当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第三周：随机变量 > 概率论所需微积分要点回顾 > 3.4 概率论所需微积分要点回顾
连续型随机变量的概率
常常要通过密度函数的积分计算得到
所以概率论包括统计学中
都会经常用到积分运算
这一节课
我们就专门对积分与微分运算
做一个简要的回顾
首先从面积的计算说起
长方形、平行四边形、
三角形、梯形、圆形的面积
我们很小的时候就会算了
而下面两个区域的面积
似乎并不是很容易的
现在请大家思考一个问题
我们为什么会算上排
这些图形的面积
而不会算下排图形的面积
这么提可能对同学们不公平
因为我们很可能都会算
那么这个问题更确切地提法
因该是这么说
考虑为什么2000年前的古人
我国汉朝的人和古希腊人
会算上排的矩形等面积
而不会算下排这两个区域的面积
实际上
古人之所以会算上面几个图形的面积
是因为这些图形的面积简单
由简单的规律就可以控制
先看长方形
长方形的高永远不变
它的变化规律如此简单
所以它的性质人们当然就比较容易掌握
长方形的面积就是它的长乘以高
平行四边形、三角形、梯形
都可以通过一些拆拆补补的方式
归结为长方形
而得到相应的面积计算的公式
再看圆形
它的规律也非常容易刻画
圆的半径永远不变
进而可以证明
圆的面积等于以其周长为底
半径为高的三角形的面积
所以
这些图形的面积人们之所以会算
就是因为它们简单
它们的变化非常少
所以可以很容易地认识到
控制它们性质的规律
我们再看下面两个区域
因为它们的高永远在变
这里面并没有特别显然和简单的规律
所以人类在两三千年以前
就会计算长方形、圆形的面积
而直到十七世纪
才开始会计算
下面这种曲线围成的面积
考虑这条曲线围成的面积
我们不设这条曲线
代表某个物体的速度变化情况
用函数v(t)表示
曲线的起点a和终点b分别代表两个时刻
这时曲线在a，b之间围成的面积
就等于在a，b时刻之间物体走过的路程
对路程等于速度所围成的面积这一点
我们有必要做一解释
以使这一事实真的明了起来
将线段a，b分为n份
设t0=a，tn=b
中间点分别是t1 t2 t3等
且a=t0小于t1小于t2
一直小于…小于t(n-1)小于tn=b
第k个的小线段的长度
记为Δtk=tk-t（k-1）
在t（k-1）和tk之间任取一点ξk
当t（k-1）与tk非常接近时
可近似认为
在这一小的时段内
物体是按照v（ξk）的速度匀速运动
其走过的路程
大约是v（ξk）乘以Δtk
这个值对应的是一个小矩形面积
这个小矩形的面积
就与t（k-1）与tk之间曲线
所围面积的近似相等
每个区间累积起来
让n趋于无穷
所有Δtk都趋于0
则近似误差也趋于0
即得到总路程等于总面积
既然面积等于速度函数v(t)
从a时刻到b时刻走过的路程
计算面积就可以避开
永远变化着的速度函数
如果知道路程随时间变化的函数S(t)
则总路程即为S(b)-S(a)
v(t)在a，b两点间围成的面积
就等于S(b)-S(a)
只和两个点有关
而不再依赖无穷多个点
我们还发现
S(t)和v(t)有内在的联系
路程的变化率等于速度
所以S(t)的导数等于v(t)
要计算v(t)围成的面积
我们不用考虑
它在无穷个点上的变化
只要找到哪个函数的导数是v(t)
则这个面积
用那个函数两个点的取值的差
即可得到
也就是无穷多个点所围面积
实际上被另一个函数
在两个点的信息所控制
如果我们得到这个控制函数
无穷多个点的变化就都化解了
而归结为两个点的信息
我们会的总是简单的
所谓规律往往就是
操纵变化过程的简单规则
关键是我们能否认识到
复杂表象下
是否有简单的规则
在背后操纵它们
如果发现了
我们的认识就提高了一步
当然所谓简单也不是绝对的
积累的理论和实践经验越丰富
此时简单的内涵就越丰富
可以说理解清晰了
就是简单了
将刚才S(t)和v(t)的关系一般化
面积用积分符号表示
即得到微积分基本定理
也就是牛顿-莱布尼茨公式
计算f(x)在a，b区间的积分
就是要找到哪个函数的导数是f(x)
即f(x)的原函数F(x)
因此积分运算是导数运算的逆运算
一般逆运算都更困难一些
例如解方程就是函数求值的逆运算
我们解方程f(x)=0
就是要找哪一个点x
对应的函数值f(x)=0
显然比直接算给定点的函数值要困难
积分运算也同样比导数运算困难
对任意的初等函数
和它们的四则运算以及复合函数
