当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第一周：随机事件及其概率运算 > 古典概型 > 1.2 古典概型
有了事件的概念
我们就可以定义古典概型
如果某样本空间中的每个基本事件
都是等可能出现的
事件的概率可用比值计算
当该样本空间的元素是离散的点时
则事件A的概率就等于事件A所包含的基本事件数
占样本空间 全部基本事件数的比例
当该样本空间为一个几何区域时
事件A的概率就等于事件A所占的区域大小
与样本空间所占全部区域大小的比例
一维情形区域大小即为线段的长度
二维情形区域大小是面积
三维情形区域大小则是体积
这一概率模型就被称为古典概型
也叫等可能概型
我们看几个古典概型的例子
首先问大家一个问题
如果你们班上有30位同学
考虑大家的生日
问
其中有某两位同学
生日相同的可能性大呢
还是所有同学生日都互不相同
更有可能呢
假定每个人的生日在一年365天的每天中
是随机而且等可能的
我们不考虑闰年 双胞胎等特殊情况
作为一个模型
这样虽然近似但比较简单的假定
便于展开进一步的理解和分析
而且忽略掉的信息对结果的影响应该不占主导
当然 如果想得到更为精确的分析
考虑更多的影响因素
也是可以做到的
此时模型就会变得更为复杂一些
人们利用数学方法分析实际问题时
往往需要在问题处理精确程度的需要
和模型的复杂性之间做出平衡
回到生日问题
我们将问题明确地叙述如下
求n个人的生日互不相同的概率
我们只考虑一年365天的情形
问题中要求n不大于365
因为如果超过365人
则人数比天数多
他们的生日不可能都不相同
随机抽取一人
其生日共有365种可能
而n个人将这365种可能重复n次
所以n个人
全部可能的生日分布情况是
365的n次方种
作为分母
若要求n个人生日互不相同
则第1个人有365种生日的可能
第二个人有364种可能 等等
第n个人的生日有365-（n-1）种可能
共计365乘以364乘以363等等
一直乘到365-（n-1） 作为分子
这样得到所求概率pn
这个表达式不容易直接计算
为了有效地估计这个概率值
将pn的表达式进一步整理为
1-1/365一直乘到1-（n-1）/365的形式
当x远远小于1时
ln（1-x）近似等于-x
利用这一近似关系
可以得到当n较小时pn的近似式
pn约等于e的负730分之n乘n-1次幂
对比n=10和n=30时的精确值p10 p30
和利用近似公式得到的估计值p10一把和p30一把
我们看到当n增大时
近似的精度有所下降
但达到30时 仍然具有较好的近似效果
P30的精确值为0.2937
这说明在一个30人的班级中
有超过70%的可能至少有某两个人生日相同
根据近似式还可以解出只要超过23人
有两个人有相同生日
就比没有两个人有相同生日的可能性更大
这个盒子模型
是一个在统计物理学中起重要作用的例子
统计物理的理论
需要对粒子的存在方式进行假设和计数
抽象为盒子模型
即n个小球
每个球都等可能地
被放到大N个不同的盒子中的任意一个
求指定的小n个盒子里
各有一个小球的概率
其中要求盒子的数目不少于小球数
根据对球和盒子性质的三种不同假设
这一问题有三种不同的解法和得数
相对于各自的假设
每种解法都是正确的
第（1）种是麦克斯韦-玻尔兹曼提出的条件
假设 n个球各自不同
也称n个小球是可分辨的
并假定每个盒子能容纳任意多个小球
则每个小球装入大N个盒子里有n种不同的可能
n个小球装入N个盒子共有N的n次方种可能
而n个小球装入指定的n个盒子
共有n阶乘种可能
这样得到概率p
第（2）种假设是每个盒子至多容纳1个球
且小球不可分辨
即n个小球完全相同无法区分
这时结果是显然的
p等于C N n分之1
第（3）种波色-爱因斯坦统计
假定n个小球不可分辨
即完全相同
对每个盒子
仍然假定能容纳任意多个小球
