当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第六周：常见随机变量的期望方差和应用实例 > 二项分布与泊松分布的期望与方差 > 6.1二项分布与泊松分布的期望与方差
计算参数为n，p的
二项分布随机变量X的期望和方差
先计算X的期望
按定义展开
将Cnk按阶乘项展开
约掉k
得到n阶乘除以（k-1）的阶乘
除以（n-k）的阶乘
再乘以p的k次方q的（n-k）次方
然后提出np
各求和项的分子
变成（n-1）的阶乘
p为(k-1)次幂
将算式用n-1和k-1表示
分母部分的n-k和q的次幂
均表示为（n-1）减去（k-1）
然后用j替换k-1
j从0到n-1取值
求和式正好是(p+q)的
n-1次方的展开式
而p+q=1
所以X的期望等于np
计算二项分布的方差
首先计算X平方的期望
按定义展开
将Cnk按阶乘项展开
并将k平方拆分为k乘（k-1）加k
由k方的拆分式
将计算分为两部分求和
第一部分的每个求和项中
包含k乘（k-1）
而第二部分就是X的期望的
求和表达式 等于np
因为k=1对应的求和项等于0
所以将第一部分求和
表达为从k=2到k=n求和
约掉k乘（k-1）
每个求和项中
提出n乘（n-1）和p平方
并尽量使求和式用n-2和k-2表示
将求和项的分母和q的次数中的
n-k都拆分为（n-2）减去（k-2）
然后用j替换k-2
j从0到n-2取值
求和式正好是(p+q)的n-2次方的展开式
而p+q=1
所以X方的期望等于
n乘（n-1）乘p平方加上np
等于n方p方加np乘（1-p）
X的方差等于X的平方的期望
减去X期望的平方
np的平方约掉
得到参数为n，p的二项分布随机变量
X的方差为np乘以（1-p）
还可以从0-1分布求和的角度
理解二项分布
由此更容易地得到
二项分布随机变量的期望和方差公式
考虑n个独立的0-1分布随机变量
X1，X2到Xn
从1到n的每一个k
Xk均为参数为p的0-1分布
即满足 Xk等于1的概率为p
Xk等于0的概率为1-p
则X1，X2到Xn的取值均为0或1
X1+X2一直加到Xn
结果就是X1到Xn中1的个数
若将Xk=1记为成功
Xk=0记为失败
则X1加X2一直加到Xn
就是进行n次伯努利试验
取得成功的次数
服从参数为n,p的二项分布
对于所有1到n中的k
Xk的期望等于p
Xk方的期望也等于p
Xk的方差等于Xk方的期望
减去Xk期望的平方
等于p乘以（1-p）
X等于X1加X2一直加到Xn
X的期望也等于X1的期望
X2的期望 直到Xn的期望求和
每一个Xk的期望均为p
所以X的期望等于np
当X1，X2到Xn相互独立时
X1到Xn求和的方差
等于X1到Xn方差的求和
每一个Xk的方差均为p乘以(1-p)
所以总的方差为np乘以（1-p）
这里提到了随机变量
相互独立的关系
我们可暂且理解为互不影响
这一概念的严格含义
我们在后面的课程中会给出
参数为λ的泊松分布随机变量X
其分布律为对任意非负整数k
X=k的概率为e的负λ次幂
乘以k阶乘分之λ的k次方
我们首先利用定义
计算泊松分布随机变量的期望和方差
泊松分布随机变量的取值为
全体非负整数
所以参数为λ的泊松分布
它的期望等于k乘以X=k的概率
k从0到无穷求和
X=k的概率为e的负λ次幂
乘以k阶乘分之λ的k次方
k=0时 乘积项为零
所以求和等于k从1到无穷求和
约掉k 并提出一个λ
求和式等于λ乘以e的负λ次幂
乘以k-1的阶乘分之λ的k-1次方
k从1到无穷求和
用j替换k-1
得到λ乘以e的负λ次幂
乘以j的阶乘分之λ的j次方
j从0到无穷求和
求和号里的各项
恰为参数为λ的泊松分布随机变量
所有取值的概率和等于1
所以整个算式等于λ
即得到X的期望等于λ
再计算X平方的期望
等于k平方乘以X=k的概率
k从0到无穷求和
k=0时 乘积项为零
所以求和等于k从1到无穷求和
将k平方拆分为k乘（k-1）加k
这样将整个求和式拆分为两部分
前一部分为k乘（k-1）
乘以X=k的概率求和
后一部分为k乘以X=k的概率求和
而这后一部分就是随机变量X的
期望的展开式
已经计算过了等于λ
我们只需要集中计算
前一部分的求和即可
前一部分的求和式
当k=1时的求和项等于0
所以求和等于k从2到无穷求和
约掉k乘以（k-1）
并提出一个λ平方
得到λ方乘以e的负λ次幂
乘以k-2的阶乘分之λ的k-2次方
k从2到无穷求和
用j替换k-2
得到前一部分求和等于λ方
乘以泊松分布的分布列求和
等于λ方
所以整个的求和式等于λ方加λ
X的方差等于X平方的期望
减去X期望的平方
等于λ方加λ减去λ方 等于λ
计算X平方的期望过程中
将k平方拆分为k乘（k-1）加k
这一类的拆分是概率统计计算中
常用的处理方法
目的是为了凑出随机变量的分布列求和
或期望等的求和式
利用求和式的概率意义
和已知的概率结果
往往可以简化计算
刚才利用期望和方差的定义
我们算出了参数为λ的泊松分布随机变量
X的期望和方差均为λ
也可以用二项分布极限的观点
理解泊松分布的期望和方差
参数为λ的泊松分布随机变量X
其分布律为对任意非负整数k
X=k的概率为e的负λ次幂
乘以k阶乘分之λ的k次方
随机变量Yn服从参数为n，p的二项分布
其中的参数n，p满足
n很大，p很小 而且n趋于无穷时
np乘积趋于λ则当n趋于无穷时
随机变量Yn也趋向于等于随机变量X
Yn的期望为np方差为np乘以（1-p）
考虑到当n趋于无穷时 np趋于常数
所以p趋于0,1-p就趋于1
所以n趋于无穷时
Yn的期望为np趋于λ
Yn的方差也趋于λ
所以参数为的泊松分布随机变量X
其期望和方差均为λ
-随机试验与随机事件
-古典概型
--1.2 古典概型
--第一周：古典概型
-事件间的关系与事件的运算
--第一周：事件间的关系与事件的运算
-两个著名的例子
--第一周：两个著名的例子
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--2.1 条件概率
--第二周：条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
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--第二周：事件的独立性
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--2.4 应用实例
--第二周：应用实例
-网球比赛胜率的计算
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-随机变量及分布函数
--第三周：随机变量及分布函数
-离散型与连续型随机变量
--第三周：离散型与连续型随机变量
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--第三周：分布函数的性质与特殊的例子
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-二项分布与负二项分布
--第四周：二项分布与负二项分布
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--4.2 泊松分布
--第四周：泊松分布
-几何分布与指数分布
--第四周：几何分布与指数分布
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--4.4 正态分布
--第四周：正态分布
-讲义
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--第五周：随机变量函数的分布
-随机变量的数学期望
--第五周：随机变量的数学期望
-随机变量的方差
--第五周：随机变量的方差
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-二项分布与泊松分布的期望与方差
--第六周：二项分布与泊松分布的期望与方差
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--8.1条件分布
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--9.2 协方差
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-- 9.3 相关系数
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--第十六周：拟合优度检验
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