均有明确的导数运算规则
而积分运算则不那么容易
很多形式看似很简单的函数
却不存在能够用初等函数表达的原函数
但人们还是根据导数运算规则
总结出一些积分运算的规则
具体运算规则也是相对应的
常用函数的导数公式
直接对应一些常用函数的积分公式
复合函数的求导公式
对应定积分的换元法
两个函数乘积的求导公式
对应分部积分法
这里列出8个
在概率论统计学中
最常用、基本的导数公式
所有公式都是对变量x求导
也就是函数相对于变量x的变化率
常值函数
函数值永远不变
它相对于x的导数是零
x的a次幂的导数
是a乘以x的a-1次幂
sinx的导数是cosx
cosx的导数是负的sinx
e的x次幂的导数还是它本身
lnx的导数是x分之1
arcsinx的导数是根号1-x方分之1
arctanx的导数是1加x方分之1
对应于上面8个基本求导公式的
基本积分公式
1在区间a，b的积分等于b-a
相当于底边长为b-a
高为1的矩形面积
alpha加1分之
x的alpha加1次幂的导数
是x的alpha次幂
所以x的alpha次幂
在a，b区间的积分是
alpha加1分之b的alpha加1次幂
减去a的alpha加1次幂
cosx在a，b区间的积分
等于sinb减去sina
负的cosx的导数是sinx
所以sinx 在a，b区间的积分
等于cosa减去cosb
e的x次幂在a，b区间的积分等于
e的b次幂减去e的a次幂
x分之1在a，b区间的积分等于
lnb减去lna
等于ln a分之b
根号1减x方分之1
在a，b区间的积分等于
arcsinb减去arcsina
这里要求a，b大于等于-1
小于等于1
1加x方分之1在a，b区间的积分
等于arctan b减去arctana
我们考虑复合函数f(g(x))的求导公式
对x求导
展开成以g(x)过渡的形式
其中f一撇g(x)
是导函数f一撇在g(x)点的取值
两边同乘以dx得到df(g(x))
等于f一撇g(x)乘以g一撇(x)dx
等式两边在a,b区间积分
得换元积分公式
f一撇g(x)乘以g一撇x在a，b区间的积分
等于f（g（b））减f（g（a））
也可以把g一撇(x)dx表示为d(g(x))
将g(x)看做一个整体
用y替换
例如函数x乘e的-x方次幂
在a，b区间求积分
将负x方看作一个整体
利用换元法计算
我这里写了两个过程
一个是直接将负x方
看做一个整体进行换元计算
xdx等于负1/2d负x方
这个积分就等于负1/2乘以
d e的负x方次幂在a，b区间积分
等于2分之e的负a方次幂
减去e的负b方次幂
另一个是在中间过程
令y等于负x方
再对y积分
二者是完全一样的
可选择自己喜欢的方式计算
由乘积函数的求导公式
可导出分部积分公式
函数f(x)乘g(x)的导数
等于f(x)的导数乘g(x)加f(x)乘g(x)的导数
等式两边分别在a,b区间求积分
即可得f(x)乘g(x)
在b,a两点的函数值差
等于g(x)乘df(x)在a，b区间的积分
加上f(x)乘dg(x) 在a，b区间的积分
将等式右端的两个积分中的
任意一个留下
另一个移到等式另一端
就得到定积分的分部积分公式
f(x) dg(x) 在a，b区间的积分
等于f(x)乘g(x)在
b,a两点的函数值差
减去g(x)乘df(x)在a，b区间的积分
计算x乘e的-x次幂的积分
先将e的-x次幂dx
表达为d 负的e的-x次幂
利用分部积分公式
等于x乘负的e的-x次幂
即负x乘以e的-x次幂
在b，a两点的函数值差
减去负的e的-x次幂
dx在a,b区间的积分
负的e的-x次幂的原函数
为e的-x次幂
展开计算得到积分值为
a加1乘e的负a次幂
减b加1乘e的负b次幂
-随机试验与随机事件
-古典概型
--1.2 古典概型
--第一周：古典概型
-事件间的关系与事件的运算
--第一周：事件间的关系与事件的运算
-两个著名的例子
--第一周：两个著名的例子
-讲义
-条件概率
--2.1 条件概率
--第二周：条件概率
-有关条件概率的三个重要计算公式
--第二周：有关条件概率的三个重要计算公式
-事件的独立性
--第二周：事件的独立性
-应用实例
--2.4 应用实例
--第二周：应用实例
-网球比赛胜率的计算
--Video
-讲义
-随机变量及分布函数
--第三周：随机变量及分布函数
-离散型与连续型随机变量
--第三周：离散型与连续型随机变量
-分布函数的性质与特殊的例子
