当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第八周：条件分布与条件期望 > 全期望公式（上） > 8.3 全期望公式（上）
因为Y条件下X的期望是随机变量
那么考虑它的期望是有意义的
事实上 有一个一般性的结果
随机变量Y条件下X的期望的期望
就等于随机变量X的期望
以离散型为例考虑证明这个结论
随机变量X的期望
等于X的所有可能的取值xi
乘以X=xi的概率
这里n可能是有限的
也可能趋于无穷
将X=xi的概率表示为X取定为xi时
Y取遍所有可能的取值
对联合分布列的求和
这里的m可能是有限的
也可能趋于无穷
再将X=xi Y=yj的概率
分解为条件概率形式
表示为Y=yj的概率
乘以Y=yj条件下X=xi的概率
调换求和顺序
等于Y=yj的概率乘以xi
乘以Y=yj的条件概率对所有xi求和
再对所有的j求和
内部的求和即为Y=yj条件下X的期望
等于（Y条件下X的期望）的期望
（随机变量Y条件下X的期望）的期望
相当于计算Y的不同取值下
X的条件期望
再对Y的各个取值概率
对条件期望值加权求和
相当于将X的期望分解为
Y的各个取值条件下
X在此局部的期望
然后再将各局部的期望
加权汇总为X整个的期望
类似于全概率公式将事件A的概率
分解为一个样本空间分割下
不同事件条件下A的局部概率
再汇总得到A的总的概率
因此这一公式被称为全期望公式
又因为该公式刻画期望的期望
此公式也往往被形象地称为重期望公式
看一个例题
口袋里有编号为1,2,3
直到n的n个小球
任取1个球
若取到的为1号球
则得1分
然后停止取球
若取到的为i号
i大于等于2
则得到i分
放回小球
再继续从n个小球中随机取球
求从开始到停止的整个取球过程中
总得分的期望
设X为总得分
Y为第一次抽取到的号码
也就是希望通过第一次抽球的结果
分情况讨论所求期望
容易得到 Y=1条件下
也就是第一次取到了1号球
这时取球过程马上停止
因此总得分即为1分
所以Y=1条件下
X的期望等于1
而当Y等于2到n中的某个整数k时
则此时得到k分
然后放回小球
抽球过程重新开始
所以之后的期望就等于X的期望
所以Y=k条件下
当k不等于1时
X的条件期望等于k加E(X)
将X的期望
分解为第一次抽球得到的
n种可能条件下的
条件期望的加权汇总
即等于Y条件下X的期望的期望
等于Y=k条件下
X的期望乘以Y=k的概率
k从1到n求和
每一个Y=k的概率均为n分之1
所以求和等于
n分之1加上n分之1乘以k加E（X）
k从2到n求和
解出E（X）
得到X的期望等于2分之n乘以（n+1）
还可以利用全期望公式
计算几何分布随机变量的期望和方差
设X服从参数为p的几何分布
p大于0小于1
k为大于等于1的整数
X表示独立地重复
成功概率p的伯努利试验
第一次成功时
伯努利试验重复进行的次数
则X=k的概率等于
p乘以（1-p）的k-1次幂
计算X的期望和方差
定义随机变量Y
当X=1时 Y等于1
当X大于1时 Y等于0
则由全期望公式
E（X）等于E（X|Y）的期望
等于Y=1的概率乘以Y=1条件下X的期望
加上Y=0的概率乘以Y=0条件下X的期望
等于X=1的概率乘以X=1条件下X的期望
加上X大于1的概率乘以
X大于1条件下X的期望
X=1 即伯努利试验第一次就成功了
则X=1条件下X的期望等于1
X大于1 即第1次伯努利试验没有成功
相当于浪费了一次努力
意味着已经做了1次试验
而之后必须重新开始
所以X大于1条件下
X的期望等于1加上X的期望
将两个条件期望代入
E（X）的全期望分解式中
由于X=1的概率等于p
X大于1的概率等于1-p
所以得到E(X)等于
p乘以1加（1-p）乘以（1加E(X)）
解出E（X）等于p分之1
继续利用全期望公式
计算几何分布随机变量的方差
算X平方的期望
仍然利用全期望公式
将X平方的期望分解为X=1的概率
乘以X=1条件下X平方的期望
加上X大于1的概率
乘以X大于1条件下X平方的期望
X=1条件下X平方的期望等于1
X大于1条件下
相当于浪费了一次努力
必须重新开始
所以X变为了X+1
所以X大于1
即第一次没有成功条件下
X平方的期望就等于
（1+X）的平方的期望
等于1加上2倍的E（X）加上E（X平方）
将两个条件期望代入
E（X平方）的全期望分解式中
再求解E（X平方）
得到E（X平方）等于p分之1
加2倍的（1-p）乘以E（X）
等于p平方分之2减去p分之1
X的方差等于X平方的期望
减去X期望的平方
等于p平方分之1-p
投掷一枚公平的硬币
直至首次出现相继的两个正面停止
求投掷次数的期望
设X为投掷次数
Y定义为取值为T，HH，HT三种情况的
离散型随机变量
其中T表示第一次掷出反面
HH表示前两次依次掷出正、正
HT表示前两次依次掷出正、反
则Y等于T的概率是2分之1
Y等于HH的概率是4分之1
Y等于HT的概率也是4分之1
利用全期望公式
X的期望等于Y条件下X期望的期望
等于Y分别等于T，HH，HT
三种情况下的概率与条件期望的乘积和
Y=T条件下
即第一次掷出反面
这与连续两次掷出
正面的停止条件完全无关
所以相当于浪费了一次投掷
所以条件期望等于1加E（X）
Y=HH条件下
即前两次都掷出正面
此时正好达到停止条件
投掷停止
所以条件期望等于2
Y=HT条件下
即第一次掷出正面
第二次掷出反面
只要掷出反面
之前的投掷就与连续两次
掷出正面的停止条件完全无关了
所以相当于浪费了2次投掷
所以条件期望等于2加上E（X）
整理得
E(X)等于2分之1乘以（1加E(X)）
加上4分之1乘以2
加上4分之1乘以（2加上E(X)）
解得E（X）等于6
对这个问题
X的方差如何计算
请同学们思考
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--1.2 古典概型
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