当前课程知识点：概率论与数理统计 > 习题课二 > 随机变量函数的分布 > 随机变量函数的分布
这个题目考查随机变量函数的分布
那么已知随机变量X
是服从区间0 1上的均匀分布
我们来计算这个Y等于-ln根号1减x
它的密度函数以及分布函数
对于随机变量函数的分布
那么有两种常用的方法
也就是我们考查连续性随机变量X
它的函数是g（x）
我们来计算这个g（x）的分布函数
或者密度函数
那么一般有两种方法
一个是当
这个g（x）满足这样一系列条件的时候
那么这个随机变量Y的密度函数
就可以很容易的
通过随机变量X的密度函数得到
另外一种方法是利用分布函数的定义
我们来计算随机变量Y的分布函数
我们知道这个随机变量Y的分布函数
在Y点取值
就等于随机变量y小于等于y的概率
那么就等于什么呢
g（x）小于等于y的概率
那么相应的我们确定这个x的范围
然后对x的密度函数f（x）做积分
就得到了随机变量y的分布函数
那这两个方面各有利弊
那我建议大家首先掌握
利用分布函数的定义来进行计算的方法
因为这个方面它是以不变应万变的方法
那么上面这个公式虽然简洁
但是它需要满足一系列的条件
这一系列的条件必须得验证
都满足这个计算才是正确的
所以这个实际上还是有一定风险的
但是用分布函数来计算
虽然可能计算上稍稍的复杂一点
但是它是最一般的方法
所以我觉得还是用定义法更保险一些
好了 那么我们对这个具体问题来进行计算
我们就用这个分布函数的定义来进行计算
那首先我们知道
因为这个y等于-ln根号1-x
那么x是0到1之间的均匀分布
所以ln（1-x）是小于0的 加负号
y永远大于等于0 永远大于0
所以当y小于0的时候
这个随机变量Y的分布函数是等于0的
当y大于0的时候
我们利用这个分布函数的定义来计算
那么这个随机变量Y
它的分布函数在y的取值
就等于这个概率式子
这里应该是X
好了我们就推出来
这个概率就等于随机变量X小于等于
1减去e的负2y次幂的概率
那因为X是0 1区间的均匀分布
所以这个概率就等于
1减去e的负2y次幂
好了 我们就得到了随机变量Y的分布函数
那它的密度函数通过对外求导
也可以很容易的得到
好了 这个题目我们就讲到这
随机变量X
它的密度函数是这样一个形式
那么我们可以看出来随机变量X
它实际上是服从参数是3的指数分布
Y呢由X来定义
好 那我们来计算这个随机变量Y的
分布函数
首先我们来确定随机变量Y的取值范围
那么根据这个Y关于X的函数关系
我们就可以画出来
y依赖于x的这样一个曲线
当x小于0的时候 y等于-x
当x大于0的时候
y关于x是这样的一个抛物线
所以y的取值一定是大于等于-1的
那么也就是当y小于-1的时候
那么随机变量Y的分布函数一定是0
那下面我们就考查
这个y大于等于-1的时候情况
那么随机变量Y它的分布函数
利用这个定义就等于这个
然后我们再利用Y和X的函数关系
把这样一个概率对应成随机变量
x在某一范围的取值概率
这样的话我们就能够算出来
随机变量Y的分布函数
好 那这个对应部分
当x小于0的时候
因为随机变量X的密度都是0
所以这部分一定就没有概率
好 那么当这个y大于-1的时候
在0到1区间的时候
某一个y值对应x的范围是这一部分
当这个y大于0的时候
那么对于固定的一个y值
它的相应x的范围是这样一个范围
所以我们要分段处理
也就是当y属于-1到0的时候
这个时候对于任意一个y值
它对应的这个概率
就是x在这样一个区间的取值概率
我们可以通过抛物线的
这样的取值计算出来
那么这个范围就是
这个点是1减去根号1加y
这个点是1加上根号1加y
好了 那我们来计算这个具体的概率
就得到密度函数
X的密度函数在这两个端点之间的积分
我们得到当y属于-1到0的时候
对于任何一个y值
随机变量Y的分布函数
是这个式子
那么当y大于等于0的时候
那么对于固定的y值
这个x的取值范围在这一段
我们可以看出来这个左边一定是0
右边就是1加根号1加y
所以这个时候
这个随机变量Y的分布函数
就是这个随机变量X
在这样一个范围之内的这个取值概率
就是我们做积分运算
就得到了这个概率值
好 最后我们把结果综合在一起
这个y小于-1 y取-1到0
以及y大于0这三个结果
我们把它综合起来就得到了随机变量Y的
分布函数
好 这个问题我们就讲到这
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-古典概型
--1.2 古典概型
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--第一周：事件间的关系与事件的运算
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--第一周：两个著名的例子
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--2.1 条件概率
--第二周：条件概率
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--第二周：有关条件概率的三个重要计算公式
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--第二周：事件的独立性
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--2.4 应用实例
--第二周：应用实例
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-随机变量及分布函数
--第三周：随机变量及分布函数
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--第三周：离散型与连续型随机变量
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--第三周：分布函数的性质与特殊的例子
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--第三周：概率论所需微积分要点回顾
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--第四周：二项分布与负二项分布
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--4.2 泊松分布
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--4.4 正态分布
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--第五周：随机变量函数的分布
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