当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第三周：随机变量 > 分布函数的性质与特殊的例子 > 3.3 分布函数的性质与特殊的例子
所有随机变量的分布函数
都满足以下三个性质
第一个性质是单调性
即F(x)在-∞到+∞区间上
是单调非减函数
即对任意x1小于x2
分布函数F(x1)小于等于F(x2)
这条性质很容易从
分布函数的定义
并利用事件的包含关系来得到
第二条性质是有界性
因为分布函数是用
随机变量X小于等于
自变量取值的概率定义的
既然是概率
所以分布函数的取值
一定是在0和1之间
而当x趋向于-∞时
事件X小于等于x
将成为不可能事件
因此F(-∞)定义的极限等于0
而当x趋向于+∞时
事件X小于等于x
包含了所有的可能性
将成为必然事件
因此F(∞)定义的极限等于1
第三个性质是右连续性
也就是对任意实数x0
当x从右侧趋向于x0时
F(x)的极限一定等于F(x0)的函数值
例如 画出0-1分布的分布函数
分布函数F(x)在
x=0点和x=1点都是间断的
但在这两个点上
分布函数都是右连续的
分布函数蕴含了随机变量
所有取值对应的概率信息
原则上可以通过分布函数提取
随机变量在任何范围内取值的概率
这里列举几个简单的情况
X大于a小于等于b的概率
恰好等于X小于等于b的概率
减去X小于等于a的概率
即为F(b)-F(a)
X=a的概率
等于X小于等于a的概率
减去X小于a的概率
而X小于a的概率
等于x从小于a的方向
即a的左边趋向于a时
F(x)的极限
就是F(x)的左极限
将此极限记为F(a-0)
类似地
得到X大于等于b的概率
等于1减去分布函数
在b点的左极限
X大于等于a
小于等于b的概率
等于F(b)减去分布函数
在a点的左极限
本例中给出的函数F(x)
在整个实数域内单调不减
当x趋于-∞和+∞时
函数值分别等于0和1
且满足右连续性
所以函数F(x)
定义了一个分布函数
但F(x)所对应的分布
没有集中在一个可列
或有限集合上
[0,1]区间的元素是不可数的
所以F(x)不是离散型的
另一方面
F(x)在x=0这一点不连续
所以它也不是连续型的随机变量
不过可以看到
F(x)可以用另外两个分布函数
F1(x)和 F2(x)
通过简单的线性组合得到
其中函数F1(x)
当x小于0时等于0
当x大于等于1时等于1
这个分布函数对应的随机变量
是以概率1取值在
x=0点的特殊的随机变量
函数F2(x)
当x小于0时等于0
当x大于等于0小于1时等于x
当x大于等于1时等于1
这个分布函数对应的随机变量则为
[0,1]区间上的均匀分布
利用类似的方式
我们还可以通过离散型
与连续型的组合
构造出无穷多个既非连续型
也非离散型的随机变量
实际问题中
我们所遇到的
既非离散型也非连续型的随机变量
应该都可以拆解为
离散型和连续型的组合
所以 我们只需要集中掌握
离散型和连续型
两类随机变量的性质就可以了
但是理论上
也存在着本质上就
既非离散也非连续的随机变量
这些随机变量都是人为构造的
不会出现在实际应用中
下面我们看一个构造的例子
康托尔分布
把(0,1)区间三等分
取出中间子区间(1/3,2/3)
定义为集合C1
在该区间上定义F(x)=1/2
再将剩下的(0,1/3)和(2/3,1)
两个区间分别三等分
取出两个中间子区间
(1/9,2/9)和(7/9,8/9)
将这两个区间的并集
定义为集合C2
在C2的两个集合上
分别定义F(x)的取值为2的平方分之1
和2的平方分之3
再将剩下的四个区间
(0，1/9) (2/9,1/3)
(2/3,7/9) (8/9,1)
分别三等分
取出4个中间子区间
(1/27，2/27) (7/27,8/27)
(19/27,20/27) (25/27,26/27)
将这四个区间的并集
定义为集合C3
在C3的4个集合上
分别定义F(x)的函数值为2的立方分之1
2的立方分之3
2的立方分之5
和2的立方分之7等等
依照此规则定义下去
继续得到区间集合C4 C5等等
并且在每个区间上
定义函数值
所定义函数的图像
大体如图所示
我们可以给出F(x)定义的一般规则
考虑每一级集合Cn
Cn共包含2的（n-1）次方个小区间
这些区间在数轴上
从左至右
按顺序定义函数取值
第k个区间上F(x)等于
2的n次方分之2k-1
x小于等于0时
F(x)等于0
x大于等于1时
F(x)等于1
对所有正整数n
第n级定义的集合Cn
包括2的（n-1）次方个小区间
每个区间的长度
为3的n次方分之1
所以C1，C2，C3等等
所有的Cn
包含的全部小区间的长度总和是
3分之1加2乘以3的平方分之1
再加2的平方乘以3的立方分之1
一直加下去
求和的极限为1
所以上述规则在（0,1）区间内
给出定义的点的总长度为1
而没有给出定义的点所占长度为0
可以按照连续性要求
给出上述规则下未给出定义的点
给它们赋予函数值
使得F(x)连续起来
于是
F(x)在（0,1）区间内都有了定义
而且F(x)是连续的
显然F(x)单调不减
F(-∞)=0 F(+∞)=1
当然右连续型也满足
所以F(x)定义了一个分布函数
由于在 (1/3,2/3)
(1/9,2/9) (7/9,8/9)
等等区间内F(x)均为常数
所以这些区间内F’(x)等于0
由于这些区间的总长为1
所以F(x)在(0,1)区间的导数几乎处处为0
而在x小于等于0
以及x大于等于1的时候
F(x)也为常值函数
F(x)的导数也为0
如果F(x)是连续型的
那么F(x)可以表示为
密度函数的积分的形式
且密度函数等于F(x)的导数
因为f(x)=F’(x)几乎处处等于0
从而f(x)在-∞到+∞的积分
等于F’(x)在-∞到+∞的积分等于0
这与密度函数在-∞到+∞的积分为1矛盾
所以不存在相应的密度函数
F(x)不可能是连续型的
另一方面
离散型随机变量
只有有限个或者
可数多个取值
其分布函数是有限
或者可数多个取值变化的阶梯函数
这样的阶梯函数
一定不可能在整个实数域内
都是连续的
而这里定义的F(x)
是R上的连续函数
所以F(x)也不是离散型的
所以由F(x)定义的随机变量
既非离散型也非连续型
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--2.4 应用实例
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