当前课程知识点:概率论与数理统计 > 第二周:条件概率和独立性 > 条件概率 > 2.1 条件概率
同学们好
本周我们学习条件概率
条件概率的计算方法以及独立性概念
在实际问题中
对于随机事件A
除了关心它本身的概率
有时还需要知道
在某些附加条件下该事件发生的概率
这些附加条件通常
以某个事件已经发生的形式给出
这就是已知某事件发生后
事件A的条件概率
举一个条件概率的例子
考虑恰有两个小孩的家庭
若已知随机选择的
一个家庭有一个女孩
问这家儿
另一个小孩是男孩的概率为多少
首先我们给出该问题的样本空间
假定将年长的孩子的性别写在前面
则共有4种可能的情况
两个孩子均为男孩
老大男孩老二女孩
老大女孩老二男孩
两个孩子均为女孩
在生男、生女等可能假设下
这4个样本点对应的概率均为1/4
设事件A为两个孩子中有一个是女孩
事件B为两个孩子中有一个是男孩
则事件A就包含
(男 女)(女 男)(女 女)等3个样本点
事件B则包含所列出的这3个样本点
已经有1个女孩
而另1个是男孩
就意味着家里有1个男孩和1个女孩
对应为满足A同时又满足B
即为A、B的积事件
这个事件包含2个样本点
于是所求概率
即为P(AB)除以P(A)等于2/3
下面我们给出条件概率的数学定义
设A、 B是两个事件
且P(B)大于0
则这一概率算式称为
在事件B发生条件下
事件A发生的条件概率
简称为条件概率
从维恩图
我们可以更加直观地理解
条件概率的意义
事件B条件下事件A的概率
就是以事件B的区域
作为当前的全集
此时A发生的可能性是AB的交集
AB交集在B中所占的份额比例
即为该条件概率
有了条件概率的概念
我们对事件的表达
就有了更丰富的工具
下面再举一个例子
某厂有甲、乙、丙三个车间
生产同一种产品
产量分别占总产量的60%,30%和10%
各车间的次品率分别是2%,5%,6%
要求用事件的语言表达各车间的次品率
以及若发现一件产品为次品
该次品来自甲车间的概率
首先将产品来自于甲、乙、丙三个车间
分别设定为事件A1 A2 A3
出现次品为事件B
则甲车间的次品率
即可表达为条件概率的形式
事件A1即来自于甲车间为条件
该条件下出次品的概率即为P
A1条件下B的概率
同理可写出乙、丙
车间次品率的条件概率形式
由已知条件
三个条件概率的对应值
分别为0.02 0.05和0.06
若发现一件产品为次品
该次品来自甲车间的概率
可表示为以B为条件
A1的条件概率表达式
这一概率的值就不是显然的了
要计算这一概率
需要进一步的计算工具
在学习条件概率计算方法之前
对例2.1.1我们再做一些引申
对于例2.1.1
有些同学直觉中的解答可能是1/2
因为生男生女等可能
所以无论一个孩子是男是女
另一个孩子是男孩的概率都应该是1/2
实际上1/2是另一个不同问题的正确解答
这个问题是
考虑恰有两个小孩的全部家庭
仍假定生男、生女是等可能的
如果从这些家庭中
随机地选择一个孩子
并发现她为女孩
问在她家里另一个孩子
是男孩的概率是多少
两个问题听起来似乎很相同
实质上是不同的问题
此时样本空间确切地表示
应为这样一个集合
其样本点仍然是4个
但这些样本点表达的
不是家庭的信息
而是这些家庭里的孩子的信息
样本空间集合中的
g表示girl b表示boy
男g表示有一个姐妹的男孩
男b表示有一个兄弟的男孩
女g表示有一个姐妹的女孩
女b表示有一个兄弟的女孩
这4个样本点对应的概率均为1/4
现在设
事件A为 这个孩子是女孩
事件B为这个孩子有一个兄弟
则事件A包含两个样本点
女g和女b
事件B也包含两个样本点
男b和女b
A B同时发生就是一个女孩有一个兄弟
所以AB的积事件包含一个样本点
则该问题所问概率
即为选到一个女孩
她有一个兄弟的概率
也就是事件A条件下事件B的概率
计算得1/2
这绝不是一个矫揉造作的例子
而是一个非常值得体会的例子
它说明正确理解概率统计学中
我们到底对什么抽样的重要性
这个例子也被著名概率学者
钟开莱先生在他的《初等概率论》一书所采用
我们的分析也是沿着他书中的思路给出的
下一讲我们学习条件概率
有关的几个重要计算公式
-随机试验与随机事件
-古典概型
--1.2 古典概型
--第一周:古典概型
-事件间的关系与事件的运算
--第一周:事件间的关系与事件的运算
-两个著名的例子
--第一周:两个著名的例子
-讲义
-条件概率
--2.1 条件概率
--第二周:条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
--第二周:有关条件概率的三个重要计算公式
-事件的独立性
--第二周:事件的独立性
