3.4 概率论所需微积分要点回顾在线视频

连续型随机变量的概率

常常要通过密度函数的积分计算得到

所以概率论包括统计学中

都会经常用到积分运算

这一节课

我们就专门对积分与微分运算

做一个简要的回顾

首先从面积的计算说起

长方形、平行四边形、

三角形、梯形、圆形的面积

我们很小的时候就会算了

而下面两个区域的面积

似乎并不是很容易的

现在请大家思考一个问题

我们为什么会算上排

这些图形的面积

而不会算下排图形的面积

这么提可能对同学们不公平

因为我们很可能都会算

那么这个问题更确切地提法

因该是这么说

考虑为什么2000年前的古人

我国汉朝的人和古希腊人

会算上排的矩形等面积

而不会算下排这两个区域的面积

实际上

古人之所以会算上面几个图形的面积

是因为这些图形的面积简单

由简单的规律就可以控制

先看长方形

长方形的高永远不变

它的变化规律如此简单

所以它的性质人们当然就比较容易掌握

长方形的面积就是它的长乘以高

平行四边形、三角形、梯形

都可以通过一些拆拆补补的方式

归结为长方形

而得到相应的面积计算的公式

再看圆形

它的规律也非常容易刻画

圆的半径永远不变

进而可以证明

圆的面积等于以其周长为底

半径为高的三角形的面积

所以

这些图形的面积人们之所以会算

就是因为它们简单

它们的变化非常少

所以可以很容易地认识到

控制它们性质的规律

我们再看下面两个区域

因为它们的高永远在变

这里面并没有特别显然和简单的规律

所以人类在两三千年以前

就会计算长方形、圆形的面积

而直到十七世纪

才开始会计算

下面这种曲线围成的面积

考虑这条曲线围成的面积

我们不设这条曲线

代表某个物体的速度变化情况

用函数v(t)表示

曲线的起点a和终点b分别代表两个时刻

这时曲线在a，b之间围成的面积

就等于在a，b时刻之间物体走过的路程

对路程等于速度所围成的面积这一点

我们有必要做一解释

以使这一事实真的明了起来

将线段a，b分为n份

设t0=a，tn=b

中间点分别是t1 t2 t3等

且a=t0小于t1小于t2

一直小于…小于t(n-1)小于tn=b

第k个的小线段的长度

记为Δtk=tk-t（k-1）

在t（k-1）和tk之间任取一点ξk

当t（k-1）与tk非常接近时

可近似认为

在这一小的时段内

物体是按照v（ξk）的速度匀速运动

其走过的路程

大约是v（ξk）乘以Δtk

这个值对应的是一个小矩形面积

这个小矩形的面积

就与t（k-1）与tk之间曲线

所围面积的近似相等

每个区间累积起来

让n趋于无穷

所有Δtk都趋于0

则近似误差也趋于0

即得到总路程等于总面积

既然面积等于速度函数v(t)

从a时刻到b时刻走过的路程

计算面积就可以避开

永远变化着的速度函数

如果知道路程随时间变化的函数S(t)

则总路程即为S(b)-S(a)

v(t)在a，b两点间围成的面积

就等于S(b)-S(a)

只和两个点有关

而不再依赖无穷多个点

我们还发现

S(t)和v(t)有内在的联系

路程的变化率等于速度

所以S(t)的导数等于v(t)

要计算v(t)围成的面积

我们不用考虑

它在无穷个点上的变化

只要找到哪个函数的导数是v(t)

则这个面积

用那个函数两个点的取值的差

即可得到

也就是无穷多个点所围面积

实际上被另一个函数

在两个点的信息所控制

如果我们得到这个控制函数

无穷多个点的变化就都化解了

而归结为两个点的信息

我们会的总是简单的

所谓规律往往就是

操纵变化过程的简单规则

关键是我们能否认识到

复杂表象下

是否有简单的规则

在背后操纵它们

如果发现了

我们的认识就提高了一步

当然所谓简单也不是绝对的

积累的理论和实践经验越丰富

此时简单的内涵就越丰富

可以说理解清晰了

就是简单了

将刚才S(t)和v(t)的关系一般化

面积用积分符号表示

即得到微积分基本定理

也就是牛顿-莱布尼茨公式

计算f(x)在a，b区间的积分

就是要找到哪个函数的导数是f(x)

