当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第三周：随机变量 > 随机变量及分布函数 > 3.1．随机变量及分布函数
同学们好 这周我们来学习随机变量
函数的概念
可以推广到自变量不是实数的情形
例如两点间的距离
可作为以一对点为自变量的函数
三角形的周长
为定义在三角形集合上的函数
随机变量是一个
从样本空间Ω到实数集合R的函数
考虑一个包含n个人的样本空间
比如说是一个公司的n名员工
每位员工都有自己的年龄
若年龄只取整数
则员工的年龄
就给出了一个样本空间
到正整数集合的映射
类似的还可以用映射关系表示
每位员工的身高、体重、收入等等信息
对于我们所关心的随机现象
其样本点的形式多种多样
除了刚才所说公司的员工
还可能是甲乙比赛的胜负结果
可能是抽取到的几个白球、黑球等等
这些表现形式是无法进行数学计算的
只有将它们对应为实数
才能进行进一步的定量的处理
引入随机变量的概念就是出于这个目的
它将随机试验的结果数量化
从而可以用简洁的数学语言
描述繁杂的随机问题
同时提高处理随机问题的效率
随机变量的引入可以说是
概率论发展中的一个重要的里程碑
下面看几个例子
随机将一枚硬币投掷两次
掷出正面记为正
掷出反面记为反
按照投掷次序记录投掷结果
则此随机试验的样本空间为
Ω=正正 正反 反正 反反
包括四个样本点
用X表示掷出正面的次数
则得到样本空间到实数集合的一个映射
这一映射中具体的函数取值为
X（正正）=2
X（正反）=1
X（反正）=1
X（反反）=0
如此定义的X
就是一个典型的随机变量
它将随机试验的结果映射到实数域R中
两次投掷中
恰有1次正面
这一事件可表示
为使得随机变量取值为1的
所有样本点构成的集合
也可简写为集合x=1
我们将事件的概率简写为P(X=k)
在本例中
k共有0,1,2三个可能的取值
若假设硬币是均匀的
即每次投掷
得到正面和反面的概率均为1/2
则样本空间中
所有样本点是等可能出现的
因此 P(X=0)=1/4 P(X=1)=1/2
P(X=2)=1/4.
同样的样本空间
根据需要可能会定义出很多
不同的随机变量 仍以投掷硬币为例
随机将一枚均匀的硬币投掷3次
则样本空间包括以下8个样本点
正正正 正反正等等
如果需要区分每一个基本结果
则可定义随机变量
让8个样本点映射为8个不同的随机变量值
即可可以依次取0-7这8个数
得到具体的映射关系
如果关心的是得到正面的次数
则可定义随机变量分别取值0 1 2 3
对应样本点所包括正面的次数
例如样本点映射为1
若制定一个赌博规则
三次都得到正面收益100元
其余结果均输掉10元
则可定义随机变量取值分别为100和-10。
只有正正正 这个样本点对应为100 其余的为-10
下面我们给出随机变量的定义
设随机试验的样本空间为Ω
如果对于样本空间中的每个样本点
都有一个实数X（ω）与之对应
这样就得到一个定义在
样本空间上的单值函数X
X= X（ω）
称X（ω）为随机变量
一般就简单地记为X
也就是说
随机变量X
是一个从样本空间到实数集合的函数
它的定义域为整个样本空间Ω
它的值域X（Ω）为R或R的一个子集
人们通常用
英文的大写字母
x y z等表示随机变量
那随机变量的取值
经常用小写字母x y z来表示
在第一周第1次课
我们曾引入了事件示性函数的概念
回忆一下示性函数的定义
设A为一个事件
在样本空间上定义一个函数
当样本点ω∈A时
函数取值为1
当ω~∈A不属于A时
函数取值为0
这实际上
是定义在样本空间的一个函数
IA是一个随机变量
这个随机变量只有0,1两个取值
相当于对事件A的发生与否给出了标志
这个例子表明随机事件
是随机变量一个特例
随机变量是随机事件的推广
它拓展了概率论的研究范围与手段
今后我们的研究对象
主要集中在随机变量
设X为一个随机变量
定义一个函数F(x)
对任意实数x
F(x)等于随机变量X小于等于x的概率
称函数F(x)为随机变量X的分布函数
也常称X服从F(x)
有时为了强调是随机变量X的分布函数
给F加一个下标X
当同时讨论多个随机变量时
往往采用以随机变量名为下标的分布函数
表达形式以示区分
随机变量与分布函数是一一对应的关系
不同的随机变量具有不同的分布函数
不同的分布函数对应不同的随机变量
当x趋于-∞时
分布函数F(x)趋向于0
当x趋于+∞时
分布函数F(x)趋向于1
举一个计算随机变量分布函数的例子
在半径为r的圆内随机抛一个点
假设这个点落在圆内任何位置是等可能的
则这个点到圆心的距离X
定义了一个随机变量
利用分布函数的定义
随机变量X的分布函数F(x)
等于随机变量X小于等于x的概率
距离不可能小于0
所以x小于0时 分布函数等于0
这个问题中的距离一定不会超过r
所以当x大于等于r时
分布函数等于1
当x在0到r之间时
X小于等x的概率是一个古典概型概率
等于半径x的小圆面积除以半径为r的圆的面积
等于(r分之x)的平方
-随机试验与随机事件
-古典概型
--1.2 古典概型
--第一周：古典概型
-事件间的关系与事件的运算
--第一周：事件间的关系与事件的运算
