰好是一等品的概率

然后第二问是

如果已经知道购买的商品是一等品

那么这个商品是来自于甲厂

是甲生产的这个概率是什么

好 那么这个显然是一个随机事件的

这个概率的计算问题

所以我们首先要设定事件

那这个事件我们就如实的

按照这个题目中所给的这个条件

来设定出这个事件

那么首先你看我们这里面有几个要素

一个是这个甲乙丙三个厂生产这种产品

还有就是这个产品是否为一等品

好 所以我们首先设这些事件A为

这个商品恰好是一等品这样的一个事件

那么不是一等品就是A补

然后我们已H1 H2 H3

分别表示这个这个商品是

由甲乙丙三个厂家来生产的

这个H1表示甲

H2表示乙 H3表示丙

那么这个H1 H2 H3

它们的概率分别就是各自这个产品的

占总量的份额

而且有了产品之后我们就知道

这个产品是否为一等品了 是吧

因为这个三个厂家的一等品率

我们都是知道的

所以我们有这样的条件概率

H1已知然后在H1条件下A的概率

就是产品来自于甲这个厂

那它的这个一等品率就是H1条件下

A发生的概率0.9

同样的产品来自于乙这个厂家

H2条件下一等品率A的概率是0.8

H3条件下这个一等品率是0.7

好 那我们要算的第一问

就是求一等品率

所以显然这个一等品它有可能来自于甲

也可能来自于乙也可能来自于丙

所以这是一个分情况讨论的问题

分情况讨论我们对事件A

就可以给出一个概率的一个有效的计算

那么第二问就是用

就是我们要求什么

就是如果一个已知这个产品为一等品

那么就是A条件下

我们来求商品为甲生产的

那就是H1事件发生的概率

这是我们第二问

好 第二问这个是

因为这属于一个倒推的问题

因为H1 H2 H3是先发生的

这个产品是先生产出来的

然后才有一等品与

非一品等的这样的一个情况

所以这个时间顺序

是先有了Hk然后有了A情况

所以从H往A推是容易的

但是从A往H推就是反着推了

A往H推就是反着推了

这是困难的

这个时候就是用所谓的

这个贝叶斯公式来计算

好 可以说简单的说

这个全概率公式是分情况讨论

我们这个是事件A

然后把它拆分成什么

把它拆分成几个B

B1 B2 B3 B4等等

当然我们这里是三个了

那一般来说我们把这个A

拆分成这么几块

通过这样几块的概率求和

然后把A的概率组合出来

所以就有全概率公式

然后贝叶斯公式是反着推

我们要把这个方向

从A到H的方向变成从H到A的方向

所以这贝叶斯公式就是这个P

然后把它变成什么 A

分母是P(A)下面的分子是AH1

同时发生

但是AH1同时发生

我们看看以谁为条件

那么以A为条件的话

还是不好求的

而且也跟我们的题设是一样

以H为条件就好求了 H在先A在后

所以是以H为条件

H1为条件A的概率乘以它

那么这个就容易做了

这就是把这个先后顺序倒过来了

这也就是贝叶斯公式的这个功能

好了 那么具体的这个题目的计算

我们就来看用全概率公式

和贝叶斯公式来进行计算

全概率公式用来算这个A的概率

贝叶斯公式用来算什么

用来算这个A条件下H1的概率

好了 那么全概率公式

我们把这个A分解成这个

AH1 AH2 AH2

然后再用这个展开

通过H1发生然后推出A发生的概率

这都是已知的

所以我们就给出三个

第一个条件下H1的概率是1/4

然后H1条件下优质率是0.9

然后相应的这两项

最后求出来这个总的概率是0.8

那么这个第二问我们把这个AH的

AH的这个顺序尽量去交换 是吧

那么是一个贝叶斯公式

那这个分母就是

这个事件A概率的全概率展开

它等于0.8

分子就是这里面的一项 H1这一项

H1我们用这个H1的概率

H1的概率是0.4

然后H1条件下A的概率0.9

