2.3 事件的独立性在线视频

对于概率论而言

对于这个事件的表达而言

还有一个重要的概念

叫做独立性

我们看看独立性指的是什么

直观上独立性指的是什么指的是

这个B发生与否

并不影响A是否发生

A发生它的概率也不影响B的概率

那么它的直观含义我们用这个

条件概率就可以说得很清楚

就是B条件下A发生的概率

完全不受B的影响

就等于A本身的概率

那么A条件下B的概率

也和A无关就等于B本身的概率

这就是相互独立互不影响

那我们看一下条件概率的定义

我们回顾一下

条件概率的定义实际上是什么

B条件下A的概率

它并没有那么简单

它是P(AB)的概率除以P(B)的概率

那么事件如果具有独立性

运算就会给我们的计算带来便利

就变得很简单

B不影响A 独立的时候

AB之间我们就可以很容易地处理它的概率

下面给出独立性的定义

就是按照运算的方式给出的定义

就是AB如果对事件A B而言

AB同时发生的概率

可以分解成A发生的概率乘以B发生的概率

我们就称事件AB是相互独立的

否则 我们就称

事件AB不独立 或者相关

那么这个定义

和上边那个条件概率的式子

看起来是完全等价的

但是稍稍有一点区别

就是说 我们这个条件概率定义

P(B)不能等于0

但下面独立性这样一个判断的式子

P(A)和P(B)等于0也是成立的

所以说 下面这个式子

它更一般适用范围更宽一些

而且 它是用一个可计算的

这样一个形式

来给出独立性的这样一个准则

所以在使用起来也更加的方便

我们来看独立性的一个例子

先从理论上我们分析一些性质

如果事件AB是相互独立的

那我们可以推出来事件A和B补

以及事件A补和B

A补和B补两个事件都是相互独立的

我们现在证明第一个

证明如果AB独立

那么A和B补也是独立的

我们来展开AB补这样事件的概率

那通过维恩图我们可以很容易地看到

AB补的概率

就等于A的概率减去AB同时发生的概率

我们再进一步展开

因为我们知道事件AB是独立的

所以A、B同时发生的概率

就可以展开成A的概率乘以B的概率

然后 我们再进一步的展开

得到了P(A)乘以1减P(B)

我们就得到了P(A)乘以P(B补)

