当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第十一周 正态分布专题 > 边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子 > 11.2 边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
本节我们给出两个
边缘密度均为正态
联合分布不是二元正态的例子
选取这两个例子
一方面的考虑是
它们能够增进同学们对
正态分布相关与独立性质的理解
另一方面
这两个例子也是全概率公式
和全期望公式
这两个重要概率计算工具的
很好的应用实例
第一个例子
设X为标准正态分布随机变量
W为一个取值1和-1
对应概率均为1/2的离散随机变量
并且设X,W相互独立
令Y等于W乘以X
验证以下三条
第1条.随机变量Y服从标准正态分布
第2条.随机变量X,Y的协方差为0
即X,Y不相关
以及第3条 X，Y不独立
首先利用全概率公式
计算随机变量Y的分布函数
Y的分布函数在y点的取值
等于随机变量Y
小于等于小y的概率
利用全概率公式
此概率等于W等于1的概率
乘以W等于1条件下
Y小于等于小y的概率
加上W等于-1的概率
乘以W等于-1条件下
Y小于等于小y的概率
等于1/2乘以
X小于等于小y的概率
加上1/2乘以
X大于等于负的小y的概率
因为标准正态的密度函数
关于x=0轴对称
所以X大于等于负的小y的概率
等于X小于等于小y的概率
所以所求概率等于
1/2乘以X小于等于小y的概率
加上1/2乘以
X小于等于小y的概率
等于X小于等于小y的概率
等于标准正态分布随机变量
分布函数在y点的取值
所以Y服从标准正态分布
再证明第2条结论
X,Y不相关
利用全期望公式
计算随机变量XY的期望
随机变量X、Y乘积的期望
等于W条件下
XY的期望的期望
等于W等于1的概率
乘以W等于1条件下XY的期望
加上W等于-1的概率
乘以W等于-1条件下
XY的条件期望
等于1/2乘以X平方的期望
加上1/2乘以负的X平方的期望
等于0
X,Y的协方差
等于X、Y乘积的期望
减去X，Y期望的乘积
因为X,Y乘积的期望等于0
X,Y的期望均为0
所以X,Y的协方差等于0
最后 通过一个反例
说明X,Y不独立
考虑x=1 y=0这一点的情况
此时y既不等于x
也不等于-x
所以二元随机变量X,Y
在1,0点的联合密度
等于0
而X,Y均服从标准正态分布
它们的密度函数在1和0点均大于0
所以X,Y在1,0点的联合密度
不等于X，Y
分别在x=1
和y=0点的边缘密度乘积
所以X,Y不独立
下面给出两个边缘密度均为正态
联合分布不是二元正态的第二个例子
设X为标准正态分布随机变量
并构造随机变量Y
对给定大于0的常数c
当随机变量X的绝对值
大于等于c时
Y等于X
当随机变量X的绝对值小于c时
Y等于负的X
验证随机变量Y
服从标准正态分布
并验证当c取适当的值时
可使随机变量X,Y不相关
最后说明对任何c的取值
X，Y不独立
首先利用全概率公式
计算随机变量Y的分布函数
Y的分布函数在y点的取值
等于随机变量Y
小于等于小y的概率
将X分为X绝对值大于等于c
和小于c两种互补的情况
利用全概率公式
随机变量Y
小于等于小y的概率
等于X绝对值大于等于c的概率
乘以X绝对值大于
等于c条件下
Y小于等于小y的概率
加X绝对值小于c的概率
乘以X绝对值小于c条件下
Y小于等于小y的概率
根据Y的定义
所求概率等于X
小于等于小y
与X绝对值
大于等于c同时发生的概率
加上负X小于等于小y与
X绝对值小于c同时发生的概率
利用随机变量X的密度函数
关于x=0的对称性
以及X绝对值小于c
关于x=0的对称性
有负X小于等于小y
与X绝对值小于c
同时发生的概率
等于X大于等于负y
与X绝对值小于c
同时发生的概率
等于X小于等于小y
与X绝对值小于c
同时发生的概率
所以所求概率等于
X小于等于小y
与X绝对值
大于等于c同时发生的概率
加上X小于等于小y
与X绝对值小于c
同时发生的概率
等于X小于等于小y的概率
等于标准正态分布的分布函数
在y点的取值
所以随机变量Y
服从标准正态分布
再验证
存在常数c
使得X,Y不相关
计算X,Y的协方差
首先利用全期望公式
计算随机变量XY的期望
随机变量X、Y乘积的期望
等于Y条件下
XY的期望的期望
等于X绝对值
大于等于c的概率
乘以X绝对值
大于等于c条件下XY的期望
加上X绝对值小于c的概率
乘以X绝对值小于c条件下
XY的期望
根据随机变量Y的定义
等于X绝对值大于等于c的概率
乘以X绝对值大于等于c条件下
X平方的期望
加上X绝对值小于c的概率
乘以X绝对值
小于c条件下负的X方的期望
将X绝对值小于c条件下
负的X方的期望拆分为
X绝对值小于c条件下
X方的期望
减去2倍的X绝对值小于c条件下
X方的期望
这样前面两项
凑成了X方的期望
再将后一项的条件期望
展开为积分来计算
其中X绝对值
小于c条件下
X的密度为
标准正态密度函数小phi(x)
除以X绝对值小于c的概率
整理得XY的期望
等于1减去4倍的x方
乘以小phi(x)对x从0到c积分
这样就利用全期望公式
得到了X、Y乘积的期望表达式
而X,Y的协方差
等于XY的期望减去
X期望与Y期望的乘积
就等于XY的期望
若使X,Y不相关
即令XY的期望等于0
即要求1减去4倍的x方
乘以小phi(x)
对x从0到c积分等于0
当c等于0时 积分为0
所以E(XY)等于1大于0
当c趋于无穷时
积分等于2分之X方的期望
等于1/2
此时E(XY)等于负1小于0
所以必然存在某一个正数c
使得E(XY)恰好等于0
利用数值算法估计
使得X,Y协方差等于0的常数
约等于1.5383
实际上 从Y的定义看
当c接近0时
几乎对所有X的取值
都有Y=X
所以此时X,Y的相关系数接近1
而当c趋于正无穷时
几乎对所有X的取值
都有Y等于负X
所以此时X,Y的相关系数接近-1
因此当c取某个中间值时
一定可使X，Y的相关系数等于0
最后 通过一个反例说明X,Y不独立
因为Y或者等于X
或者等于负的X
所以考虑x=1
y=0这一点的情况
此时y既不等于x 也不等于-x
所以二元随机变量X,Y
在1,0点的联合密度等于0
而X,Y均服从标准正态分布
它们的密度函数
在x=1和y=0点均大于0
所以X,Y在1,0点的联合密度
不等于X，Y
分别在x=1
和y=0点的边缘密度乘积
所以X,Y不独立
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-古典概型
--1.2 古典概型
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--2.4 应用实例
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