这是分子

然后我们又推出第二问的概率是9/32

这个题目是一个典型的

这个事件运算的一个题目

那么条件事件运算

那么基本的几个公式就是乘法公式

全概率公式 贝叶斯公式

我们一定要对这三个公式的它的

计算功能

一定要有一个充分的了解

正确的使用

这个条件概率它里面有一个

明确的时间顺序

那么先发生的条件下

后发生的概率就相对来说就好算

所以这个条件概率我们一定要把握住

这个以谁为条件是容易算的

这样的话我们通过事件

表达随机问题的这样一种语言

就可以通过这几个条件概率的计算公式

那么进行有效的计算

好 那这个题目我们先讲到这儿

第四大题是已知

我们设X、Y为两个随机变量

它们的取值均为0、1、2

也就是X、Y都是离散型的随机变量

而且X的分布率是已知的

X等于0、1、2的概率都是1/3

那也就是X的分布率是我们已知的

X取值是0、1、2

对应的概率都是1/3

好 X的概率是已知 那Y没有给出

下面我们再看还有其他条件

X等于i条件下Y等于j的条件概率

告诉我们一些更多的信息

那么当i等于j的时候

这个概率是0.4

那么当X=i、Y=j

i j相差正负1的时候

X=i Y=j的这个条件概率是0.3

那么对所有的i、j等于0、1、 2

这个都是成立的

好 那下面我们来计算

第一问是X=0条件下Y=2的概率

这个是已知条件没有给出的

因为这个时候X=0 Y=2

2和0相差是超过1的

所以这个条件没有给出

好 那我们来计算

那X=0条件下Y=2的概率

它就是用1减去

因为这个Y还有两种可能

在X=0的条件下Y还可能等于0

Y也可能等于1

所以减去这两种情况

X=0的条件下Y=0的概率

以及X=0的条件下Y=1的概率

这两个概率都是已知条件给出的

因为第一个这个是i和j相等

X=0 Y=0

这个时候这个概率就是0.4

第二种情况X=0 Y=1

i、j相差是1

i、j相差是1的时候条件概率是0.3

好 那么1减去0.4再减0.3我们算出来

这个X=0的条件下

Y=2的概率是0.3

下面我们来计算

这个随机变量Y的分布列

那么也就是要算出来Y等于0 1 2

分别的概率是多少

好 那我们首先

算这个Y=2的这样的一个概率

Y=2的概率那么仍然是用全概率公式

X=0条件下Y=1的概率

X=1条件下Y=2的概率

那么X=2条件下Y=2的概率

那么这三个条件概率我们都是知道的

刚刚求出来X=0条件下Y=2的概率

那么X=1条件下Y=2的概率

因为2和1相差是1

所以是已知条件给出了

然后X=2的条件Y=2的概率

也是i=j的情况

所以把Y=2这个事件拆分成

X=0条件下

X=1条件下 X=2条件下

分三种情况讨论

然后得到Y=2这个整个的一个概率

就是所谓的全概率公式

我们用全概率公式来进行计算

Y=2的概率

那么分别第一项X=0的概率是1/3

那么X为0的条件下

Y=2的概率是0.3

这是第一项

第二项同样

X=1条件下

X=1的概率是1/3

X=1条件下

Y=2的这个概率是ij相差1

这是0.3

这一项也是X=2的概率是1/3

这个X=2条件下Y=2的概率

i=j 是吧 0.4

好了 把这个三项代进去

算出来Y=2的概率是1/3

当然了我们还可以算出来

Y=1的这个概率

Y=1的概率仍然用全概率公式

X=0条件下

个Y=1的概率再加PX=1 对不对

这个Y=1 X=1条件下

是吧 再加什么 再加这个P（X=2）， Y=1

X=2条件下

因为我们知道这个概率都是1/3 是吧

那么这个条件概率i、j相差是1

所以概率是0.3

这个概率i j相差是i=j

这是0.4 是吧

这个是i、j相差是1

