当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第一周：随机事件及其概率运算 > 事件间的关系与事件的运算 > 1.3 事件间的关系与事件的运算
随机事件是样本点的集合
因而事件间的关系与运算
即为集合之间的关系和运算
下面我们先给出一些常用的事件间的关系
若事件A集合包含于事件B集合
则称事件B包含事件A
其直观含义是事件A的发生
必然导致事件B的发生
用维恩图表示
其中矩形表示样本空间
圆A与圆B分别表示事件A与事件B
包含关系也可用示性函数表示
事件A的示性函数小于等于
事件B的示性函数
是事件A包含于事件B的充分必要条件
若事件B包含事件A
同时事件A也包含事件B
则称事件A B相等
此时 事件A与事件B为同一事件
等价于两事件的示性函数相等
事件A,B之间的互不相容关系
也称为互斥关系
是指事件A和事件B不能同时发生
即事件A和事件B的交集为空
如图所示
用示性函数表示
就是事件A和事件B的示性函数乘积一定为0
对立关系是一种特殊的互斥关系
即非此即彼的关系
若A发生则B必不发生
若B发生 则A必不发生
用集合表示即为集合B等于集合A的补集
事件A B相互对立的直观含义是
事件A和事件B必有一个发生
但又不会同时发生
所以其示性函数的等价表达
为事件A的示性函数
加事件B的示性函数永远等于1
事件运算主要包括事件的和
差 积 以及交换律
结合律等运算律
首先我们看事件的和运算
事件A与事件B的并集构成的事件
称为事件A与事件B的和事件
记为A并B 或A加B
如图所示的阴影部分
和事件中的元素或者属于事件A
或者属于事件B
其直观含义是事件A和事件B至少有一个发生
类似地 可将上述概念推广到多个事件的情形
定义n个事件A1 A2 直到An的和事件
合事件为事件集合A1 A2 到An的并集
即事件A1 A2 到An 至少有一个发生
事件A与事件B的交集构成的事件
称为事件A与事件B的积事件
记为A交B 或A乘B
如图所示
积事件中的元素既属于事件A
又属于事件B 其直观含义是
事件A和事件B同时发生
类似地 可定义n个事件A1 A2
直到An的积事件为事件集合A1 A2 到An的交集
即A1 A2 到An同时发生
事件A与事件B的差集构成的事件
称为事件A与事件B的差事件
记为A减B 如图所示
集合A与集合B的差集等于
从集合A中去掉属于集合B的元素
即A减B等于A交B补
事件A B差事件的直观含义是
事件A发生但事件B不发生
下面我们看一个例子
进一步地熟悉事件语言的表达
某同学在篮球场上进行了连续3次投篮练习
分别用事件A1 A2和A3表示第1次
第2次和第3次投中篮筐
试用A1 A2和A3表示下面Bi和Cj定义的事件
B0为事件 连续3次投篮中恰好有0次投中篮筐
即3次均未投中
为A1补 A2补和A3补同时发生
B1为事件 连续3次投篮中恰好有1次投中篮筐
投中的一次可能发生在第1次
第2次或第3次投篮
而其他两次未投中
所以是A1交A2补交A3补等三个积事件的并
B2为事件 连续3次投篮中恰好有2次投中篮筐
那么未投中的一次可能发生在第1次
第2次或第3次投篮
而其他两次均未投中
而其他两次均投中
仍是三个积事件的并
B3为事件 连续3次投篮中恰好有3次投中篮筐
就是3次均投中
为A1 A2和A3同时发生的积事件
C0为事件 连续3次投篮中至少有0次投中篮筐
是必然事件 如从 至少投中0次
可分为恰好投中0 1 2 3次等4种情况的角度理解
也可表示为B0到B3的并集
C1为事件 连续3次投篮中至少有1次投中篮筐
第1次投中 第2次投中
第3次投中有一个发生即可
所以是A1 A2 A3的并集
因为此时投中的次数共有1 2 3三种可能
所以C1也可表示为B1 B2 B3的并集
C2为事件 连续3次投篮中至少有2次投中篮筐
可用第1 2次都投中 第2 3次都投中和
第1 3次都投中的并集来表示
或者考虑投中的次数共有2 3两种可能
用B2 B3的并集表示
C3为事件 连续3次投篮至少有3次投中篮筐
就是3次均投中
等于A1 A2 A3同时发生的积事件 也等于B3
这里我们列举事件之间的几个运算律
这些运算律与集合的运算律完全相同
可以利用集合元素的归属加以验证
也可以借助维恩图得到
我们看几个特殊的事件
和事件关系所对应的概率运算
不可能事件的概率是0
必然事件的概率是1
事件A的补事件的概率等于1减去事件A的概率
事件A B差事件的概率等于
事件A的概率减去事件A B同时发生的概率
事件A B和事件的概率等于
事件A的概率加事件B的概率
再减去事件A B同时发生的概率
准备好了事件表达和运算规则的工具
下面我们看应用事件语言解决概率问题的例子
袋中有编号为1到n的n个球
从中有放回地任取m次
求取出的m个号码中
最大编号恰好是k的概率
求解的关键是设定恰当的事件
然后利用集合运算规则计算出概率
最大编号恰好是k 的情况比较复杂
是只抽到一次k
还是抽到2次k等等有多种可能
放宽些条件
考虑最大编号不超过k
则相当于在编号1到k的球中任意取球
