2.3 直线的投影及直线上的点在线视频

同学们好

在这讲我们来学习直线的投影

先来看直线投影的表示方法

我们知道两点是可以确定一条直线

所以绘制直线投影时

只需要作出直线两个端点A点B点的投影

然后将A点B点的同名投影连接起来

就得到了直线的投影

在这里同学们要注意

直线的投影要用粗实线来表示

接下来我们来看直线的投影特性

在空间里一条直线与投影面的相对位置

可以分为平行 垂直 和倾斜三种情况

我们来看图

当直线平行于投影面

那么他在这个投影面内的投影

就会反映这条直线的实长

这就是投影的实形性

如果直线与投影面是垂直的

它在这个投影面内的投影是集聚成点的

这也就是投影的积聚性

如果直线与投影面是倾斜的

直线在投影面内的投影虽然还是直线

但它不反应直线的实长

这也就是投影的类似性

以上是直线在一个投影面中的投影特性

那么在三个投影面当中直线会有哪些投影特性呢

根据直线与投影面的相对位置关系

在三个投影面中直线也分为三种情况

第一种是投影面的平行线

我们把平行于一个投影面

而与两个投影面倾斜的直线称之为投影面平行线

分别有平行于H面的水平线

平行于V面的正平线和平行于W面的侧平线

第二种是投影面的垂直线

垂直于一个投影面而与另外两个投影面的直线

叫做投影面的垂直线

分别有垂直于H面的铅垂线

垂直于V面的正垂线和垂直于W面的侧垂线

第三种直线就是与三个投影面都倾斜的直线

我们把它称为一般位置直线

投影面的平行线和投影面的垂直线

就统称为特殊位置直线

这里我们还要注意区分

投影面的垂直线和投影面的平行线

因为投影面的平行线是平行于一个投影面

与另外两个投影面倾斜

而投影面垂直线是垂直于一个投影面

与另外两个投影面相平行的

接下来我们就重点来分析他们的投影特性

我们先来看投影面的平行线有什么投影特性

在图中

直线AB平行于H面的

是一条水平线

所以它的水平投影小a小b一定是反映实长的

而正面投影a' b'和侧面投影a''b''是类似性不反映实长

由于这条直线平行于H面

所以AB直线上的各点到水平投影面的距离都应该是相等的

也就是说

直线的正面投影a’b’应该平行于X轴

侧面投影a”b”应该平行于Y轴

这也反映了他们的Z坐标是相同的

并且我们仔细观察会发现

H面内的投影小a小b除了反映他的实长之外

它与X轴的夹角

恰好就是空间的直线AB与V面的夹角

而与Y轴的夹角

恰好反应的是空间的直线AB与W面的夹角

在这里我们把直线与投影面H面 V面 W面的夹角

分别用α角 β角 γ角来表示

以上是水平线的投影规律

那么正平线和侧平线呢

我们来看图

在图中可以看出他们与水平线一样

也都具有相应的投影特性

我们把投影面平行线的投影特性概括起来有两点

一是直线在它所平行的投影面内的投影反映直线的实长

同时实长的投影与相应轴的夹角

反映出空间直线与投影面的夹角的真实大小

第二

直线的其它两面投影不反映直线的实长

并且分别平行于相应的投影轴线

接下来我们来分析投影面的垂直线有什么投影特性

我们来看图

由于AB是垂直于H面的铅垂线

所以AB在H面的投影具有集聚性

是积聚为一点

而AB同时是平行于V面和W面的

所以它的正面投影a’b’和侧面投影a”b”

分别是实长

并且分别垂直于X轴和Y轴

这是铅垂线的规律

那么正垂线和侧垂线是不是也有同样的规律呢

从图中可以看出

它们也具有同样的投影特性

我们把投影面垂直线的投影特性概括总结为

在直线所垂直的投影面上的投影

投影具有集聚性

它的另外两个投影反映直线的实长

并且垂直于相应的投影轴

以上我们分析了特殊位置直线的投影规律

那么一般位置直线有什么投影特性呢

我们来看图

在图中AB的三个投影都是倾斜于轴的

是一般位置直线

所以他的三个投影面内的投影

都不能够反映直线的实长

而且他的每一个投影与投影轴之间的夹角

都能够反映直线在空间与投影面的夹角真实大小

这就是一般位置直线所具有的投影特性

对于一般位置直线如何求实长和夹角的真实大小

这个问题我们在后面的章节来介绍

下面我们来看空间的点的与直线有什么样的关系

点与直线的相对位置有两种情况

一种是点在直线上

另外一种点不在直线上

我们如何判断空间的点是否在直线上呢

我们来看图进行分析

图中的点C在直线AB上

那么根据投影的特性

点C的各面投影就一定在直线AB的投影上

这就是投影的从属性

反过来这个规律也是成立的

如果点的各面投影都在直线的投影上

那么这个点就一定是在这个直线上

如果点的投影有一个不在直线的同名投影上

那么这个点一定不在此直线上

例如在这个投影图中

c’不在a’b’上

所以点C不在直线AB上

我们再进一步来看

图中同样还是这个点C

它把直线AB分成了AC和CB两段

根据投影的特性

AC和CB各投影所成的比例

与空间线段所成的比例是相等的

是保持不变的

这也就是投影的定比性

所以我们判断点是否在直线上

就是利用从属性和定比性来判断的

下面我们来看例题

例题中给出了直线AB及K点的两面投影

让我们来判断点K是否是在直线AB上

从图中来看

K点的正面投影k’和水平投影小k

分别在直线AB的正面投影a’b’和水平投影小a小b上

那么点K一定是在直线AB上吗

可以直接判断吗

我们来分析一下

从直线的两面投影可以看出

AB是侧垂线是特殊位置直线

它的正面投影a’b’

和水平投影ab的连线

正好是在垂直于X轴的同一条连线上

所以说我们不能利用这两面投影来直接判断

我们可以用从属性来判断

也就是说只有求出他们的侧面投影

如果在侧面投影中

K点的投影仍然在直线的投影上

那么就可以说点K在直线AB上

那么我们补出侧面投影来看一下是不是这样子呢

我们来看做图的过程

根据点的投影规律

我们分别求出直线AB的侧面投影a"b"

和点K的侧面投影k"

这时我们会看到

点k"并不在a''b''上

所以我们可以说点K并不在直线AB上

除了这种方法

我们还可以用另外一种方法

就是利用定比性来判断

做图的方法是

我们先在水平投影当中由a点出发

与ab成任意角度来做一条辅助线

然后在正面投影量取a’k’及k’b’这两段长度

再到水平投影中我们做的这条辅助线上进行截取

利用相似三角形的关系

截取之后我们来连线

与ab交与一点

这时就会发现

这个交点与小k并不重合

这说明这两段长度之比是不等的

所以说点K并不在直线AB上

通过以上分析

我们可以得出一个结论

对于一般位置直线

我们只需要根据两个投影面上的投影

就可以判断点是否在直线上

而对于特殊位置直线

就需要通过三面投影来判断

或者应用定比定理来判断

以上是这一讲的全部内容

其中直线的投影规律需要同学们重点掌握

这一讲就到这里

同学们再见