Y=1、X=2 这个是0.3

那么算出来仍然是1/3

好，所以这个我们就得到

Y=1和Y=0的这个概率都是1/3

然后最后一问

我们是算X、Y的这个协方差

因为X、Y的分布都知道了 是吧

那我们下一步来算这个协方差

就是算这个式

就是X、Y的协方差

等于什么

协方差的计算公式是这样

协方差的计算公式是这样的

X、Y的协方差

等于XY的期望减去X的期望

再乘以Y的期望

那么X、Y的期望我们都知道了

所以关键的是要算什么

X乘Y的期望

那我们要给出这个X乘Y的

这样一个分布率

好 下面我们进行具体计算

那么X乘Y有这么几种可能性

你看X取值是0 1 2

所以X乘Y或者是这个X乘Y

或者是等于0

对吧 只要出现一项就是0

然后两项都非0的时候

那么乘积或者是1乘2或者是2乘2

所以只有1、2、4三种情况

所以这个XY的取值

就是X乘Y的取值

只有0、1、2、4这四种可能性

好，我们分别来看

这个X、Y都非0的时候

那就是有这么几个组合

也就是(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)

这四个概率组合我们都可以算出来

X=1，Y=1就是X=1的条件下

Y=1的概率再乘的X=1的概率

就得到了这个是2/15

然后X=2，Y=2的概率就是在

X=2的条件下Y=2的概率乘以

X=2的概率这是1/3乘以0.4

0.4/3还是2/15

第三个概率这个X=1，Y=2

那么这个X=1的条件下Y=2的概率

再乘以X=1的概率是0.3/3，1/10

第四个概率X=2、Y=1条件下

这个联合概率 X=2 Y=1联合概率

就是X=2条件下Y=1的概率

乘以X=2的概率还是1/10

好，那么实际上我们就得到了XY的

分布率 是吧

XY的分布率

等于0、1、2、4

那么这个等于1的概率就是2/15

等于2的概率是由两项组成的

这个两项组成

实际上就是什么，就是1/5

等于4的概率也是2/15

剩下的概率就是等于0

所以这个期望就是等于什么

1乘以X乘Y等于1的概率

以及这个 当然我们就直接算了

这个2乘以什么

乘以X=1、Y=2的概率

同样这个2乘以X=2 Y=1概率

X=2 Y=1的时候 XY也等于2

第三个概率就是X=2 Y=2的时候

概率乘以X乘Y等于4

这样一个加项平均

最后算出来整个的就是XY的乘积

随机变量的期望等于16/15

好，那么X、Y的期望很容易算

X、Y都是0、1、2这样的分布，各1/3

所以X、Y的期望都是1

我们可以很容易算出来

最后这个协方差

等于E（XY）减去E(X)乘E(Y)

协方差是1/15

好这个题目考察的是

这样的这个离散型随机变量

而且是二元离散型

我们先算XY分别这样的分布

然后再算XY的这个斜方差

就是关于二元离散型的这个数字特征的

一个重要的计算

好 那这个题目我们就讲到这儿

第五个大题是设

随机变量X服从0，1区间的均匀分布

那么另外一个随机变量Y

是通过X定义的

随机变量Y等于X平方

然后我们来求第一问

是Y小于等于E(Y)

那就是Y小于等于它的期望的概率

然后第二问是计算

随机变量X和Y的这个相关系数

好 那么我们首先看这个第一问

第一问我们要首先算出来Y的期望

那Y的期望实际上就等于

X平方的期望

所以我们不用把这个

Y的分布直接算出来

我们就能够得到Y的期望

Y的期望是X方的期望

那么X是均匀分布

所以X的密度函数是这样的

在0到1区间

这个密度函数等于1

其他地方密度还是等于0

所以我们计算这个X平方的期望

就是代入这个期望的一般的公式

X平方乘以密度函数

从负无穷到正无穷积分

那么因为密度函数f(x)