其基本事件数很容易确定是k的m次方
而恰好为k就是不超过k减去不超过k-1的情形
这样就将不易求的 恰好 的问题
转化为了更好计算的
不超过 的问题来求解
设事件Ak为最大编号恰好是k
事件Bk为最大号码不超过k
则Ak等于Bk与B k-1的差事件
又注意到B k-1是Bk的子集
根据Bk和B k-1的概率
即可算出所求的事件Ak的概率
匹配问题有很多种提法
我们这里采用装信封的方式给出
n封写给不同人的信
随机放入n个写好收信人姓名的信封
1个信封装1封信
求所有信件全部都装错了信封的概率
将n封信分别编号为1到n
对应的信封也编号为1到n
设事件Ai表示编号为i的信
恰好装入了编号为i的信封
n封信全都装错是至少有一封信装对的补事件
而事件n封信中
至少有一封信装对等于事件A1到An的和事件
所以所求概率为1减去
事件A1到An的和事件的概率
这一计算需要用到概率的加法公式
两个和三个事件情形的加法公式比较简单
也易于用维恩图验证
n个事件的加法公式则有些复杂
我们这里只给出结论
证明这一公式的一个思路是
考虑A1到An并集中的任意元素
可验证该元素
虽然在右端很多积事件中都可能出现
但经过正负项求和抵消后
其在右端各项中出现的次数的总和一定为1
证明的细节在这里就不展开了
我们已经得到
所求概率p0的
用A1 A2 An
等的和事件概率的表达形式
并且用加法公式
展开了和事件概率的计算
加法公式中各个事件
和积事件的概率都容易计算
每个Ai的概率
也就是编号为i的信
恰好装入了
编号为i的信封的概率
都是1/n
而Ai1 Ai2到Aik的积事件
即为有k封信
装入了对应编号的信封
将k个封信
装入k个不同的信封
第1封信有n种选择
第2封信有n-1种选择
第k封信有n-k+1种选择
因此k封信
装入k个不同信封
共有n乘n-1
一直乘到n-k+1种不同的装法
而k封信恰好都装对
只有一种可能
所以 给定的k封信
装入了对应编号的信封的概率
为n乘n-1一直乘到n-k+1分之1
将所有积事件的概率
都代入加法公式
因为n个事件中
选k个共有Cnk种取法
所以Ai1 Ai2到Aik的积事件项
共有Cnk个
而每一个Ai1Ai2
到Aik的积事件的概率
均为n乘n-1一直乘到n-k+1分之1
所以k个积事件
总的概率和为
Cnk乘以n乘n-1
一直乘到n-k+1分之1
等于k阶乘分之一
符号为-1的k-1次方
最终
利用加法公式可计算出
A1到An和事件的概率为
1减2阶乘分之1
加3阶乘分之1
减4阶乘分之1
一直加到(-1)的n-1次方
乘以n阶乘分之1
而且利用1-e的-1次幂的展开式
可以得到
所求概率p0的很好的估计值
结果说明
无论是5封信还是100封信
全部装错的概率几乎是相同的
大约是0.37
-随机试验与随机事件
-古典概型
--1.2 古典概型
--第一周：古典概型
-事件间的关系与事件的运算
--第一周：事件间的关系与事件的运算
-两个著名的例子
--第一周：两个著名的例子
-讲义
-条件概率
--2.1 条件概率
--第二周：条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
--第二周：有关条件概率的三个重要计算公式
-事件的独立性
--第二周：事件的独立性
-应用实例
--2.4 应用实例
--第二周：应用实例
-网球比赛胜率的计算
--Video
-讲义
-随机变量及分布函数
--第三周：随机变量及分布函数
-离散型与连续型随机变量
--第三周：离散型与连续型随机变量
-分布函数的性质与特殊的例子
--第三周：分布函数的性质与特殊的例子
-概率论所需微积分要点回顾
--第三周：概率论所需微积分要点回顾
-讲义
-二项分布与负二项分布
--第四周：二项分布与负二项分布
-泊松分布
--4.2 泊松分布
--第四周：泊松分布
-几何分布与指数分布
--第四周：几何分布与指数分布
-正态分布
--4.4 正态分布
--第四周：正态分布
-讲义
-随机变量函数的分布
--第五周：随机变量函数的分布
-随机变量的数学期望
--第五周：随机变量的数学期望
-随机变量的方差
--第五周：随机变量的方差
-原点矩与中心矩
--第五周：原点矩与中心矩
-期望和方差的一些补充性质
--第五周：期望和方差的一些补充性质
-讲义
-二项分布与泊松分布的期望与方差
--第六周：二项分布与泊松分布的期望与方差
-几何分布的期望与方差
--第六周：几何分布的期望与方差
-均匀、指数和正态分布的期望与方差
--第六周：均匀、指数和正态分布的期望与方差
-随机变量数学期望的应用实例
--第六周：随机变量数学期望的应用实例
-快速排序算法的平均计算量分析
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-多维随机变量
-第七周：多维随机变量
-常见多维随机变量举例
--第七周：常见多维随机变量举例
-随机变量的独立性
--第七周：随机变量的独立性
-独立随机变量期望和方差的性质
--第七周：独立随机变量期望和方差的性质