-应用实例
--2.4 应用实例
--第二周:应用实例
-网球比赛胜率的计算
--Video
-讲义
-随机变量及分布函数
--第三周:随机变量及分布函数
-离散型与连续型随机变量
--第三周:离散型与连续型随机变量
-分布函数的性质与特殊的例子
--第三周:分布函数的性质与特殊的例子
-概率论所需微积分要点回顾
--第三周:概率论所需微积分要点回顾
-讲义
-二项分布与负二项分布
--第四周:二项分布与负二项分布
-泊松分布
--4.2 泊松分布
--第四周:泊松分布
-几何分布与指数分布
--第四周:几何分布与指数分布
-正态分布
--4.4 正态分布
--第四周:正态分布
-讲义
-随机变量函数的分布
--第五周:随机变量函数的分布
-随机变量的数学期望
--第五周:随机变量的数学期望
-随机变量的方差
--第五周:随机变量的方差
-原点矩与中心矩
--第五周:原点矩与中心矩
-期望和方差的一些补充性质
--第五周:期望和方差的一些补充性质
-讲义
-二项分布与泊松分布的期望与方差
--第六周:二项分布与泊松分布的期望与方差
-几何分布的期望与方差
--第六周:几何分布的期望与方差
-均匀、指数和正态分布的期望与方差
--第六周:均匀、指数和正态分布的期望与方差
-随机变量数学期望的应用实例
--第六周:随机变量数学期望的应用实例
-快速排序算法的平均计算量分析
--Video
-讲义
-多维随机变量
-第七周:多维随机变量
-常见多维随机变量举例
--第七周:常见多维随机变量举例
-随机变量的独立性
--第七周:随机变量的独立性
-独立随机变量期望和方差的性质
--第七周:独立随机变量期望和方差的性质
-讲义
-条件分布
--8.1条件分布
--第八周:条件分布
-条件期望
--8.2 条件期望
--第八周:条件期望
-全期望公式(上)
--第八周:全期望公式(上)
-全期望公式(下)
--第八周:全期望公式(下)
-讲义
-随机变量函数的期望
--第九周:随机变量函数的期望
-协方差
--9.2 协方差
--第九周:协方差
-相关系数
-- 9.3 相关系数
--第九周:相关系数
-相关与独立
--第九周:相关与独立
-讲义
-独立随机变量和的分布
--第十周:独立随机变量和的分布
-独立正态分布和的分布
--第十周:独立正态分布和的分布
-最大值、最小值分布
--第十周:最大值、最小值分布
-顺序统计量
--第十周:顺序统计量
-讲义
-正态分布的相关与独立
--第十一周:正态分布的相关与独立
-边缘密度均为正态,联合分布不是二元正态的例子
--第十一周:边缘密度均为正态,联合分布不是二元正态的例子
-二项分布的正态近似
--第十一周:二项分布的正态近似
-正态近似计算实例
--第十一周:正态近似计算实例
-讲义
-大数定律
--12.1大数定律
--第十二周:大数定律
-中心极限定理
--第十二周:中心极限定理
-蒙特卡洛(Monte Carlo)算法
-伪随机数和随机模拟
-讲义
-统计学实例
-总体与样本
-常用统计量
--第十三周:常用统计量
-三种重要的统计分布和分位数
--第十三周:三种重要的统计分布和分位数
-讲义
-参数的矩估计
--第十四周:参数的矩估计
-参数的极大似然估计
--第十四周:参数的极大似然估计
-参数点估计的无偏性和有效性
--第十四周:参数点估计的无偏性和有效性
-参数点估计应用实例
--第十四周:参数点估计应用实例
-讲义
-区间估计的基本思想
--第十五周:区间估计的基本思想
-区间估计的构造方法
--第十五周:区间估计的构造方法
-两个正态总体的区间估计
--第十五周:两个正态总体的区间估计
-大样本置信区间
--第十五周:大样本置信区间
-讲义
-假设检验问题的提示和标准步骤
--第十六周:假设检验问题的提示和标准步骤
-假设检验问题的两类错误和P值
--第十六周:假设检验问题的两类错误和P值
-单个正态总体参数的假设检验
--第十六周:单个正态总体参数的假设检验
-拟合优度检验
--第十六周:拟合优度检验
-讲义
-利用条件概率计算网球比赛胜率
-利用期望的计算性质分析快速排序算法的平均计算量
-讲义
-事件
--事件
-分布函数
--分布函数
-正态
--正态
-指数与二项
--指数与二项
-随机变量函数的分布
-指数分布期望
--指数分布期望
-切比雪夫不等式
--切比雪夫
-二元离散
--二元离散
-协方差
--协方差
-二元特征
--二元特征
-统计量
--统计量
-无偏估计
--无偏估计
-点估计
--点估计
-假设检验
--假设检验
-选择
--选择
-填空
--填空
-大题
--大题