这时样本空间有点复杂
我们对比第（1）种假设的情况进行分析
希望得到一些启发
在第(1)种假设下
分布方法不仅依赖于每个盒子里小球的个数
而且还依赖是哪几个小球
而现在则只依赖于盒子中的小球个数
因此计算基本事件的方法是不同的
为了清楚地说明这一点
我们就3个盒子
2个小球的情形写出假设(1)和假设（3）下
全部的基本事件
用a b表示两个小球
减号表示盒子为空
例如（ab - -）表示第一个盒子中放a b两个小球
其余两个盒子为空
则第（1）种假设下共有3的平方等于9个基本事件
构成样本空间
而在第（3）种假设下
对假设（1）样本空间中的4 5号元素是不加区分的
把它们看成是同一基本事件
同样对6 7和8 9也是如此
所以第（3）种假设下
样本空间中共有6个基本事件
其中我们用*表示小球
因为指定n个位置各放1个小球只有1种可能
于是当3个盒子 2个小球时
所求概率为1/6
一般情况下第（3）种假设下基本事件的个数
可以利用一个巧妙的直观想法
把N个盒子排成一行
相当于有N+1个挡板
用竖线 | 表示
然后把n个小球
即n个 *号插入到不同的挡板之间排成一行
则小球与挡板不同的组合方式
即形成了不同的装球方式
考虑到最外侧两个挡板的位置是固定的
则内部N-1个挡板和n个小球共有N+n-1个位置
n个小球在这N+n-1个位置中全部可能的
放置方式是C N+n-1 n种
即为第（3）种假设下基本事件的个数
所以求得概率为组合数C N+n-1 n分之1
再看一个会面问题的例子
甲 乙两人约定在下午4点至5点之间见面
并约定等候20分钟
过时即离去
求二人的会面概率
设甲乙两人分别在4点x分和4点y分到达
则x和y均小于等于60 大于等于0
并且在[0 60]区间均匀地取值
两人能够碰面的充要条件是
x-y的绝对值小于等于20
如图表示满足这一不等式的x y的范围
即为图中标为彩色的区域
因为（x,y）点在整个正方形区域内是等可能的
所以所求概率为图中彩色部分面积
除以整个（x y）的取值范围正方形Ω的面积
容易算出彩色区域外的
两个小三角形面积占Ω的面积的4/9
所以所求概率为5/9
古典概型是做了等可能假设的
非常特殊的样本空间下的一种概率模型
其功能是很有局限的
为了处理千变万化随机现象
还需要引入更一般的概率模型
下一节课我们学习一般样本空间中
随机事件之间的关系和事件的概率运算
-随机试验与随机事件
-古典概型
--1.2 古典概型
--第一周：古典概型
-事件间的关系与事件的运算
--第一周：事件间的关系与事件的运算
-两个著名的例子
--第一周：两个著名的例子
-讲义
-条件概率
--2.1 条件概率
--第二周：条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
--第二周：有关条件概率的三个重要计算公式
-事件的独立性
--第二周：事件的独立性
-应用实例
--2.4 应用实例
--第二周：应用实例
-网球比赛胜率的计算
--Video
-讲义
-随机变量及分布函数
--第三周：随机变量及分布函数
-离散型与连续型随机变量
--第三周：离散型与连续型随机变量
-分布函数的性质与特殊的例子
--第三周：分布函数的性质与特殊的例子
-概率论所需微积分要点回顾
--第三周：概率论所需微积分要点回顾
-讲义
-二项分布与负二项分布
--第四周：二项分布与负二项分布
-泊松分布
--4.2 泊松分布
--第四周：泊松分布
-几何分布与指数分布
--第四周：几何分布与指数分布
-正态分布
--4.4 正态分布
--第四周：正态分布
-讲义
-随机变量函数的分布
--第五周：随机变量函数的分布
-随机变量的数学期望
--第五周：随机变量的数学期望
-随机变量的方差
--第五周：随机变量的方差
-原点矩与中心矩
--第五周：原点矩与中心矩