-两个著名的例子
--第一周：两个著名的例子
-讲义
-条件概率
--2.1 条件概率
--第二周：条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
--第二周：有关条件概率的三个重要计算公式
-事件的独立性
--第二周：事件的独立性
-应用实例
--2.4 应用实例
--第二周：应用实例
-网球比赛胜率的计算
--Video
-讲义
-随机变量及分布函数
--第三周：随机变量及分布函数
-离散型与连续型随机变量
--第三周：离散型与连续型随机变量
-分布函数的性质与特殊的例子
--第三周：分布函数的性质与特殊的例子
-概率论所需微积分要点回顾
--第三周：概率论所需微积分要点回顾
-讲义
-二项分布与负二项分布
--第四周：二项分布与负二项分布
-泊松分布
--4.2 泊松分布
--第四周：泊松分布
-几何分布与指数分布
--第四周：几何分布与指数分布
-正态分布
--4.4 正态分布
--第四周：正态分布
-讲义
-随机变量函数的分布
--第五周：随机变量函数的分布
-随机变量的数学期望
--第五周：随机变量的数学期望
-随机变量的方差
--第五周：随机变量的方差
-原点矩与中心矩
--第五周：原点矩与中心矩
-期望和方差的一些补充性质
--第五周：期望和方差的一些补充性质
-讲义
-二项分布与泊松分布的期望与方差
--第六周：二项分布与泊松分布的期望与方差
-几何分布的期望与方差
--第六周：几何分布的期望与方差
-均匀、指数和正态分布的期望与方差
--第六周：均匀、指数和正态分布的期望与方差
-随机变量数学期望的应用实例
--第六周：随机变量数学期望的应用实例
-快速排序算法的平均计算量分析
--Video
-讲义
-多维随机变量
-第七周：多维随机变量
-常见多维随机变量举例
--第七周：常见多维随机变量举例
-随机变量的独立性
--第七周：随机变量的独立性
-独立随机变量期望和方差的性质
--第七周：独立随机变量期望和方差的性质
-讲义
-条件分布
--8.1条件分布
--第八周：条件分布
-条件期望
--8.2 条件期望
--第八周：条件期望
-全期望公式（上）
--第八周：全期望公式（上）
-全期望公式（下）
--第八周：全期望公式（下）
-讲义
-随机变量函数的期望
--第九周：随机变量函数的期望
-协方差
--9.2 协方差
--第九周：协方差
-相关系数
-- 9.3 相关系数
--第九周：相关系数
-相关与独立
--第九周：相关与独立
-讲义
-独立随机变量和的分布
--第十周：独立随机变量和的分布
-独立正态分布和的分布
--第十周：独立正态分布和的分布
-最大值、最小值分布
--第十周：最大值、最小值分布
-顺序统计量
--第十周：顺序统计量
-讲义
-正态分布的相关与独立
--第十一周：正态分布的相关与独立
-边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
--第十一周：边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
-二项分布的正态近似
--第十一周：二项分布的正态近似
-正态近似计算实例
--第十一周：正态近似计算实例
-讲义
-大数定律
--12.1大数定律
--第十二周：大数定律
-中心极限定理
--第十二周：中心极限定理
-蒙特卡洛（Monte Carlo）算法
-伪随机数和随机模拟
-讲义
-统计学实例
-总体与样本
-常用统计量
--第十三周：常用统计量
-三种重要的统计分布和分位数
--第十三周：三种重要的统计分布和分位数
-讲义
-参数的矩估计
--第十四周：参数的矩估计
-参数的极大似然估计
--第十四周：参数的极大似然估计
-参数点估计的无偏性和有效性
--第十四周：参数点估计的无偏性和有效性
-参数点估计应用实例
--第十四周：参数点估计应用实例
-讲义
-区间估计的基本思想
--第十五周：区间估计的基本思想
-区间估计的构造方法
--第十五周：区间估计的构造方法
-两个正态总体的区间估计
--第十五周：两个正态总体的区间估计
-大样本置信区间
--第十五周：大样本置信区间
-讲义
-假设检验问题的提示和标准步骤
--第十六周：假设检验问题的提示和标准步骤
-假设检验问题的两类错误和P值
--第十六周：假设检验问题的两类错误和P值
-单个正态总体参数的假设检验
--第十六周：单个正态总体参数的假设检验
-拟合优度检验
--第十六周：拟合优度检验
-讲义
-利用条件概率计算网球比赛胜率
-利用期望的计算性质分析快速排序算法的平均计算量
-讲义
-事件
--事件
-分布函数
--分布函数
-正态
--正态
-指数与二项
--指数与二项
-随机变量函数的分布
-指数分布期望
--指数分布期望
-切比雪夫不等式
--切比雪夫
-二元离散
--二元离散
-协方差
--协方差
-二元特征
--二元特征
-统计量
--统计量
-无偏估计
--无偏估计
-点估计
--点估计
-假设检验
--假设检验
-选择
--选择
-填空
--填空
-大题
--大题