它只是在0到1区间是非0的

其他地方等于0

所以这个积分就变成了这个

X方乘以密度函数1

在什么0到1区间来积分等于1/3

我们算出来这个Y的期望是1/3

那下面就得到Y小于等于E(Y)的概率

那就是Y小于等于1/3

那我们仍然不需要把这个Y

显示的算出来

我们用X平方来处理

那么X平方小于1/3的概率

那么实际上就是

X小于等于3分之根号3

然后X大于等于负的3分之根号3

这个概率是等于这样

但是因为X在

小于0的概率都是0

因为X是0到1区间的均匀分布

所以X小于0的概率都是0

那么这就直接写成这个

就是这个X随机变量

小于等于3分之根号3的概率

那么是0和1区间的均匀分布

所以等于3分之根号3

好 这是这个第一问

那么第二问算这个X、Y的相关系数

X、Y的相关系数它等于

X、Y的协方差除以

X的方差的平方根乘以Y，就是协方差

就是相关系数

所以我们需要算这个协方差

那么协方差就是要算这个

XY的期望减去E(X)E(Y)

那么这个方差是需要算什么

算X方的期望减去X期望的平方

Y是Y平方的期望减去

这个Y的期望的平方

那么所以这里都是XY

以及X平方Y平方

这样的随机变量的期望

那么这个因为这个Y等于X方

所以这个XY的期望就是X立方的期望

XY就等于X立方 是不是

然后Y的平方就等于X的4次方

所以说要算

这几个X、Y的协方差以及X和Y的方差

我们需要的就是要把这个

X、X平方、X立方、X4次方

这些随机变量的期望算出来

那么就可以得到

那么相应的就能够给出

X、Y的相关系数

好了，那么我们来依次计算这些

相应的期望

先算X的期望

X期望还是代入到这个期望的

一般公式

X乘以这个密度函数

然后从负无穷到正无穷积分

那么f(x)在0到1区间是非0的

区间变成了0到1，x乘1

得到这个概率

那么类似这个X平方的期望

刚才我已经算过了，是吧，3分之1，

那么X立方的期望同样

是x立方乘以f(x)