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-条件分布
--8.1条件分布
--第八周：条件分布
-条件期望
--8.2 条件期望
--第八周：条件期望
-全期望公式（上）
--第八周：全期望公式（上）
-全期望公式（下）
--第八周：全期望公式（下）
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-随机变量函数的期望
--第九周：随机变量函数的期望
-协方差
--9.2 协方差
--第九周：协方差
-相关系数
-- 9.3 相关系数
--第九周：相关系数
-相关与独立
--第九周：相关与独立
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-独立随机变量和的分布
--第十周：独立随机变量和的分布
-独立正态分布和的分布
--第十周：独立正态分布和的分布
-最大值、最小值分布
--第十周：最大值、最小值分布
-顺序统计量
--第十周：顺序统计量
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-正态分布的相关与独立
--第十一周：正态分布的相关与独立
-边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
--第十一周：边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
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--第十一周：二项分布的正态近似
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--第十一周：正态近似计算实例
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--12.1大数定律
--第十二周：大数定律
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-伪随机数和随机模拟
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--第十三周：常用统计量
-三种重要的统计分布和分位数
--第十三周：三种重要的统计分布和分位数
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-参数的极大似然估计
--第十四周：参数的极大似然估计
-参数点估计的无偏性和有效性
--第十四周：参数点估计的无偏性和有效性
-参数点估计应用实例
--第十四周：参数点估计应用实例
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--第十五周：区间估计的基本思想
-区间估计的构造方法
--第十五周：区间估计的构造方法
-两个正态总体的区间估计
--第十五周：两个正态总体的区间估计
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--第十五周：大样本置信区间
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--第十六周：假设检验问题的提示和标准步骤
-假设检验问题的两类错误和P值
--第十六周：假设检验问题的两类错误和P值
-单个正态总体参数的假设检验
--第十六周：单个正态总体参数的假设检验
-拟合优度检验
--第十六周：拟合优度检验
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-利用期望的计算性质分析快速排序算法的平均计算量
-讲义
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-正态
--正态
-指数与二项
--指数与二项
-随机变量函数的分布
-指数分布期望
--指数分布期望
-切比雪夫不等式
--切比雪夫
-二元离散
--二元离散
-协方差
--协方差
-二元特征
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-统计量
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-无偏估计
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-点估计
--点估计
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--假设检验
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-大题
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