即f(x)的原函数F(x)

因此积分运算是导数运算的逆运算

一般逆运算都更困难一些

例如解方程就是函数求值的逆运算

我们解方程f(x)=0

就是要找哪一个点x

对应的函数值f(x)=0

显然比直接算给定点的函数值要困难

积分运算也同样比导数运算困难

对任意的初等函数

和它们的四则运算以及复合函数

均有明确的导数运算规则

而积分运算则不那么容易

很多形式看似很简单的函数

却不存在能够用初等函数表达的原函数

但人们还是根据导数运算规则

总结出一些积分运算的规则

具体运算规则也是相对应的

常用函数的导数公式

直接对应一些常用函数的积分公式

复合函数的求导公式

对应定积分的换元法

两个函数乘积的求导公式

对应分部积分法

这里列出8个

在概率论统计学中

最常用、基本的导数公式

所有公式都是对变量x求导

也就是函数相对于变量x的变化率

常值函数

函数值永远不变

它相对于x的导数是零

x的a次幂的导数

是a乘以x的a-1次幂

sinx的导数是cosx

cosx的导数是负的sinx

e的x次幂的导数还是它本身

lnx的导数是x分之1

arcsinx的导数是根号1-x方分之1

arctanx的导数是1加x方分之1

对应于上面8个基本求导公式的

基本积分公式

1在区间a，b的积分等于b-a

相当于底边长为b-a

高为1的矩形面积

alpha加1分之

x的alpha加1次幂的导数

是x的alpha次幂

所以x的alpha次幂

在a，b区间的积分是

alpha加1分之b的alpha加1次幂

减去a的alpha加1次幂

cosx在a，b区间的积分

等于sinb减去sina

负的cosx的导数是sinx

所以sinx 在a，b区间的积分

等于cosa减去cosb

e的x次幂在a，b区间的积分等于

e的b次幂减去e的a次幂

x分之1在a，b区间的积分等于

lnb减去lna

等于ln a分之b

根号1减x方分之1

在a，b区间的积分等于

arcsinb减去arcsina

这里要求a，b大于等于-1

小于等于1

1加x方分之1在a，b区间的积分

等于arctan b减去arctana

我们考虑复合函数f(g(x))的求导公式

对x求导

展开成以g(x)过渡的形式

其中f一撇g(x)

是导函数f一撇在g(x)点的取值

两边同乘以dx得到df(g(x))

等于f一撇g(x)乘以g一撇(x)dx

等式两边在a,b区间积分

得换元积分公式

f一撇g(x)乘以g一撇x在a，b区间的积分

等于f（g（b））减f（g（a））

也可以把g一撇(x)dx表示为d(g(x))

将g(x)看做一个整体

用y替换

例如函数x乘e的-x方次幂

在a，b区间求积分

将负x方看作一个整体

利用换元法计算

我这里写了两个过程

一个是直接将负x方

看做一个整体进行换元计算

xdx等于负1/2d负x方

这个积分就等于负1/2乘以

d e的负x方次幂在a，b区间积分

等于2分之e的负a方次幂

减去e的负b方次幂

另一个是在中间过程

令y等于负x方

再对y积分

二者是完全一样的

可选择自己喜欢的方式计算

由乘积函数的求导公式

可导出分部积分公式

函数f(x)乘g(x)的导数

等于f(x)的导数乘g(x)加f(x)乘g(x)的导数

等式两边分别在a,b区间求积分

即可得f(x)乘g(x)

在b,a两点的函数值差

等于g(x)乘df(x)在a，b区间的积分

加上f(x)乘dg(x) 在a，b区间的积分

将等式右端的两个积分中的

任意一个留下

另一个移到等式另一端

就得到定积分的分部积分公式

f(x) dg(x) 在a，b区间的积分

等于f(x)乘g(x)在

b,a两点的函数值差

减去g(x)乘df(x)在a，b区间的积分

计算x乘e的-x次幂的积分

先将e的-x次幂dx

表达为d 负的e的-x次幂

利用分部积分公式

等于x乘负的e的-x次幂

即负x乘以e的-x次幂

在b，a两点的函数值差

减去负的e的-x次幂

dx在a,b区间的积分

负的e的-x次幂的原函数

为e的-x次幂

展开计算得到积分值为

a加1乘e的负a次幂

减b加1乘e的负b次幂