那么从负无穷到正无穷积分

也就是X立方从0到1积分，等于1/4

那么X的四次方是类似的

就算出来是这样的一个积分式

x的4次方从0到1积分是1/5它的值

好，那么我们进一步来计算X的方差

这是方差的基本的计算公式

我们知道方差的定义是什么

方差的定义是这样 是基本含义

就是X减去它的期望

相对于期望的平均偏离的

这个平均偏离的平方的期望

就是平方偏差

X相对于它的期望的平均

平方偏差的这样一个期望，是方差

那么这个一展开

里面的式子展开了

就得到了这个计算公式

这两个是等价的

这个和这个是等价的

这个是便于计算E(X)方

它等于什么

E(X方)减去E(X)的平方

往往后面这个公式是便于计算的

那我们看这个X的方差等于1/12

那么Y的方差就等于Y的平方的期望

减去Y的期望的平方

等于X4次方的期望

减去X平方期望的平方

是吧 那么这个式子是4/45

好 那么这个协方差

协方差等于什么

等于XY的期望

减去X期望乘Y的期望

好，那么这个就是代入XY的期望

或者是X立方的期望就是这个

利用整个这个XY的相关系数

这些协方差以及方差项都算出来了

然后代入到这个式子

那么计算结果就是4分之根号15

所以说这个相关系数还是非常大的

我们知道一般相关系数

这个两个随机变量相关系数是

在-1到1区间取值

那这个4分根号15

已经很接近于正1了

确实是这样的

因为X是0，1区间的均匀分布

那么Y等于X的平方

它们两个是

这个变化的趋势是非常接近的

所以说这个相关系数也是比较偏大

倾向于1的 接近于1的

好了 这就是这样的一个

二元连续型随机变量

我们把（X，Y）看作二元连续型随机变量

它们之间的关系

我们一个典型的

这样一个二元连续型随机变量的

这个题目

好了，这个题目我们就讲到这儿

第六个大题

设随机变量X1到Xn相互的独立

而且它们都服从

参数为1的这个Poisson分布

就是任意的Xk

k从1到n

服从什么

服从参数为1的Poisson分布

然后我们通过这个Xk定义

0-1随机变量Yk

那这个Yk是这样定义的

Yk的取值只有两个

Yk的取值是0和1

那么当什么

当这个Xk等于0的时候

它取值是1

那么此外取值是0

就是Yk它是0-1分布

好 那么k是从1到n

然后我们记Y一拔等于

Y一拔等于n分之Y1加到Yn

这样n个随机变量的均值

均值得到了一个新的随机变量Y一拔

我们求这个Y一拔的期望

以及当n足够大时Y一拔的近似分布

当然这个Y一拔就是因为它是

这个n个随机变量求和所以它近似于

根据中心极限定理，近似于正态分布

所以我们可以得到Y一拔的近似分布

那么第二问就是用切比雪夫不等式

用切比雪夫不等式来做概率估计

估计这个不等式成立的时候

这个概率式子

就是Y一拔减去e的负一次方的绝对值

小于0.1

这个概率大于0.8的时候

这个n需要取多大

好 那么我们一步一步的来

我们先看第一问

这个首先要求Y一拔的期望

那么Y一拔的期望

就等于这个E（n分之Y1加到Yn）

根据这个期望，提出一个n，等于什么

等于这个Y1加到Yn的期望

好 那么根据期望的线性展开

那么求和的期望等于期望的求和

所以这个Y一拔的期望

就等于

所有的Y1到Yn的期望求和再除以n

所以我们要算出任何一个Yk的期望

它们都是相等的，是吧

我们看Yk的期望

因为它是0 1分布

Yk的期望就等于

取值为1时候的概率

1乘以什么

Xk等于0的概率，是吧

Xk等于0的概率

因为XK是服从Poisson分布的

我们知道这个Poisson分布

Xk等于i按照Poisson分布律

Poisson分布律等于什么

等于e的负λ次幂

然后i的阶乘

这个λ的i次幂

这个i等于0

i等于0这部分的取值就是1

那么就是这个Xk等于0时候的概率

是e的负λ次幂

λ等于1， e的负1次方

所以这个Yk的期望是e的负1次方

那么这个Y一拔的期望

也是e的负1次方

这个做出来了

然后这个Y一拔的近似分布

因为这个Y一拔根据中心极限定理

它是n项求和

Y一拔是n项求和

当n很大的时候

这个Y一拔就趋向于一个正态分布

那么它近似于什么

近似于以这个Y一拔的期望为期望

以Y一拔的方差为方差的

这样的正态分布

所以我们要求一个近似分布

就要算出这个Y一拔的方差

Y一拔的方差

我们根据这个方差的式子

这个Y一拔的方差它就是

这个等于n分之X1加到Xn的方差

那么这个因为方差的关系

我们把这个n提出来变成n平方了