--第三周：分布函数的性质与特殊的例子
-概率论所需微积分要点回顾
--第三周：概率论所需微积分要点回顾
-讲义
-二项分布与负二项分布
--第四周：二项分布与负二项分布
-泊松分布
--4.2 泊松分布
--第四周：泊松分布
-几何分布与指数分布
--第四周：几何分布与指数分布
-正态分布
--4.4 正态分布
--第四周：正态分布
-讲义
-随机变量函数的分布
--第五周：随机变量函数的分布
-随机变量的数学期望
--第五周：随机变量的数学期望
-随机变量的方差
--第五周：随机变量的方差
-原点矩与中心矩
--第五周：原点矩与中心矩
-期望和方差的一些补充性质
--第五周：期望和方差的一些补充性质
-讲义
-二项分布与泊松分布的期望与方差
--第六周：二项分布与泊松分布的期望与方差
-几何分布的期望与方差
--第六周：几何分布的期望与方差
-均匀、指数和正态分布的期望与方差
--第六周：均匀、指数和正态分布的期望与方差
-随机变量数学期望的应用实例
--第六周：随机变量数学期望的应用实例
-快速排序算法的平均计算量分析
--Video
-讲义
-多维随机变量
-第七周：多维随机变量
-常见多维随机变量举例
--第七周：常见多维随机变量举例
-随机变量的独立性
--第七周：随机变量的独立性
-独立随机变量期望和方差的性质
--第七周：独立随机变量期望和方差的性质
-讲义
-条件分布
--8.1条件分布
--第八周：条件分布
-条件期望
--8.2 条件期望
--第八周：条件期望
-全期望公式（上）
--第八周：全期望公式（上）
-全期望公式（下）
--第八周：全期望公式（下）
-讲义
-随机变量函数的期望
--第九周：随机变量函数的期望
-协方差
--9.2 协方差
--第九周：协方差
-相关系数
-- 9.3 相关系数
--第九周：相关系数
-相关与独立
--第九周：相关与独立
-讲义
-独立随机变量和的分布
--第十周：独立随机变量和的分布
-独立正态分布和的分布
--第十周：独立正态分布和的分布
-最大值、最小值分布
--第十周：最大值、最小值分布
-顺序统计量
--第十周：顺序统计量
-讲义
-正态分布的相关与独立
--第十一周：正态分布的相关与独立
-边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
--第十一周：边缘密度均为正态，联合分布不是二元正态的例子
-二项分布的正态近似
--第十一周：二项分布的正态近似
-正态近似计算实例
--第十一周：正态近似计算实例
-讲义
-大数定律
--12.1大数定律
--第十二周：大数定律
-中心极限定理
--第十二周：中心极限定理
-蒙特卡洛（Monte Carlo）算法
-伪随机数和随机模拟
-讲义
-统计学实例
-总体与样本
-常用统计量
--第十三周：常用统计量
-三种重要的统计分布和分位数
--第十三周：三种重要的统计分布和分位数
-讲义
-参数的矩估计
--第十四周：参数的矩估计
-参数的极大似然估计
--第十四周：参数的极大似然估计
-参数点估计的无偏性和有效性
--第十四周：参数点估计的无偏性和有效性
-参数点估计应用实例
--第十四周：参数点估计应用实例
-讲义
-区间估计的基本思想
--第十五周：区间估计的基本思想
-区间估计的构造方法
--第十五周：区间估计的构造方法
-两个正态总体的区间估计
--第十五周：两个正态总体的区间估计
-大样本置信区间
--第十五周：大样本置信区间
-讲义
-假设检验问题的提示和标准步骤
--第十六周：假设检验问题的提示和标准步骤
-假设检验问题的两类错误和P值
--第十六周：假设检验问题的两类错误和P值
-单个正态总体参数的假设检验
--第十六周：单个正态总体参数的假设检验
-拟合优度检验
--第十六周：拟合优度检验
-讲义
-利用条件概率计算网球比赛胜率
-利用期望的计算性质分析快速排序算法的平均计算量
-讲义
-事件
--事件
-分布函数
--分布函数
-正态
--正态
-指数与二项
--指数与二项
-随机变量函数的分布
-指数分布期望
--指数分布期望
-切比雪夫不等式
--切比雪夫
-二元离散
--二元离散
-协方差
--协方差
-二元特征
--二元特征
-统计量
--统计量
-无偏估计
--无偏估计
-点估计
--点估计
-假设检验
--假设检验
-选择
--选择
-填空
--填空
-大题
--大题
