当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第五周：随机变量函数的分布及随机变量的数字特征 > 随机变量的数学期望 > 5.2 随机变量的数学期望
我们先考虑一个例子
假设某人投资10万元
预期收益是不确定的
如果投资结果有两种可能
或者回收10万元保本
或者回收15万元
得到5万元利润
根据经验判断
保本的可能性为60%
盈利的可能性是40%
估算一下平均收益
因为60%的可能性保本
利润为0
40%的可能性获得5万元利润
所以平均收益为
0乘以5分之3加5乘以5分之2
等于2万元
若另有一项10万元的投资
其结果仍然有两种可能
根据经验判断
或者以60%的可能回收0元
亏损10万元
或者以40%的可能回收30万元
得到20万元利润
此时平均收益为-10
乘以5分之3加20乘以5分之2
仍等于2万元
两项投资预期的平均收益都是2万元
若要从中做出决策
如何决定
可能不少人会选择第一种
最差也能保本的项目
但也有人更愿意尝试第二个
看似风险更大的项目
所谓的风险大就是不同可能性
对应的收益差别大
收益的波动大
一般而言
人们会依据平均收益和风险程度
两个方面进行判断
上述例子
反映了随机或不确定情况下
平均值是人们常用的参考量
而平均值相同的时候
分散程度或波动程度的不同
又会带来差异
在概率论中
描述随机变量两方面特征的
标准概念是期望和方差
下面分别给出它们在数学上的定义
随机变量X的数学期望
就是随机变量的加权平均值
当X为离散型随机变量时
其数学期望等于
所有取值与该取值概率乘积的求和
而连续型随机变量的数学期望
则定义为x乘以密度函数
从负无穷到正无穷的积分
为了保证数学期望有确切的意义
离散型随机变量
要求满足其取值绝对值
与该取值概率乘积求和为有限值
连续型随机变量要求
x的绝对值乘以密度函数
从负无穷到正无穷的积分有界
才称其数学期望存在
本周第5讲中
我们会给出
不存在数学期望的随机变量的例子
看一个例题
投掷一颗均匀的色子
求掷出点数的数学期望
设投出的点数为随机变量X
则随机变量X共有1,2,3,4,5,6
六个可能的取值
每个取值都是等可能的
所以X服从下面的分布律
取值为1至6的概率均为6分之1
计算随机变量X的数学期望
计算X的每一个取值
乘以取到该值的概率求和
得到i从1到6
对i乘6分之1求和
等于6分之1乘以2分之6乘以7
等于3.5
随机变量X的函数g(X)的期望
就是g(X)取值的加权平均
当X为离散型随机变量时
随机变量g(X)的数学期望
等于g（xk）乘以X=xk的概率
对所有k求和
而当X为连续型随机变量时
g(X)的数学期望则等于
g(x)乘以X的密度函数f(x)
从负无穷到正无穷的积分
例如 本周第1讲用过的例子
X为一离散分布
求Y等于X平方加X的期望
Y的期望就是每一个X取值xk
对应的函数值乘以X=xk概率
代入具体数值展开计算
得到Y的期望等于1.2
这里列出随机变量
数学期望的几个基本性质
常数c相当于以概率1
取值为c的特殊的随机变量
它的取值没有变化
因此期望就是c
随机变量cX的期望等于c乘以X的期望
两个随机变量相加
得到新的随机变量的期望
等于两个随机变量各自的期望相加
这一结论还可以推广到
多个随机变量相加
随机变量X1加X2一直加到Xn的期望
等于随机变量X1
X2直到Xn各自的期望相加
g1和g2是两个函数
则g1(X)加g2(X)的期望
等于g1(X)的期望加g2(X)的期望
前两个结论很容易验证
后面几个关于随机变量求和的
期望的结论
证明有些麻烦
我们暂且先不加证明地
引入这几个结论
我们看一个第一周课中
遇到过的例子
匹配问题
n封写给不同人的信
随机放入n个写好收信人姓名的信封
1个信封装1封信
则装对了信封的信件数是随机的
求平均有几封信会装对信封
首先 将n封信分别编号为1到n
对应的信封也编号为1到n
对k等于1到n
定义随机变量Xk
当编号为k的信件
装入了编号为k的信封
则Xk等于1 否则Xk等于0
由于每封信是等可能地放入
n个信封中的任意一个
所以Xk等于1的概率为n分之1
Xk等于0的概率就为1减n分之1
Xk的期望为1乘n分之1
加0乘1减n分之1 等于n分之1
第k封信装对了Xk即为1
装错了Xk为0
所以X1加X2 一直加到Xn
就是装对了信封的信件的总数
所以 装对信封的信件的平均数
为X1加X2一直加到Xn的期望
等于X1的期望加X2的期望
一直加到Xn的期望
等于n个n分之1相加 等于1
也就是说 无论n为多少
平均意义下
都是只有1封信会装对信封
-随机试验与随机事件
-古典概型
--1.2 古典概型
--第一周：古典概型
-事件间的关系与事件的运算
--第一周：事件间的关系与事件的运算
-两个著名的例子
--第一周：两个著名的例子
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-条件概率
--2.1 条件概率
--第二周：条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
--第二周：有关条件概率的三个重要计算公式
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--第二周：事件的独立性
-应用实例
--2.4 应用实例
--第二周：应用实例
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-随机变量及分布函数
--第三周：随机变量及分布函数
-离散型与连续型随机变量
--第三周：离散型与连续型随机变量
-分布函数的性质与特殊的例子
--第三周：分布函数的性质与特殊的例子
-概率论所需微积分要点回顾
--第三周：概率论所需微积分要点回顾
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--第四周：二项分布与负二项分布
-泊松分布
--4.2 泊松分布
--第四周：泊松分布
-几何分布与指数分布
--第四周：几何分布与指数分布
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--4.4 正态分布
--第四周：正态分布
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--第五周：随机变量函数的分布
-随机变量的数学期望
--第五周：随机变量的数学期望
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--第五周：随机变量的方差
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--第五周：原点矩与中心矩
-期望和方差的一些补充性质
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-二项分布与泊松分布的期望与方差
--第六周：二项分布与泊松分布的期望与方差
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-均匀、指数和正态分布的期望与方差
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-第七周：多维随机变量
-常见多维随机变量举例
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-独立随机变量期望和方差的性质
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-条件分布
--8.1条件分布
--第八周：条件分布
-条件期望
--8.2 条件期望
--第八周：条件期望
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-全期望公式（下）
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-随机变量函数的期望
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--9.2 协方差
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-- 9.3 相关系数
--第九周：相关系数
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--第九周：相关与独立
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--第十周：独立随机变量和的分布
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--第十周：最大值、最小值分布
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--第十周：顺序统计量
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-正态分布的相关与独立
--第十一周：正态分布的相关与独立
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--12.1大数定律
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--第十五周：区间估计的基本思想
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--第十六周：假设检验问题的两类错误和P值
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--第十六周：单个正态总体参数的假设检验
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--第十六周：拟合优度检验
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-指数分布期望
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