n平方然后这个X1加到Xn的方差

因为X1到Xn是相互独立的

所以这个方差的求和也可以进行展开

那么这个相互独立的随机变量

它的求和的方差等于方差的求和

所以有这样一个式子

那我们就要算什么呢，算Y的这个方差

Y的方差就是

实际上是什么

就是这个Yk

这里面是Yk

Yk的这个平方乘以什么

乘以这个期望减去Yk期望的平方

因为这个Yk就是一个0-1分布

所以它的这个Yk的平方的期望也等于

Xk等于0的时候这个概率

就等于什么

等于e负1减去e负1的平方

这是它的方差

把e负1提出来变成e的负1

乘以1减e的负1次幂

好 这是Yk的方差

那么X一拔的方差就等于

n个相同的方差和再除以n平方

就等于1/n

任意一个Yk方差

就等于n分之e的负1次幂

乘以1减去这个e的负1次幂

当n趋于无穷的时候Y一拔近似服从

以Y一拔的期望为期望

以Y拔的方差为方差的这样的正态分布

好 那么现在我们来看第二问

第二问就是利用切比雪夫不等式

来对这个概率不等式进行估计

满足这个概率大于等于0.8的时候

这里面的Y一拔的参数需要满足什么条件

所以我们首先来回顾一下

这个切比雪夫不等式

切比雪夫不等式就是这个

随机变量X减去它的期望

偏离程度大于等于ε的概率

小于等于它的方差除以ε的平方

也就是说这个随机变量它偏离期望

超过ε的时候

它的概率小于等于这个

这个直观意义也是很有它的

直观的合理性

因为X方差越大表示越分散

所以这个分散的时候

X偏离它的期望超过ε概率就越大

所以跟X方差成正比

那么X方差小的时候

是说明X很集中

所以它偏离E(x)超过ε的概率就

比较小一些

ε也是一样的

那这个ε越大

当然了这个概率就越小

ε越小，在外面的可能性越大

所以ε的平方就是

这样一个切比雪夫不等式

好 那么我们代入就是我们说这个P

刚好它是Y一拔

减去e的负1次幂就是什么

就是Y一拔的期望

所以它小于0.1的概率就等于

1减去Y一拔减去E（Y一拔）

大于等于0.1的概率

好了 那我们代入切比雪夫不等式

这个式子它就大于等于

1减去这个估计式

就是ε平方

分之 Y一拔的方差

好 我们代进去ε就是0.1

ε就是0.1我们代进去这个式子

然后把Y一拔的方差也带进去

得到了这样的一个式子

好了 那我们使得这个式子大于等于0.8

就继续推出这一项

推出这个是小于0.2

然后经过整理就算出了这个

n应该满足这个式子

n大于这个值的时候

满足这个概率式子

这个概率是会大于0.8的

那么前面我们为了简便计算

为了数字不要太烦琐

因为e大概等于2点7几

e分之一

我们就用1/2.5来近似，0.4近似

这是为了个数字看起来比较简单

好 然后把0.4代进去就得到了这个值

也就是说当n大于120的时候

大概我们估计n大于120的时候

可以使得这个概率式子

概率不等式成立

所以这个题目就是一个

实际上是一个极限定理

极限定理的这样的一个

中心极限定理的一个考察

另外就是用切比雪夫不等式

用切比雪夫不等式来做这个

概率的估计

好 那么这个题目我们就讲到这儿

第七个大题

设总体X它的分布函数是这样一个形式

就是X小于等于α的时候

这个分布函数是0

大于α的时候

这个分布函数是1减去X分之α的平方

那么这个α是一个大于0的位置参数

那我们现在是得到了一个样本

X1到Xn为总体X的简单随机样本

下面对这个参数α做估计

那我们要求这个参数α的矩估计量

以及极大似然估计量

然后再判断

我们算出的极大似然估计量αL一尖

是否是α的无偏估计

并且给出解释

那么首先第一步

我们来对这个参数α做矩估计

以及极大似然估计

那么矩估计就是我们要算出

这个X的期望、方差等等

因为这是对一个参数做估计

所以我们应该说算一个期望可能就够了

所以我们先算期望

那么E(X)的期望就等于

负无穷到正无穷

x乘以它的密度函数积分

因为密度函数在

X小于等于α的时候是等于0

所以这个就在α到正无穷积分

x乘以它的密度函数

x立方分之这个2倍的α的平方

这个密度函数是通过F(x)求导得到的

这个是F一撇（x）是吧

这密度函数是x的立方分之2α平方

好 那么算出了X的期望等于2α

我们用这样的替换原理

这个就是α

就得到了α的这个矩估计量

αM一尖等于2分之X一拔

样本均值

好 那么我们再对这个α做极大似然估计

极大似然估计我们要写出这个似然函数

似然函数就是这样一组观测值

那么出现的联合概率或者联合密度

那么这个因为是连续型的随机变量

所以是联合密度