那么这个式子成立

也就是AB补同时发生的概率

等于事件A的概率和事件B补概率的乘积

这就说明这两个事件是独立的

那么 利用事件A和B独立

则A与B补独立的结论

我们就可以比较方便地说明后两个结果

因为上述推导中与A和B的先后次序无关

所以将A和B互换位置

即可得到A补与B独立

若A补与B独立

则得到A补与B补独立

当然 也可以像推导第一个结论一样

利用概率展开计算

推出后面两个结论

留给同学们课下练习

我们看一个密码的例子

3人独立破译密码

他们单独能破译的概率

分别为1/5、1/3和1/4

那我们来求

这个密码被破译的概率

因为这3个人是独立破解的

都能够独立破解但破解的概率是不一样的

三个人分别做

就相当于3个人合作

一起来破译这个密码 当然了

破译的概率会提高

我们具体来计算一下

能够得到多大的破译概率

我们仍然设定事件

我们设定密码被破译的事件是B

B补就是密码不被破译

这个具体的计算

我们直接算P(B)不是很好算

但要算密码不被破译的概率是比较好算的

因为密码不被破译意味着什么呢

这3个破译员都没有破译

所以密码不被破译只对应一种情况

密码被破译则对应着很多种情况

第一个人破译了后两个人没破译

只要有一个人破译就行了

或者其中任意两个人破译

或者三个人同时破译

就是说破译的情况对应了更多的可能

但是不被破译只对应着一种情况

所以这个计算

用B补计算就更方便一些

我们现在假设

A1、A2、A3分别代表第1个人破译

第2个人破译

第3个人破译这三种情况

那么B补就可以用A1 A2 A3的补

同时发生这样一个事件

来表达因为A1、A2、A3是相互独立的

我们很容易算出B补的概率

B补的概率算出后

我们就相应得到B的概率

所以算出来

三个人共同努力

密码被破译的概率大大提升了

达到了3/5

这是一个历史上曾经

发生过的一个很出名的问题

叫做分赌本问题

甲乙两个赌徒进行一场9局5胜制的赌博

先赢5局者获胜

假设每一局

都能分出胜负

甲乙各压本金100元

获胜方获得全部的200元本金

那么这个规则非常明确

应该没有任何问题

但问题是

如果当赌博

进行到甲3比1 领先的时候

被迫中止了

那么这200元本金该如何分配

同学们可以想一想

应该按什么样的方式分配

那么当时呢

人们有各种意见

有人说 既然赌博没有终止

那么就各100元好了

那么听到这种方案的话

甲就不同意了

那么甲给出自己的方案

甲说 即便我不贪心

我不拿走200元的全部本金

但是我毕竟3比1领先

我也应该拿走本金中的4分之3

按照3比1的比例分配

这是甲的方案

甲150元 乙50元

那么乙看到这个方案

乙又不同意了

那么乙说作为甲方 虽然你领先

但是你还要赢两局才能获胜啊

那么我作为落后方

我再赢4局我也获胜了

那么咱们两个的获胜的难度

应该是1比2的比例

那么这总的200元的本金

我们两个应该按照甲2我1

这样的比例来分配

那么双方争执不下

各有各的道理

那么这样 讨论时间长了以后

这个问题就传到了

当时最好的数学家帕斯卡那里

帕斯卡给出了一个数学解答

他的解答实际上也很简单

帕斯卡就是把这个赌博过程

进行完毕 然后进行分析

那我为了简便起见

我们假设是5局3胜制的情况

甲以2比1领先

好 我们看图

当甲2比1领先的时候

那么再进行一局

可能的结果就是甲获胜

以3比1结束比赛

或者甲失利乙扳成了2比2平

若当乙扳成了2比2平之后

仍然有甲获胜和乙获胜两种可能

好 那么最终

甲的可能性是两种

乙的可能性是一种

那么帕斯卡的想法就是

按照最终的可能性的大小来分配

这个赌本 赌金

好 那么下面的问题是如何做这个计算

帕斯卡进一步假设

帕斯卡假设

甲获胜一局的概率是p

乙获胜一局的概率是1-p

而且 甲乙的这个赌局

在每一局之间是相互独立的

那么在这样的假设下

我们就可以进行基本的概率计算

得到乙获胜的概率是1减p的平方

甲获胜的概率是1减去1减p的平方

来得到这样的解答

那么这样

就通过数学回答了分赌本的问题

那么也得到了人们比较广泛的认可

那么这个同时也是概率论的

最早期人们研究概率论的

一个非常著名的例子

那么这个两个事件相互独立

我们刚才已经给出了比较充分的介绍

我们往往关心的事件不止两个

我们会关心3个事件4个事件

它们之间的相互关系

所以我们也可以相应的定义

多个事件相互独立的概念以及判别准则

三个事件相互独立意味着什么

意味着这3个事件相互的概率

相互不影响

也就是说如果事件A、B、C相互独立

意味着

