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网球 乒乓球 羽毛球比赛中
运动员们的实力水平各不相同
实力更强的一方
虽然获胜的可能更大一些
但是也有输球的可能
比赛的进程和结果是具有一定随机性的
实力对比和胜负结果之间
存在着怎样的概率关系
我们可以利用已经学过的全概率公式
进行一些初步的分析讨论
我们以网球为例展开分析
所给出的分析方法
对乒乓球 羽毛球等项目也是适用的
首先 说明一下网球单打比赛的规则
网球的单打比赛
一般是进行五盘三胜制或三盘两胜制
每一盘又分成若干局
为了不使讨论变得过于繁琐
我们这里只考虑网球项目中
一局比赛的概率计算模型
网球比赛的每一局由同一位球员发球
直至有其中一方赢取了那一局为止
例如费德勒和纳达尔两名球员进行比赛
费德勒发球
此局就被称为“费德勒的发球局”
纳达尔发球
此局就被称为“纳达尔的发球局”
两名球员交替得到发球局的权利
在一局比赛中
一方赢得第一球时记为得15分
赢得第二球时记为得30分
赢第三球时记为得40分
比如 比分为40比15时
表示这一局比赛中
发球方赢了3个球
接发球方赢了1个球
用简单的计分法
实际上就是3比1
但网球运动传统上就采用了
15、30、40这样的记分规则
我们就按照网球运动的习惯来继续表述
当一方赢第四球时
另一方所得的分数如低于40分
则先赢四球者此局获胜
也就是先赢4个球的一方
如果此时领先对手至少两个球
就赢得此局的胜利
但如果双方同样取得40分
比分出现40平时
则进入到平分状态
称为Deuce
进入到平分状态后
就不用数字计分了
平分状态后赢第一球者被称为占先
如各赢一球
则又进入平分状态
直至一方占先后
再赢得接下来的一球
即净胜对手两球时
领先方就赢得了此局
下面开始进行概率分析
首先得做一些假设
假设两名球员
甲和乙在一局比赛中
每个球甲的获胜率均为p
乙的获胜率均为1-p
为了后面表述方便
将1-p记作q
并且在比赛过程中
每个得分都是相互独立的事件
问甲 乙两人各自赢得这一局比赛的概率
这样我们就为一局网球比赛
建立了一个很简单的概率模型
数学建模永远是实际情况的近似
给出一些理想条件的假设
在尽可能合理地反映实际情况的同时
使得计算尽可能简化
随着经验的积累和认识的提高
对同一问题建立的数学模型
可能越来越复杂
能够越来越好的反映人们
所关心的真实情形
但这种提升和进步
一定是循序渐进的过程
回到我们所考虑的模型
我们可分析更一般的情况
甲 乙两名球员进行每局m分制的比赛
网球比赛中m等于4
而乒乓球比赛中m就等于11
一方率先得到m分
同时领先对手至少2分时获胜
如果比赛出现m-1比m-1的比分时
则进行至首次出现一方领先2分时
领先方获胜
令w(i,j)表示甲已得i分
乙已得j分情况下甲获胜一局的概率
根据比赛规则与概率假设有下面的公式
第一行的式子
在比赛过程中
当i大于等于m
即甲方至少得到m分
而乙方得分至少比甲少2分
这时 甲一定已经获胜
所以此时w(i,j)等于1
反过来如果j大于等于m
i小于等于j-2
这时乙获得了胜利
此时w(i,j)等于0
即为第二行的式子
第三行式子表示当出现m-2比m-2
m-1比m-1
m比m等平局情况时
在所有的这些平局情况下
甲最终获得本局胜利的概率全都相同
因为如果出现了m-2比m-2
或m-1比m-1
或者再之后的平分
那么甲获胜时
一定是只领先2分
这和从0比0开始
甲先达到领先两分的情形是等价的
所以 出现s比s平分
且s大于等于m-2的情形时
对甲而言
处境都是相同的
获胜的概率均相同
甲已得i分 乙已得j分后
也就是比分来到i比j时
考虑下一个球
也就是本局的第i+j+1个球
这个球有两种可能的结果
或者甲胜 或者乙胜
所以比分i比j时甲获胜的概率就等于
甲赢下了这下一个球的概率
乘以甲赢了这个球后最终获胜的概率
加上乙赢了这个球的概率
乘以乙赢了这个球之后
甲最终获胜的概率
这就是全概率公式
进一步用算式表达
如果甲获胜
比分变为i+1比j
发生概率是p
如果乙获胜
比分变为i比j+1
发生概率是q等于1-p
根据递推关系（2）与边界条件（1）
即可计算得到任意i比j比分下
甲在此局中获胜的概率
也就是w(i，j)的值
其中i，j都在0到m中间取值
其中w(0,0)表示比分为0:0时
甲获胜的概率
这就是甲球员在一局比赛中的获胜概率
现在考虑网球比赛的单局胜率
也就是利用刚才所推的公式
在m=4的情形下
来计算w(0,0)
按照全概率公式展开
得到w(0,0)等于
p乘以w(1,0)加q乘以w(0,1)
就是把获胜概率表示为
第一个球后的两种可能比分下的
概率加权求和
继续考虑w(1,0)和w(0,1)这两个概率
分别利用全概率公式展开
得到打完2个球后的情况
将w(1,0)和w(0,1)的展开式
代入到第一个式子
得到w(0,0)等于p平方乘以w(2,0)
加2倍的pq乘以w(1,1)
再加q平方乘以w(0,2)
w(2,0) w(1,1)和w(0,2)的前面
分别乘的是
p加q平方的3个相应展开项
容易证明这个规律
将w(0,0)继续用3个球之后的
各种可能的结果表达
得到w(0,0)等于p的3次方乘以w(3,0)
加3倍的p平方q乘以w(2,1)
再加3倍的pq平方乘以w(1,2)
再加q的3次方乘以w(0,3)
w(3,0) w(2,1) w(1,2)和w(0,3)
前面分别乘的是
p加q的3次方的各二项展开项
后面的公式都是这样的规律
第四个球后表达式的各乘子是
p加q的4次方的展开项
第k个球后表达式的各乘子是