-期望和方差的一些补充性质
--第五周：期望和方差的一些补充性质
-讲义
-二项分布与泊松分布的期望与方差
--第六周：二项分布与泊松分布的期望与方差
-几何分布的期望与方差
--第六周：几何分布的期望与方差
-均匀、指数和正态分布的期望与方差
--第六周：均匀、指数和正态分布的期望与方差
-随机变量数学期望的应用实例
--第六周：随机变量数学期望的应用实例
-快速排序算法的平均计算量分析
--Video
-讲义
-多维随机变量
-第七周：多维随机变量
-常见多维随机变量举例
--第七周：常见多维随机变量举例
-随机变量的独立性
--第七周：随机变量的独立性
-独立随机变量期望和方差的性质
--第七周：独立随机变量期望和方差的性质
-讲义
-条件分布
--8.1条件分布
--第八周：条件分布
-条件期望
--8.2 条件期望
--第八周：条件期望
-全期望公式（上）
--第八周：全期望公式（上）
-全期望公式（下）
--第八周：全期望公式（下）
-讲义
-随机变量函数的期望
--第九周：随机变量函数的期望
-协方差
--9.2 协方差
--第九周：协方差
-相关系数
-- 9.3 相关系数
--第九周：相关系数
-相关与独立
--第九周：相关与独立
-讲义
-独立随机变量和的分布
--第十周：独立随机变量和的分布
-独立正态分布和的分布
--第十周：独立正态分布和的分布
-最大值、最小值分布
--第十周：最大值、最小值分布
-顺序统计量
--第十周：顺序统计量
-讲义
-正态分布的相关与独立
--第十一周：正态分布的相关与独立
-边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
--第十一周：边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
-二项分布的正态近似
--第十一周：二项分布的正态近似
-正态近似计算实例
--第十一周：正态近似计算实例
-讲义
-大数定律
--12.1大数定律
--第十二周：大数定律
-中心极限定理
--第十二周：中心极限定理
-蒙特卡洛（Monte Carlo）算法
-伪随机数和随机模拟
-讲义
-统计学实例
-总体与样本
-常用统计量
--第十三周：常用统计量
-三种重要的统计分布和分位数
--第十三周：三种重要的统计分布和分位数
-讲义
-参数的矩估计
--第十四周：参数的矩估计
-参数的极大似然估计
--第十四周：参数的极大似然估计
-参数点估计的无偏性和有效性
--第十四周：参数点估计的无偏性和有效性
-参数点估计应用实例
--第十四周：参数点估计应用实例
-讲义
-区间估计的基本思想
--第十五周：区间估计的基本思想
-区间估计的构造方法
--第十五周：区间估计的构造方法
-两个正态总体的区间估计
--第十五周：两个正态总体的区间估计
-大样本置信区间
--第十五周：大样本置信区间
-讲义
-假设检验问题的提示和标准步骤
--第十六周：假设检验问题的提示和标准步骤
-假设检验问题的两类错误和P值
--第十六周：假设检验问题的两类错误和P值
-单个正态总体参数的假设检验
--第十六周：单个正态总体参数的假设检验
-拟合优度检验
--第十六周：拟合优度检验
-讲义
-利用条件概率计算网球比赛胜率
-利用期望的计算性质分析快速排序算法的平均计算量
-讲义
-事件
--事件
-分布函数
--分布函数
-正态
--正态
-指数与二项
--指数与二项
-随机变量函数的分布
-指数分布期望
--指数分布期望
-切比雪夫不等式
--切比雪夫
-二元离散
--二元离散
-协方差
--协方差
-二元特征
--二元特征
-统计量
--统计量
-无偏估计
--无偏估计
-点估计
--点估计
-假设检验
--假设检验
-选择
--选择
-填空
--填空
-大题
--大题