BC同时发生作为条件

A的概率还是A的概率

那么 如果A、B并集的概率条件下

我们算C的概率还是C的概率

那么在C条件下A、B同时发生的概率

就是AB同时发生的概率等等

就是3个事件之间的条件概率

互不影响不管以什么为条件

另外的事件发生的概率

就是它本身的概率

这就是相互独立的直观含义

那么我们如何通过可计算的公式

来对独立性给出判断

给出一个等价条件

下面我们给出

事件A、B、C相互独立

那么要求两两独立

同时A、B、C还要满足这样一个展开式

也就是说事件A、B、C同时发生的概率

可以展开成事件A的概率

乘以事件B的概率乘以事件C的概率

这些条件同时满足

才能得到A、B、C相互独立的结论

如果只给出A、B、C两两独立是不够的

那么对A、B、C独立的判断是不够的

现在我们举一个反例

当A、B、C两两独立的时候

但A、B、C并不独立 这样一个例子

我们来看这个例子

给定一个均匀的四面体

就是给定一个四面体

我们把这个四面体进行染色

把三个面分别染成红色、黄色和蓝色

另外一个面

我们涂成了红黄蓝三色

也就是说我们这4个面分别作染色

有三个面染成纯色

分别是红黄蓝

另一个面染成红黄蓝3个色的杂色

现在我们用事件A、B、C分别表示

将四面体投掷一次

它的底面包含红色

我们设定为事件A

如果把这个四面体随机的投掷一次

它的底面包含黄色则设为事件B

类似的 如果投掷完了之后

底面如果包含蓝色

设为事件C

当然我们看到

一共有四种基本可能

就是红、黄、蓝三个纯色的面

以及红黄蓝三个杂色的面

所以一共有4个基本可能性

事件A发生的概率

我们可以得到是1/2

因为出现红色有两种可能

一种是红色的纯色面

一种是那个杂色面

所以P(A)P(B)P(C)分别都等于1/2

而且P(AB)P(AC)和P(BC)也可以验证

分别等于1/4

但是A、B、C相互是不独立的

因为我们检验一个概率

B、C同时发生条件下A的概率

B、C同时发生是什么

B、C同时发生就是既有黄色也有蓝色

那么既有黄色又有蓝色只能是那个3色面

三色面当然一定包含红色

所以这个条件概率是1

并不等于A的概率

所以这个是相互不独立的

那我们通过两两独立

是没有办法判断出来的

那我们看第3个条件

A、B、C同时发生的概率是1/4

但是A概率乘B概率乘C概率是1/8

这个概率是不相等的

所以我们判断3个事件相互独立

一定要做充分的检验

两两独立

同时 A、B、C同时发生的概率

也能够展开成A、B、C分别发生的概率的乘积

那么 这样才能得到

A、B、C三个事件是相互独立的

独立性这个概念

在概率论中是非常非常重要的

不仅我们这部分要用到

我们在后面的随机变量

我们充分展开概率论理论后

独立性仍然是重要的基本概念

那往往会在初学的时候

会对事件的独立和不相容的

有一些理解上的问题

往往容易混淆

A与B独立我们从概念来讲

其实是很清晰的

AB独立意味着什么呢

意味着P（AB）=P（A) P(B）

那这个P（AB）是不等于0的

一定是相交的才可能是独立

那么A与B不相容AB互斥是什么意思

是说AB不可能同时发生

也就是说AB同时发生的概率为0

我们用（维恩图）来看

那 如果是独立的话

那一定是这个样子 这种情况

那如果是互斥

一定是这样的情况

所以大家一定要把这个独立和互不相容

一定要区分清楚

他们概念本身是差异很大的

那有可能字面的意思

容易在出现的时候引起混淆

那么我们来举个例子

独立和不相容的例子

那么独立 独立是什么

比如我们举这样的一个例子

他就是独立的

同学甲期末考试

成绩90分以上 90分以下

当然这是随机的

这同学发挥的好一点就能考90分以上

万一这个这几天没有先休息好

考到90分一下也是有可能的

假设80%和20%

另外呢，在一个美丽的岛国

毛里求斯他的首都现在下不下雨

这个也是一个随机的

可能明天下雨了的概率是60%

明天不下雨的概率40%

那么我们就说我们以这个

以这个 同学90分以上设为事件A

毛里求斯首都路易港

下雨的时间是我们设为事件B

很显然事件A和事件B一定是相互独立的

因为他们互不影响

那这样我们很容易能算出来

事件AB所发生的概率是多少

事件AB突然发生的概率是0.6*0.8=0.48

那么我们事件AB互斥是什么含义

说事件AB互斥就表示

如果这个同学考了90分以上

那么这个路易港就一定不会下雨

就变成这样一个意思了

所以呢我们从直观的含义

很容易区分事件AB独立与互斥这样的意思

所以大家不要被字面的意思混淆

他们这两个概率意思区分是非常清晰的