那么这个就是

F(xi)它的密度函数的乘积

因为密度函数刚才已经求出来了

是x立方分之2倍的α平方

所以就等于

x1的立方乘x2立方乘以

一直乘到xn的立方分之

2α平方的n次方

好 就得到了这个似然函数

但这里要求因为这个什么

随机变量X在小于等于α的时候

它的密度函数是0

所以这个随机变量的取值

必然是大于α的

因此这n个观测值一定是大于α的

那么在这个范围之内才有这样的一个

联合密度

那么其他的地方

这个似然函数就等于0

那么这个所谓的极大似然估计

就是我们这组观测值以最大的概率

或者最大的概率密度出现

那么这个就是要求似然函数的

这个极大值 最大值

那我们这个x1到xn是观测值

这是确定的

那么α是可变的

那我们看这个

这个α它取值越大

这个似然函数的取值就越大

但是这个α它小于所有的

小于x1也小于x2

它小于所有的这个x1到xn

所以这个α的最大的取值

它不能超过任何一个xk

所以这个α

这个α的2n次幂最大

就是当α取到这个

x1到xn的最小值的时候

这个α是它可能取到的最大的值

所以说当这个α等于什么

等于x1到xn的最小值的时候

这个似然函数L（α）得到最大

那么这个极大似然估计量

极大似然估计量是一个随机变量

我们把这个什么 观测值

x1到xn用这个一个样本

X1到Xn这个随机变量来表示

这就是得到了参数α的这个最大似然估计

就是X1到Xn

这n个随机变量它的最小值

随机变量就是这个

参数α的极大似然估计量

然后下面我们来判断

这个估计量是不是α的无偏估计

那所谓无偏估计就是我们来验证这个E

这个α L一尖的期望是不是等于α

如果相等的话就是无偏估计

否则的话就不是

那么我们首先要算α L一尖的期望

那么要算出它的密度函数

密度函数不容易直接给出

我们就先从分布函数算起

因为这个什么

我们设这个α L一尖的分布函数

这么来表达它，等于什么

等于α L一尖小于等于z

等于什么 等于这个概率

就是X1到Xn的最小值函数

小于等于z

最小值函数小于等于z不好确定

那么我们就再做一个变换

1减去什么

这个最小值函数大于z

好 这个大于z就好办了

大于z等于什么 等于就是这个每一个

因为X1到Xn的最小值都是大于z

就是每一个X1到Xn都大于z

又因为它是X1到Xn是相互独立的

所以就是可以

把它写成所有的这个概率的乘积，Xn

那么因为这个X1到Xn是同分布的

这就减去P（X1大于z）的n次方

那么这个P（X1大于z）

因为X1，它的分布函数我们知道了

所以这个概率就等于1减去F(z)

我们就得到了αL一尖的

它的分布函数

在z点的取值就是1减去F(z)的n次方

好了 那我们代入到这个F(z)的

这个F

这个F我们已知条件就知道了 对不对

代入这个F，大F

大F代入就得到了这个式子

z小于等于α的时候分布函数是0

然后z大于α的时候分布函数是这个

那么密度函数就要求导

我们对这个Fα(z)

关于z求导

就得到了这个密度函数

那么我们下面算αL一尖的期望

那么z乘以它的密度函数

从负无穷到正无穷积分

那么只有在x大于α的时候

密度函数是非0的这样一个形式

所以就是z乘以这个密度函数

在α到正无穷来积分

那么这个积分我们把2n提出来 是吧

非常简单的一个z的多少次幂的

这样一个函数的积分

就算出来了等于这个

好 那么这个是2n减1分之2nα

它不等于α

所以这个αL一尖

它并不是α的无偏估计

当然了如果我们做一个处理

我们做一个2n分之2n减1

再乘以αL一尖

那么它的期望就是等于α

这叫无偏校正

这个是关于什么

关于α的一个无偏估计量

那我们对这个α一尖来说

虽然它本身不是α的无偏估计量

但是我们可以做一个简单的一个

常数的一个校正

使它变成α的无偏估计

好 那么这个题目

就是一个典型的一个参数估计的问题

那么我们要掌握这个矩估计

和极大似然估计的这个方法

那么也要能够判断这个估计量

是不是被估参数的无偏估计

那么这里关于极大自然

我们求这个似然函数的最大值得时候

有的时候用对数似然函数

有的时候我们就直接的判断

如果能够直接判断的时候

我们还是尽量的直接判断

这样的话可以避免更复杂的运算

当然如果直接判断不好算我们还是要对

而且这个似然函数又是可导的话

如果这个似然函数就是可导的话，我们对它

也可以求出这个对数似然函数

然后来借助这样的微积分的工具

来求这个似然函数的最大值

好 这是关于参数点估计

这样的一个典型的习题

好 我们就讲到这儿