p加q的k次方的展开项
考虑到w(0,4)等于0
所以第四个球后的展开式w(0,0)
等于p的4次方乘以w(4,0)
加4倍的p的3次方q乘以w(3,1)
再加6倍的p平方q平方乘以w(2,2)
再加4倍的pq的3次方乘以w(1,3)
继续写出6个球之后
w(0,0)的展开式
等于p的6次方乘以w(6,0)
加6倍的p的5次方q乘以w(5,1)
加15倍的p的4次方q平方乘以w(4,2)
再加20倍的p的3次方
q的3次方乘以w(3,3)
虽然6比0和5比1的比分不可能出现
但为了计算方便起见
我们假设在4比0或4比1获胜后
继续比赛
再打一到两个球
使得总计打到6个球
这样并不影响最终的胜负概率
同时考虑的比赛进程一致
方便了计算
注意到w(6,0) w(5,1)
和w(4,2)都等于1
只有w(3,3)是现在还未确定的
所以要得到w(0,0)
只需求出w(3,3)即可
对w(3,3)使用全概率公式
将3比3的比赛状态继续进行2步
得到w(3,3)等于p平方乘以w(5,3)
加2pq乘以w(4,4)
再加q平方乘以w(3,5)
因为w(5,3)等于1
w(3,5)等于0
所以w(3,3)等于
p平方加2pq倍的w(4,4)
利用w(3,3)等于w(4,4)的关系
解出w(3,3)等于p平方除以1减2pq
这样就得到了网球比赛中
当甲运动员每个球获胜概率为p时
甲获胜一局的概率
代入一些具体数值
看一看计算结果
分别取每球获胜率p等于
0.5、0.55、0.6、0.65、0.7和0.75
得到对应的单局获胜率
可以看到
一局比赛的获胜率
要明显高于单个球的获胜率
如果每个球有0.6的可能性获胜
那么一局球的胜率将达到接近4分之3
如果每个球的获胜率为4分之3
那么一局球的获胜率达到百分之97.8
几乎达到稳操胜券
所以在网球比赛中
发球方占有很主动的地位
发球方本身占据优势
如果运动员技术水平相当
发球局每个球的得分率将会高于平均值
从而获得这一局比赛胜利的概率
是相当大的
所以 网球比赛输掉发球局将会非常被动
水平相当的球员
经常在一盘比赛中打到6比6平
靠抢7决定这一盘的胜负
反过来
如果不制定抢7的规则
比赛很可能由于
球员各自保住自己的发球局
而长时间持续下去
所以抢7的规则
它的制定也是保证比赛
更有效的进行的一个必然的结果
刚才几次提到了抢7
补充介绍一下网球单打规则
包括抢7规则
一场网球单打比赛
通常采用五盘三胜制或三盘两胜制
也就是先赢3盘或先赢2盘一方获胜
比赛结束
每一盘要打若干局
两名运动员轮流发球
先得到6局
且领先对手至少2局的一方
获得这一盘的胜利
如果局分5:5后
一方再赢得后两局
将以7:5获胜
若5:5后
双方各赢一局
达到6:6
将由第13局决定这一盘的胜负
这一局称为抢7
抢七的规则
抢七这一局是按每球1分的方式计分
通常是先得7分者为胜了该局
首先发球员发第1分球
对方发第2 3分球
然后每人轮流发两分球
直到比赛结束
但是 抢七的规则也不是唯一的
实际上每一盘胜负的规则
和抢七的规则等等
在历史上都不是完全统一的
实际还采用过比如说长盘
和抢七也要领先2球等等其他的规则
同学们也可以根据网球
乒乓等不同比赛的不同规则
在一些合理的假设下
建立自己的模型
计算胜负的概率
-随机试验与随机事件
-古典概型
--1.2 古典概型
--第一周：古典概型
-事件间的关系与事件的运算
--第一周：事件间的关系与事件的运算
-两个著名的例子
--第一周：两个著名的例子
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--2.1 条件概率
--第二周：条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
--第二周：有关条件概率的三个重要计算公式
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--第二周：事件的独立性
-应用实例
--2.4 应用实例
--第二周：应用实例
-网球比赛胜率的计算
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--第三周：分布函数的性质与特殊的例子
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--第三周：概率论所需微积分要点回顾
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--第四周：二项分布与负二项分布
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--4.2 泊松分布
--第四周：泊松分布
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--第四周：几何分布与指数分布
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--4.4 正态分布
--第四周：正态分布
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--第五周：期望和方差的一些补充性质
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--第六周：随机变量数学期望的应用实例
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